同济大学高等数学第七版下册系列练习题答案.pdf

试卷答案 第 1 页 共 26 页 高等数学 高等数学 期末期末练习题练习题 1 答案 题目部分 卷面共有 25 题 100 分 各大题标有题量和总分 一 选择 10 小题 共 30 分 1 5 BCAAC6 10 ABADC 二 填空 5 小题 共 10 分 1 答案 arccos 4 5 2 答案 平面yx 上的所有点 3 答案 16xy 4 答案 22 2 00 df rrdr 5 答案 120 1 6 1 1 三 计算 8 小题 共 48 分 1 答案 过点P10 21 l1方向向量为S1221 过点P213 1 l2方向向量为S24 21 nSSP P 1212 6 01215 2 距离为dP PP Pn n n Prj 1212 1 5 2 答案 coscos 2 2 z x z y 11 所以 z n 2 2 2 2 2 3 解 dddu u x x u y y 1 x e y x y x xy y x sin cosdd 4 解 由 zx zy x y 220 240 得 D 内驻点 1 2 且z 1 215 在边界xy 22 25 上 令Lxyxyxy 2222 241025 由 Lxx Lyy Lxy x y 2220 2420 250 22 得xy 52 5 试卷答案 第 2 页 共 26 页 z z 52 51510 5 5 2 51510 5 比较后可知 函数z在点 1 2 处取最小值z 1 215 在点 5 2 5 处取最大值 5101552 5 z 5 解 原式 1212 0000 1 dxxydyxdxydy 6 解 2 1 2 32 100 x x Idx dy x y zdz 2 2 2 10 2 7 1 1 2 1 6 85 16 x dxxy dy x dx 7 解 消 z 后 可得 L 的参数方程 tz ty tx sin 2 1 sin 2 1 cos 0t 2 tttttsddcos 2 1 cos 2 1 sind 222 故 L sxyzd 6 1 sin 2 1 sin 2 1 cos 2 0 tdttt 8 答案 4 1 122 limlim 1 n n a a n n n n 级数的收敛半径 4 1 R 四 判断 2 小题 共 12 分 1 解 设f x x x 1 2 2 1 于是 ln ln f x x x 2 2 试卷答案 第 3 页 共 26 页 取极限 limln lim ln lim xx x f x x x x x 2 0 2 2 2 2 0 故lim x f x 1 从而有lim n n n 1 2 1 2 1 故而 1 2 2 1 1 n n n 发散 2 用定义判别级数 1 16815 2 1 nn n 的敛散性 若收敛求其和 答案 级数的一般项 u nnnn n 1 16815 1 8 1 45 1 43 2 级数部分和 S nn n 1 8 1 1 7 1 3 1 11 1 7 1 15 1 45 1 43 1 8 1 1 3 1 41 1 43nn 所以lim n n S 1 12 此即级数收敛 且和为 1 12 高等数学 高等数学 期末期末练习题练习题 2 答案 一 选择 10 小题 共 30 分 1 5 C D C B B6 10 B D B D D 二 填空 5 小题 共 10 分 1 答案 5 2 答案 xy 22 1 3 答案 z x dx z y dy 4 答案 1 6 5 答案 2 6449 6 224 1 2 三 计算 8 小题 共 48 分 试卷答案 第 4 页 共 26 页 1 解 由MMMM 12 得525210 xyz 由MQMQ 12 得37460 xyz 故 M 的轨迹方程为 525210 37460 xyz xyz 2 解 a 18 3 coscoscos 1 74 8 74 3 74 1 84 22 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 z u y y u x x u u n 12 1 2 1 74 8 8 74 1 3 74 69 74 3 解 u x x xy y xy 1 1 2 22 2 223 2 y y xy 2 22 4 解 由 0224 022 xyz yxz y x 得 D 内无驻点 在边界x 0上 zyyy 1 2 22220 zy 1 420 得驻点y 1 2 zzz 111 2602 1 2 3 2 在边界y 0上 zxx 2 2 220 zx 2 20zz 22 2602 在边界xy 2上 zyyy 3 2 510620 zy 3 10100 得驻点y 1 试卷答案 第 5 页 共 26 页 zzz 333 260611 y 1时 x 1 比较后可知 函数z在点 1 1取最小值z 1 11 在点 2 00 2取最大值zz 2 0026 5 解 原式 111 2223 1 00 0000 1111 2 2222 x y dyxy dxxydyyy dyy 或解原式 111 2 00 131 222 x dxxy dyxx dx 6 解 2 323233 00 4 sinsin4sin coscos 3 bb aa Iddrrdrrr drab 7 22 Pxy Qx y 解 1112 22 22 224 2 0 0 42 1 2 11 2 28 0 L L PQ xy yx a tMa tMa xy dxx ydy d x y a a x ya a 故与积分路无关 对应点对应 8 解 令tx 1 而级数 1 312 n n n n t 当 3 3 t时收敛 故当 2 4 x时 原级数收敛 四 判断 2 小题 共 12 分 1 答案 由于 a b a b u n n n n n limlim 故当ab 时 级数收敛 当ab 时 级数发散 另解 因lim n n b a b a 试卷答案 第 6 页 共 26 页 若ab 存在N1 使nN 1时 有 b a b a A n 1 相应 uA n n 而An n 1 收敛 从而un n 1 收敛 若ab b a 1存在N2 使nN 2时有 b a b a B n 1 相应有uB n n 而Bn n 1 发散 从而un n 1 也发散 2 解 级数的一般项u n nnnn n 21 1 11 1 2222 级数的部分和 S nn n n 1 1 2 1 2 1 3 11 1 1 1 1 22222 2 故lim n n S 1 此级数收敛 且其和为 1 高等数学 高等数学 期末期末练习题练习题 3 答案 一 选择 10 小题 共 30 分 1 5 B C C D C6 10 B C D B A 二 填空 5 小题 共 10 分 1 答案 5 2 答案 直线xy 0上的所有点 3 答案 3 5 e 4 答案 0 5 答案 RR 1 1 n n nx naxs 三 计算 8 小题 共 48 分 试卷答案 第 7 页 共 26 页 1 解 xyz 222 94 1 2 解 coscoscos 3 22 3 22 2 22 u x yzz u y z x x ln 1 2 11 2 1 1 2 11 2 1 0 1 u z y x z x 1 2 1 1 1 2 1 2 所以 u a 3 22 2 2 22 1 22 3 解 z x zx e fef x u xy v 3 2 z y y e fve f x u x v 3 2 4 解 由 06 022 yz xz y x 得 D 内驻点 10 且z 101 在边界 xy 22 94 1 上 zxxx 1 2 1 3 21233 zx 1 2 3 20 zz 11 31533 比较后可知 函数z在点 10取最小值z 101 在点 30取最大值z 3015 5 解 原式 111 2 000 114 4 4 223 x dxxy dyxdx 6 解 4 1 D z Idzzdxdy 4 2 1 21 z dz 7 解 L yx xxyd2sinede 2 cos 2 0 cos2 0 cos d2sinecosde 2 xxx xx 试卷答案 第 8 页 共 26 页 2 0 coscos e e 2 xx e 1 2 8 解 所给级数是以 x e 为公比的等比级数 因此 当 x 0 10 x e 级数 nx n ex 0 2 收 敛 且和函数 x e x xs 1 2 又 x 0 时 0 2 nx ex 级数收敛 且 xs 0 综上所述 xs 0 0 0 1 2 x x e x x 四 判断 2 小题 共 12 分 1 答案 记级数为 n n n sin 1 1 n 1 1 因为 n n 1 sin 1 0 n 所以原级数绝对收 敛 从而收敛 2 答案 记 2 cos 1n n n u 2k 1 n 2kn k k 0 2 1 故原级数为交错级数 12 1 k k k 从而收敛 高等数学 高等数学 期末期末练习题练习题 4 答案 题目部分 卷面共有 25 题 100 分 各大题标有题量和总分 一 选择 10 小题 共 30 分 1 5 BABBC6 10 DDBBB 二 填空 5 小题 共 10 分 1 答案 13 2 答案 f x y 或 2 22 xy xy 3 答案 2 3 y 4 答案 1 3 5 答案 R 三 计算 8 小题 共 48 分 试卷答案 第 9 页 共 26 页 1 答案 的法向量为n 111 l1的方向向量为S ijk 1 121 001 210 所求直线方向向量为SnS 1 123 从而所求直线方程为 xyz 4 1 2 2 3 3 2 答案 u x xyz x cos sincossin 0 0 0 2 1 2 22 0 0 0 u y xyz y sin sincossin 0 0 0 22 0 22 0 0 0 uz 0 0 00 3 答案 P P 01 1 34 1 26 3 26 4 26 cos cos cos u x yz u y xz PPPP 0000 22 21 u z xyz PP 00 24 所以 u l 2 1 26 3 26 4 4 26 17 26 4 答案 由 zxy zyx x y 220 3210 2 得驻点 1 3 1 3 1 1 D zz zzy y xxxy yxyy 22 26 124 D 1 3 1 3 80 02 1 1 08 1 1 xx zD 点 1 3 1 3 非极值点 函数z在点 1 1 处取极小值z 1 11 5 答案 sin 00 x xdxdy 原式 试卷答案 第 10 页 共 26 页 0 sin xxdx 6 答案 设 1 2 uxy x y xyu 1 u 3 1 v 1 31 100 11 1 1 2 31 101 1 p p Idu ud P 7 解 3 2 22 00 3 sin 4cos4 sin 4 cos 3sin3 cos 12 2 ttttt dtttttt dtt dt 8 答案 由于 0n n x 0 2 n nn x的收敛半径分别为 2 1 1 所以两幂级数乘积的收敛半径 是 2 1 故当 2 1 2 1 x时 0000 22 n nnnkn nnnk Fxxxx n n n x 0 1 12 四 判断 2 小题 共 12 分 1 答案 因为当an2 时 n n n n a 2 1 而 1 2 1 n n 收敛 所以原级数绝对收 敛 从而收敛 2 答案 记 1 2 n n un 因为 0 221 1 22 2 1 nnn nn uu nn 0lim n n u 所以原级数收敛 由于1 1 1 lim 2 n n n n 故 1 1 n n n n 发散 因此原级数条件收敛 试卷答案 第 11 页 共 26 页 高等数学 高等数学 期末期末练习题练习题 5 答案答案 题目部分 卷面共有 25 题 100 分 各大题标有题量和总分 一 选择 10 小题 共 30 分 1 5 BCCAC6 10 BABDC 二 填空 5 小题 共 10 分 1 答案 2 2 答案 xy 22 1 3 答案 31 5 4 答案 以曲面 z f x y 为顶 D 为底的曲顶柱体的体积 5 答案 1000000 72 10000 18 100 6 三 计算 8 小题 共 48 分 1 答案 消去x 得316 22 yz 即为所求柱面方程 2 答案 z y ye x x cos z yyy y e y x sincos 2 3 答案 yzxxzyxyzexyz xy z ddd ddd xyezeyzxexzy xy zxy zxy z ddd z x eyz xye xy z xy z z y exz xye xy z xy z 4 答案 由 0 cos 0cos cos yxz xyxz y x 解得驻点 mn 2 其中m n 01 2 5 答案 原式 222 222 000 8 4 3 x dxxy dyx dx 6 答案 设 111 222 1 ua xb yc J va xb yc 试卷答案 第 12 页 共 26 页 22 2 1 21 32 00 1 22 1 1 1 cos 44 uv Iududv drdr aba b 7 答案 1 2 42 d2 2 d 2 xxxxyyxI C 1 2 52 d 42 xxx 1 2 63 3 2 xx48 8 答案 由于1 1lim 1 R a a n n n 当1 x时 级数收敛 当1 x时 级数发散 当1 x时 p n n xu 1 1 故1 p时 级数绝对收敛 当1 p时 级数发散 当1 x时 p n n n xu 1 1 故1 p时 级数绝对收敛 当10 p时 级数条件收 敛 当0 p时 级数发散 所以 当1 p时 收敛域是 1 1 当10 p时 收 敛域是 1 1 当0 p时 收敛域是 1 1 四 判断 2 小题 共 12 分 1 答案 记 nn n n n n n n u 1 则 n时 1 1 1 1 1 1 e n u u n n n 于是原级数绝对收敛从而收敛 试卷答案 第 13 页 共 26 页 2 答案 记u a a n n n 4 8 1 令ba 4 由于u a a b b b b n n n n n n n 4 82 211 1 1 1 因此 只须考察01 b情形即可 当b 1时 uu nn n 1 2 0 发散当01 b时 u b b b n n n n 1 2 而bn n 0 收敛 故un n 0 收敛 纵上所述 a 1时 级数un n 0 收敛a 1时 级数un n 0 发散 当au a aa n n nn 1 1 1 4 84 而 1 4 1a n n 收敛 故un n 1 收敛 当au a a a n n n n 1 1 4 8 4 而a n n 4 1 收敛 故un n 1 收敛 当a 1 uu nn n 1 2 1 发散 高等数学 高等数学 期末期末练习题练习题 6 答案答案 一 选择 10 小题 共 30 分 1 5 CACCB6 10 CADBC 二 填空 5 小题 共 10 分 1 答案 7 2 2 答案 xyxx 2 01 或xyxx 2 01 3 答案 3 5 e 4 答案 0 5 答案 0 n n n x 三 计算 8 小题 共 48 分 1 答 案 M MM M 1223 6 0 90 12 4 所 求 平 面 法 向 量 为 nM MM M 1223 12 9 2 6 设所求平面方程为 9260 xyzD 试卷答案 第 14 页 共 26 页 M3到 的距离为d D 7 11 由条件d 2 解得D 15和D 29 故所求平面方 程为926150 xyz 和926290 xyz 2 答案 zxy x sin 2 1 2 zxy y 1 2 2 1 2 sin 3 答案 coscos 2 2 z x z y 11 所以 z n 2 2 2 2 2 4 答案 nx y z M 2 39 10 1 3 0 coscoscos 3 10 0 1 10 u x x u y y u z z M M M M M M 0 0 0 0 0 0 222026 u n 3 10 20 1 10 6 12 10 5 答案 原式 3 sin 2 1 00 sinsin 3 4 9 x xxx dxxy dydx 6 答案 设 cos sin xar ybrJabr zz 2 1 2cos4 2 000 2 3 0 4 16 1 sin 3 162 323 r Iddrabrdz ab a d ab 7 答案 1 I解 由 与积分路径无关 得 2 6 3 xyx yx yC y x 得 又由 2 I与积分路径无关 得 222 3 33 xC yyx y 得 3 1 C yyC 试卷答案 第 15 页 共 26 页 23 1 1 23 3 0 1 1 0 3 x yx yyC C x yx yy 故 由知 故 8 答案 4 1 122 limlim 1 n n a a n n n n 级数的收敛半径 4 1 R 四 判断 2 小题 共 12 分 1 答案 由a11 可得a21 cos 于是01 2 a 用数学归纳法可证得01 an 因为aa nn 1 10coscos 显然有lim n n a 0 故而an n 1 发散 2 答案 记 n x u n n ln cos 则 xx n n u u n n coscos 1ln ln 1 n 当 kx 2 1 0 k时 1cos x 则原级数绝对收敛 从而收敛 当 2kx 时 1cos x 原级数为 2ln 1 n n 故发散 当 12 kx时 1cos x 原级数为 2 ln 1 n n n 故条件收敛 高等数学 高等数学 期末期末练习题练习题 7 答案答案 一 选择 10 小题 共 30 分 1 5 BBCAD6 10 CCBDC 二 填空 5 小题 共 10 分 1 答案 1 7 5 2 答案 xxy 0 3 答案 1 4 答案 3 1 3 a 5 3 1 3 1 三 计算 8 小题 共 48 分 试卷答案 第 16 页 共 26 页 1 答案 设平面为 20450 xyzD 在 1上取点P00 7 4 0 则该点到 距离为d D 7 21 由d 6 得D 119和D 133 故所求平面为 20451190 xyz 和20451330 xyz 2 答案 yzxxzyxyzzzsin dsin dcos dd 2 d sin dsin d cos z yzxxzy xyz 2 3 答案 coscos 2 2 z x z y 32 所以 z n 3 2 2 2 2 2 5 2 2 4 答案 由 zxy zyx x y 30 30 2 2 得 D 内无驻点 在边界x 0上 zyy 1 3 01 zy 1 2 30 zz 11 0011 在边界y 0上 zxx 2 3 0 1 2 zx 2 2 30zz 22 00 1 2 1 8 在边界21xy 上 zxxxx 3 32 710510 1 2 zxx 3 2 212050 zz 33 01 1 2 1 8 比较后可知 函数z在点 0 0 取最小值z 0 00 在点 01取最大值z 011 5 答案 原式 22 24 1 2 11 119 1 310 x x xdxy dyxdx x 6 答案 2 2 000 tt F tdrdrf r dz 2 0 2 t tf r rdr 试卷答案 第 17 页 共 26 页 222 0 2 2 t F tf rrdrt f t F t 6 tf t2 4 t3f t2 7 答案 2222 2 332 0 2 222 2 2 53 2 cossin sincos 12 2 2 2 12 53 8 22 15 C dsttttttdttdt z dsttdt utuu du uu 令 8 答案 1 1 2 2 12 120 2 k k kk k k xaaxaaxF 2 由于 0n n nx a的收敛半径是 4 1 0n n nx a的收敛半径为 2 1 所以 xF的幂级数的收敛半径是 4 1 四 判断 2 小题 共 12 分 1 答案 所给级数为如下两个级数之和 uv n n n n 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 3 1 3 2 2 3 前者为收敛的等比级数 后者为发散的等比级数 uv nn n nn 1 11 3 2 2 3 3 2 2 3 发散 故脱括号后11 2 3 3 2 2 3 3 2 nn 也发散 2 答案 由比值判别法 试卷答案 第 18 页 共 26 页 e a n a n an n na n na u u n n n n n n n n n n n n n 1 1 lim 1 lim 1 1 limlim 1 1 1 可见当0 ae时 级数收敛 当ae 时 级数发散 当ae 时 比值判别法失效 但是由于e n n 1 1 可得uu nn 1 故级数发散 高等数学 高等数学 期末期末练习题练习题 8 答案答案 一 选择 10 小题 共 30 分 1 5 2DBAA6 10 AABBA 二 填空 5 小题 共 10 分 1 答案 1 17 32 2 2 答案 yxxxy 01 22 3 答案 e x 2 4 答案 1 3 5 答案 4 11 4 3 三 计算 8 小题 共 48 分 1 答案 设双曲面方程为 x a y b z c 222 1 由于与xoy平面交线为椭圆 xy 22 49 1 故ab 49 又与x 2交线为 L 故cb 9 从而双曲面为 xyz 222 499 1 2 解 原式两边对x求导得y z x x z x zy 0 则 z x zy yx 同理可得 z y zx yx 也可 试卷答案 第 19 页 共 26 页 z x F F zy yx z y F F zx yx x y y x 3 答案 ddddxyzez z dddz e x e y zz 1 1 1 1 4 答案 由 z z x y 1 2 得 D 内无驻点 在边界xy 1上 zxx 1 101 z110zz 11 0110 在边界 xy1上 zxx 2 3110 zzz 222 301201 在边界 xy1上 zxx 3 310 01 3 z zz 33 1203 在边界xy 1上 zxx 4 3301 zzz 444 300310 比较后可知 函数z在点 0 1 取最小值z 0 13 在点 01取最大值z 011 5 答案 11 22 0 1 y dyxxy dx 原式 1 3 0 11 1 34 ydy 6 答案 2 11 23 000 x Ixdx y dyz dz 11 82 00 1 4 1 120 xdxx y dy 7 答案 解 y P y xyfxyxyf x Q 2 1 故积分与路径无关 试卷答案 第 20 页 共 26 页 原式 2 3 2 2 1 3 d 1 d 3 2 3 2 2 3 y y yfxxf 2 3 2 1 3 1d d 3 2 3 2 3yyfxxf 由于 3 2 2 d yyf 3 2 2 d yyf yx 3 2 令 故 原式 4 8 答案 因为 2 lim 2 1 x xu xu n n n 所以当2 x时 级数收敛 且当2 x时 级数发散 故收敛域是 2 2 四 判断 2 小题 共 12 分 1 答案 a a n n n n n n n n n n n nn 1 1 12 21 1 2 2 1 1 2 1 1 2 8 9 12 因1 1 n n 单调有1 1 1 1 2 2 n n 于是级数 2 1 n n n n n 是收敛的 2 答案 当0 p时 0 1 lim 1 p n n n 故原级数发散 当10 p时 1 1 n p n 发散 又由莱布尼兹判别法知 1 1 1 n p n n 收敛 从而原级数 条件收敛 当1 p时 1 1 n p n 收敛 故原级数绝对收敛 高等数学 高等数学 期末期末练习题练习题 9 答案答案 一 选择 10 小题 共 30 分 1 5 BACAC6 10 DADBB 二 填空 5 小题 共 10 分 试卷答案 第 21 页 共 26 页 1 答案 2 3 5 arcsin 2 答案 3 答案 z x dx z y dy 4 答案 22 2 00 df rrdr 5 答案 21R RR 三 计算 8 小题 共 48 分 1 答案 令z 0 得xy 4 1 2 即与xoy交点为 4 1 2 0 令x 0 得yz 13 2 4 即与yoz交点为 0 13 2 4 令y 0 得xz 13 3 1 3 即与zox交点为 13 3 0 1 3 2 答案 u y x 1 1 u yxy y x y y 1 1 1 1 22 d d duuxuy xy 121212 1 3 2 9 ddxy 3 答案 10 z x xz z x e y z cos z y xz z y e y z cos 10 从而 z x xz xze y z cos cos z y e xze y z y z cos 4 答案 由 026 0636 22 yxyz yxz y x 得驻点 1010 1 3 4 3 1 3 4 3 D zz zz xy yx xxxy yxyy 126 662 DD Dzxx 1 3 4 3 640 1 3 4 3 640 1048010120 Dzxx 1096010120 点 1 3 4 3 1 3 4 3 非极值点 函数z在点 10处取极小值z 104 在点 10 取最大值 z 104 试卷答案 第 22 页 共 26 页 5 答案 2 2 1 sin 2 y y x dxdx y 原式 2 2 1 242 cos1 2 y y dy 6 答案 由对称性0 xyd 2 2 2 cos 22 001 2 cos 22 001 2 cos 22 00 2 242 0 2 2 2 2 1 2 4 coscos 34 4 r a a r a a a Id drdrdz drdrdz r drdr a aad a a 7 答案 解 KS xxxysd1d 1d 2 3 2 1 3 2 d1 2 3 0 xxxS x 4 0 2 3 d1 3 2 1 3 2 dxxKxsM L 510126 9 2 k 或 510126 9 2 2 dd 155 3 2 0 2 155 2 3 0 ks k skssM L 8 解 幂级数 2 2 1 1 n x xf n n n 的收敛域为 1 1 所以 xf在 1 1 上连续 又 当 1 1 x 且0 x时 有 n x xf n n n 12 1 12 n x x n n n 2 1 1 2 试卷答案 第 23 页 共 26 页 2 1ln 2 x x 故 4ln5ln4 2 1 f 四 判断 2 小题 共 12 分 1 答案 级数的一般项u nnnn n 1 443 1 4 1 21 1 23 2 级数部分和 S nn n 1 4 1 1 5 1 3 1 7 1 21 1 23 1 4 1 1 3 1 21 1 23nn 所以lim n n S 1 3 此即级数收敛 且和为 1 3 2 答案 S nxnx n nxnx n np xnpx np n p coscoscoscos coscos 12 1 23 2 1 pnpn xpn nn xn nn xn pn xpn n xn 1 cos 3 2 3cos 2 1 2cos1cos 1 1cos 32 1 21 11 1 1 nnnnpnn 1 2 1 1 npnpn 由此 对任意的 0 有N N 2 存在 当nN 时 对于p 12 不等式Sn p 成立 故由柯西准则知所论级数收敛 高等数学 高等数学 期末期末练习题练习题 10 答案答案 题目部分 卷面共有 25 题 100 分 各大题标有题量和总分 一 选择 10 小题 共 30 分 1 5 BCBC