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用一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题 实际问题 数学问题 数学模型 一元二次方程 检验 类型 思路 1 传播问题 2 单双循环问题 3 增长率问题 4 面积 体积 问题 5 商品销售问题 6 运动问题 7 银行问题 8 数学问题 9 图标信息类问题 10 工程行程问题 1 审 2 设 3 列 4 解 5 验 6 答 步骤 典型问题 类型一 传播问题 解 设每轮传染中平均一个人传染了x个人可传染人数共传染人数第0轮1 传染源 1第1轮xx 1第2轮x x 1 1 x x x 1 列方程1 x x x 1 121解方程 得X1 10 X2 12X2 12不符合题意 所以原方程的解是x 10答 每轮传染中平均一个人传染了10个人 典型问题 类型二 单双循环问题 解 设有x队参加比赛 x x 1 90 x 10 x 9 0 解得x 10 x 9 不合题意 舍去 答 共有10支球队参加比赛 典型问题 类型三 增长率问题 解 设每年经营总收入的年增长率为a 600 40 1 a 2 2160解方程 a1 0 2a2 2 2 不符合题意 舍去 每年经营总收入的年增长率为0 2则2001年预计经营总收入为 600 40 1 0 2 600 40 1 2 1800答 2001年预计经营总收入为1800万元 典型问题 类型三 增长率问题 解 设每年经营总收入的年增长率为a 600 40 1 a 2 2160解方程 a1 0 2a2 2 2 不符合题意 舍去 每年经营总收入的年增长率为0 2则2001年预计经营总收入为 600 40 1 0 2 600 40 1 2 1800答 2001年预计经营总收入为1800万元 解 设第一次倒出酒精x升 依题意得 答 第一次倒出酒精10升 典型问题 类型三 增长率问题 点评 检验是列方程解应用题不可缺少的步骤 既要检验是否为所列方程的根 又要检验数学问题的解是否符合题意 如本题中所求的x2是方程的解 但不合题意 同时也不能认为增长率就是正数 点评 基数a 降价后总量b 降价的百分数x之间的关系b a 1 x 类型四 面积问题 分析 本题的关键是用设出的未知数表示出宽度与高度 再根据面积为2m2 列出方程 解 设窗框的宽度BC xm 则高度AB 根据题意得 解得 检验 答 窗框的宽度为1m 点评 1 解题步骤 2 不可忽略题中的限制条件 典型问题 要求 只需要列出方程 变式练习1 变式1 用7m长的铝合金改做做成透光面积为2m2的如左图所示形状的窗框 若窗框的宽 BC 的长为xm 求x的值 铝合金的宽度忽略不计 3 点拨 半圆的弧长 x 1 5xAB 7 3 5x 2 变式练习 A C B D 变式2 在长为40m 宽为30m的矩形绿地内铺设三条宽度相等的甬道 使其中两条与AB平行 一条与BC边平行 使得绿化面积为750m2 求这条人行道的宽度 点拨 设甬道的宽度为xm 方法1 40 x 2 30 x 2x2 40 30 750 方法2 40 2x 30 x 750 解得 x1 5 x2 45 不合题意 舍去 答 这条人行道的宽度为5m 类型五 经济问题 分析 设这种衬衫售价应定为x元 单位化每件提价1元 其销售量就减少20件 10 x 50 12000 8000 800 800 20 x 60 典型问题 解 设这种衬衫的售价为x元 根据题意 得 x 50 800 20 x 60 12000 x 70 x 80 0 x1 70 x2 80经检验x1 70 x2 80是方程的解 因为使顾客获得更多的优惠 所以x2 80不符合题意 应舍去 答 这种衬衫的定价应定为70元 点评 1 解决此类问题的关键是将相关条件单位化 2 要理解问题中隐含条件 对所求问题的解进行适当的取舍 变式 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出 平均每天能售出8台 为了配合国家 家电下乡 政策的实施 商场决定采取适当的降价措施 调查表明 这种冰箱的售价每降低50元 平均每天就能多售出4台 商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元 同时又要使百姓得到实惠 每台冰箱应降价多少元 变式练习3 点拨 设每台冰箱应降价x元 400 400 x 4800 3200 8 x1 200 x2 100 不合题意 舍去 变式练习 典型例题三 应用类 运动问题 类型六 运动问题 如图 A B C D为矩形的4个顶点 AB 16cm BC 6cm 动点P Q分别从点A C同时出发 点P以3cm s的速度向点B移动 一直到达点B为止 点Q以2cm s的速度向点D移动 经过多长时间P Q之间的距离是10cm 例6 E E PE 16 3x 2x PE 3x 2x 16 典型问题 解 经过xs后 P Q两点之间的距离是10cm 根据题意 得 16 2x 3x 2 62 102 解得x1 1 6 x2 4 8 经检验x1 1 6 x2 4 8都是方程的根且符合题意 答 经过1 6s或4 8s后 P Q两点之间距离为10cm 点评 1 较为复杂的一元二次方程在几何图形上的应用 往往要借助一些几何知识 如面积公式 勾股定理 相似三角形等相关知识 2 观察图形 根据等量关系 列出方程是这类问题的关键 典型问题 类型七 银行问题 解 解 设第一次存款时的年利率为x 100 1 x 50 1 0 5x 63 整理 得50 x2 125x 13 0 解得x1 0 1 x2 13 5 x2 0不合题意 x 0 1 10 答 第一次存款时的年利率为10 典型问题 类型八 图表信息问题 1 该区1998年和1999年两年中 哪一年比上一年增加的住房面积多 多增加多少万平方米 年比上一年增加的住房面积多 多增加 万平方米 2 由于经济的发展 预计到2001年底 该区人口总数将比1999年年底增加2万 为使到2001年年底该区人均住房面积达到11平方米 人 试求2000年和2001年两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几 1 1999 7 4 2 10 典型问题 类型九 工程行程问题 典型问题 类型十 数