数学建模优化模型.pptx

优化模型 Maxmin 优化是人类认识世界和改善自身的重要内容 认识世界 我们身边的许多事物都是大自然优胜劣汰的长期演化的产物 在长期的生存竞争中形成了优化的结构和运动特征 如鱼的体形鸟和蜜蜂的巢穴动物的肌肉 植物的叶片的形状蝶的飞行线路 鱼的游动轨迹等 从能量消耗 结构稳定和强度 效率等不同指标分析显现优化特征 因此 优化是深入认识世界的重要手段 自然界本身也在某些方面显现优化特征 最重要的是任意物体在宏观运动中都遵循 作用量最小 的自然规律 因此 我们观察到的自然现象如球的弹起轨迹水滴的下落时的形状改变 等一切运动现象都是优化的结果 当前 作用量最小 原则是我们描述自然界运动的基本工具 优化是人类改善自身的重要手段 节能 对能源使用的优化 规划 对管理效率的优化 最优控制 对运动系统效率 性能等的优化 设计 工艺 结构的优化 总之 人类的发展本身就是一个优化的过程 例如 工艺的改善的定量分析归结为工艺的优化 设计的改进的定量分析归结为设计的优化等 简单优化模型 在中学和大学微积分中 我们学习过求函数的极值和条件极值问题 这是我们对简单问题优化的基本数学工具 下面讨论利用这些工具建模的几个例子 1 存贮模型 在商业活动中 需要批量订购商品 订购费用为其中c0是批量订购的一次性费用 c1是商品单价 批量越大 单位商品的费用越低 商品购进后 有一个消化过程 销售或使用 消化不掉的需要存放 因此形成存贮费用 批量越大 每天存贮费用越高 生产活动有类似的情况 批量生产费用为其中c0是批量生产的生产准备费用 c1是产品单位成本 批量越大 单位产品的费用越低 上述问题称为存贮问题 建立数学模型以确定最佳订货周期和批量 是存贮问题所要解决的问题 两种问题的数量关系完全相同 下面只讨论商品的批量订货问题 产品生产后 有一个消化过程 销售或使用 消化不掉的需要存放 因此形成存贮费用 批量越大 每天存贮费用越高 不允许缺货的存贮模型 模型假设 1 商品每天的需求量为常数r 2 一次性购货费为c0 每件商品单价c1 每天每件商品贮存费为c2 3 T天订购一次 周期 每次购买Q件 当贮存量为零时 Q件商品立即到来 不允许缺货 4 为方便起见 时间和产量都作为连续量处理 问题 r c0 c1 c2已知 求T Q使每天总费用的平均值最小 模型建立 A QT 2 一个周期的总费用是购货费用和存贮费用的和 购货费用 P c0 c1Q 无缺货假设 Q rT 平均每天的费用 存贮费用 R c2A c2QT 2 模型求解 模型分析 1 最佳周期长度与商品价格无关 2 允许缺货的存贮模型 原模型假设 贮存量降到零时Q件立即生产出来 或立即到货 若贮存量降到零时仍有需求r 但不能立即到货 则出现缺货而造成损失 如果允许缺货 模型应如何修改 补充假设 允许缺货 每天每件缺货损失费c3 缺货需补足 A B 一周期贮存费 一周期缺货费 一周期总费用 为与不允许缺货的存贮模型相比 T记作T Q记作Q 每天的费用为 2 生猪的出售时机 饲养场每天投入4元资金 用于饲料 人力 设备 估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤 市场价格目前为每千克8元 但是预测每天会降低0 1元 问生猪应何时出售 如果估计和预测有误差 对结果有何影响 模型分析 投入资金使生猪体重随时间增加 出售单价随时间减少 寻找最佳出售时机 决策变量 使利润最大 目标 建模及求解 生猪体重w 80 rt 出售单价p 8 gt 销售收入R pw 资金投入C 4t 设生猪重量w 单价p 每天增加体重r 每天单价降低g t天后出售 则届时 利润 求t使Q t 最大得到 敏感性分析 求出的生猪最佳出售时间t与参数r和g有关 而这两个参数来源于我们的估计和预测 参数的变化对结果的影响的大小称为结果对参数的敏感性 敏感程度的定义 结果t对参数r的敏感度记为其意义是结果t的增加率和参数r增加率的比 参数变化的敏感程度的大小反映出问题或模型的稳定性 由于在实际问题中 所采集的参数往往有误差 当敏感程度较大时 必须考虑参数的微小变化带来的影响 当参数变化较小时 可以利用微分作为增量的近似 这时 参数的敏感度计算的近似公式为 生猪出售时机问题的解 当r 2 g 0 1时 即如果生猪每天体重增加1 则出售时间延迟3 例3 森林救火 当森林失火时 接到报警的消防队需要派出消防队员前去救火 派多少人合适呢 模型分析 以森林失火造成的损失大小作为目标来优化救火人数 损失包括两部分 1 因扑火不及 烧掉林木而造成的损失 2 因派出消防队员而产生的支出 目标 总费用最少 由于地形 风力等的不确定 需要简化问题 模型假设 1 0 t t1 过火面积B t 的导数dB dt与t成正比 系数 火势蔓延速度 2 t1 t t2 降为 x 为队员的平均灭火速度 3 过火损失与过火面积B t2 成正比 系数c1 烧毁单位面积损失费 4 每个队员的单位时间灭火费用c2 一次性费用c3 森林救火 假设1的解释 假设1基于以下简化假设 火源向周围匀速蔓延 这样 到t时刻 森林过火区域为B t vt 2 森林救火 模型建立 森林救火 目标函数 总费用 模型求解 求x使C x 最小 森林救火 结果解释 火势不继续蔓延的最少救火人员数 c1 烧毁单位面积损失费 c2 每个队员单位时间灭火费 c3 每个队员一次性费用 t1 开始救火时刻 火势蔓延速度 每个队员平均灭火速度 c2 x c1 t1 x c3 x 为什么 森林救火 例4 冰山运输 背景 波斯湾地区水资源贫乏 淡水主要靠海水淡化 淡化海水的成本为每立方米0 1英镑 专家建议从9600千米远的南极用拖船运送冰山 取代淡化海水 从经济角度研究冰山运输的可行性 建模数据准备 1 日租金和最大运量 冰山运输 2 燃料消耗 英镑 千米 3 融化速率 米 天 冰山运输 建模目的 选择船型和船速 使冰山到达目的地后每立米水的费用最低 并与淡化海水的费用比较 模型假设 航行过程中船速不变 总距离9600千米 冰山呈球形 球面各点融化速率相同 到达目的地后 每立方米冰可融化0 85立方米水 冰山运输 建模分析 目的地水体积 运输过程融化规律 总费用 决策变量 船速 船型 目标 每立方水的费用 如何从离散数据中挖掘出有用的信息 冰山运输 模型建立 1 冰山融化规律 船速u 千米 小时 与南极距离d 千米 融化速率r 米 天 r是u的线性函数 d4000时u与d无关 航行t天 第t天融化速率 冰山运输 模型建立 冰山体积变化规律 冰山初始半径R0 航行t天时半径 冰山初始体积 t天时体积 总航行天数 选定u V0 航行t天时冰山体积 到达目的地时冰山体积 冰山运输 2 燃料消耗 燃料消耗数据q1 英镑 千米 q1对u线性 对log10V线性 选定u V0 航行第t天燃料消耗q 英镑 天 燃料消耗总费用 模型建立 冰山运输 3 运送每立方米水费用 冰山初始体积V0的日租金f V0 英镑 航行天数 总燃料消耗费用 拖船租金费用 冰山运输总费用 模型建立 冰山运输 模型求解 选择船型和船速 使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低 V0只能取离散值 经验公式很粗糙 冰山运输 结果分析 由于未考虑影响航行的种种不利因素 冰山到达目的地后实际体积会显著小于V u V0 有关部门认为 只有当计算出的Y u V0 显著低于淡化海水的成本时 才考虑其可行性 大型拖船V0 107 米3 船速u 4 5 千米 小时 冰山到达目的地后每立米水的费用Y u V0 约0 065 英镑 虽然0 065英镑略低于淡化海水的成本0 1英镑 但是模型假设和构造非常简化与粗糙 冰山运输 数学规划模型 有约束的优化问题的一般数学描述为 当变量个数和约束条件的个数较多时 像处理简单优化模型那样随意建模很难把问题处理好 因此需要新的建模和求解思路 这种规模较大的优化问题称为规划问题 规划问题的建模特点 分类研究 规范化 建模和计算分离 优化模型的分类 数学规划模型 线性规划 非线性规划 整数规划和混合规划 动态规划 网络优化 变分模型 连续动态优化 线性规划模型 线性规划模型的数学结构 线性规划模型的一般形式为 matlab中的线性规划函数只处理上述形式的模型 其他形式要先化为上述形式 求解线性规划问题的基本思路 求解线性规划问题的基本方法是单纯形法 考虑一个简单的问题 满足约束条件的点集称为可行域 规划问题就是从可行域中寻找目标函数的最优解 约束条件 目标函数 z c 常数 等值线 在B 20 30 点得到最优解 目标函数和约束条件是线性函数 可行域为线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边形的某个顶点取得 可行域 奶制品厂用牛奶生产A1 A2两种奶制品 一桶牛奶可在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1 或在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2 生产的A1 A2全部都能售出 且每公斤A1获利24元 每公斤A2获利16元 加工厂每天能得到50桶牛奶 每天正式工人总的劳动时间为480小时 甲类设备每天至多加工100公斤A1 乙类设备的加工能力没有限制 试为该厂制定一个生产计划 使每天获利最大 例1 加工奶制品的生产计划 50桶牛奶 480小时 至多加工100公斤A1 每天 制订生产计划 使每天获利最大 35元可买到1桶牛奶 买吗 若买 每天最多买多少 可聘用临时工人 付出的工资最多是每小时几元 A1的获利增加到30元 公斤 应否改变生产计划 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2 获利24 3x1 获利16 4x2 原料供应 劳动时间 加工能力 决策变量 目标函数 每天获利 约束条件 非负约束 线性规划模型 LP 模型求解 软件实现 LINDO max72x1 64x2st2 x1 x2 503 12x1 8x2 4804 3x1 100end OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 3360 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120 0000000 000000X230 0000000 000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 00000048 0000003 0 0000002 0000004 40 0000000 000000NO ITERATIONS 2 DORANGE SENSITIVITY ANALYSIS 20桶牛奶生产A1 30桶生产A2 利润3360元 no 结果解释 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 3360 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120 0000000 000000X230 0000000 000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 00000048 0000003 0 0000002 0000004 40 0000000 000000NO ITERATIONS 2 原料无剩余 时间无剩余 加工能力剩余40 max72x1 64x2st2 x1 x2 503 12x1 8x2 4804 3x1 100end 三种资源 资源 剩余为零的约束为紧约束 有效约束 结果解释 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 3360 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120 0000000 000000X230 0000000 000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 00000048 0000003 0 0000002 0000004 40 0000000 000000NO ITERATIONS 2 最优解下 资源 增加1单位时 效益 的增量 原料增加1单位 利润增长48 时间增加1单位 利润增长2 加工能力增长不影响利润 影子价格 35元可买到1桶牛奶 要买吗 35 48 应该买 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元 2元 RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172 00000024 0000008 000000X264 0000008 00000016 000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250 00000010 0000006 6666673480 00000053 33333280 0000004100 000000INFINITY40 000000 最优解不变时目标函数系数允许变化范围 DORANGE SENSITIVITY ANALYSIS x1系数范围 64 96 x2系数范围 48 72 A1获利增加到30元 千克 应否改变生产计划 x1系数由24 3 72增加为30 3 90 在允许范围内 不变 约束条件不变 结果解释 RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172 00000024 0000008 000000X264 0000008 00000016 000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250 00000010 0000006 6666673480 00000053 33333280 0000004100 000000INFINITY40 000000 影子价格有意义时约束右端的允许变化范围 原料最多增加10 时间最多增加53 35元可买到1桶牛奶 每天最多买多少 最多买10桶 目标函数不变 例2奶制品的生产销售计划 在例1条件下 为增加工厂的利润 开发奶制品深加工技术 用2小时和3元加工费 可将1公斤A1加工成0 8公斤高级奶制品B1 也可以将1公斤A2加工成0 75公斤高级奶制品B2 1公斤B1可获利44元 1公斤B2可获利32元 试为该厂制定生产销售计划 使每天的净利润最大 并讨论以下问题 若投资30元可增加供应1桶牛奶 投资3元可增加一小时工作时间 应否作这些投资 若每天投资150元 可赚回多少 每公斤高级奶制品的获利经常有10 的波动 这对制定的生产销售计划有没有影响 若每公斤B1的获利下降10 计划应该变化吗 在例1基础上深加工 制订生产计划 使每天净利润最大 30元可增加1桶牛奶 3元可增加1小时时间 应否投资 现投资150元 可赚回多少 50桶牛奶 480小时 至多100公斤A1 B1 B2的获利经常有10 的波动 对计划有无影响 出售x1千克A1 x2千克A2 x3千克B1 x4千克B2 原料供应 加工能力 决策变量 目标函数 利润 约束条件 非负约束 x5千克A1加工B1 x6千克A2加工B2 附加约束 劳动时间 运输问题 生产 生活物资从若干供应点运送到一些需求点 怎样安排输送方案使运费最小 或利润最大 各种类型的货物装箱 由于受体积 重量等限制 如何搭配装载 使获利最高 或装箱数量最少 例1自来水输送 某城市有甲 乙 丙 丁四个居民区 自来水由A B C三个水库供应 四个区每天必须得到的基本生活用水量分别为30 70 10 10千吨 此外 四个区都向公司申请了额外用水量 分别为每天50 70 20 40千吨 由于水源紧张 三个水库每天最多只能分别供应50 60 50千吨 由于地理位置的差别 自来水公司从各水库向各区送水付出的引水管理费不同 见表 其他管理费都是450元 千吨 各区用户按统一标准900元 千吨收费 如何分配用水量能获利最多 其他费用 450元 千吨 应如何分配水库供水量 公司才能获利最多 若水库供水量都提高一倍 公司利润可增加到多少 收入 900元 千吨 支出 总供水量 160 确定送水方案使利润最大 问题分析 总需求量 120 180 300 总收入900 160 144 000 元 收入 900元 千吨 其他费用 450元 千吨 支出 引水管理费 表格给出 其他支出450 160 72 000 元 供应限制 约束条件 需求限制 目标函数 水库i向j区的日供水量为xij x34 0 决策变量 模型建立 非负限制 惩罚因子 假设第i个水库到第j个小区的引水管理费为cij 且取c34 100000 惩罚因子 则模型可以写成简洁的形式 惩罚因子的意义在于 阻止x34偏离0 模型求解 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 24400 00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110 00000030 000000X1250 0000000 000000X130 00000050 000000X140 00000020 000000X210 00000010 000000X2250 0000000 000000X230 00000020 000000X2410 0000000 000000X3140 0000000 000000X320 00000010 000000X3310 0000000 000000 利润 总收入 其它费用 引水管理费 144000 72000 24400 47600 元 引水管理费24400 元 目标函数 总供水量 320 总需求量 300 每个水库最大供水量都提高一倍 利润 收入 900 其它费用 450 引水管理费 供应限制 B C类似处理 问题2 确定送水方案使利润最大 需求约束可以不变 例2货机装运 某架飞机有三个货舱 前舱 中舱和后舱 三个货舱所能装载货物的最大重量和最大体积都有限制 如表1 并且为了保持飞机的平衡 三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例 现有四类货物供该货机本次飞行装运 有关信息见表2 应如何安排装机使本次飞行获利最大 表1 表2 如何装运 使本次飞行获利最大 三个货舱最大载重 吨 最大容积 米3 例2货机装运 三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例 飞机平衡 决策变量 xij 第i种货物装入第j个货舱的重量 吨 i 1 2 3 4 j 1 2 3 分别代表前 中 后仓 模型假设 每种货物可以分割到任意小 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布 多种货物可以混装 并保证不留空隙 模型建立 货舱容积 目标函数 利润 约束条件 货机装运 模型建立 货物重量 xij 第i种货物装入第j个货舱的重量 决策变量 约束条件 平衡要求 货物供应 模型建立 xij 第i种货物装入第j个货舱的重量 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 121515 8VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110 000000400 000000X120 00000057 894737X130 000000400 000000X2110 0000000 000000X220 000000239 473679X235 0000000 000000X310 0000000 000000X3212 9473690 000000X333 0000000 000000X410 000000650 000000X423 0526320 000000X430 000000650 000000 货物2 前仓10 后仓5 货物3 中仓13 后仓3 货物4 中仓3 模型求解 最大利润约121516元 货物 供应点货舱 需求点 平衡要求 如果生产某一类型汽车 则至少要生产80辆 那么最优的生产计划应作何改变 例1汽车厂生产计划 汽车厂生产三种类型的汽车 已知各类型每辆车对钢材 劳动时间的需求 利润及工厂每月的现有量 制订月生产计划 使工厂的利润最大 汽车生产与原油采购 决策变量 每月生产小 中 大型汽车的数量分别为x1 x2 x3 汽车厂生产计划 模型建立 线性规划模型 LP 模型求解 3 模型中增加条件 x1 x2 x3均为整数 重新求解 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 632 2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164 5161290 000000X2167 7419280 000000X30 0000000 946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 0000000 7311833 0 0000000 003226 结果为小数 怎么办 1 舍去小数 取x1 64 x2 167 算出目标函数值z 629 与LP最优值632 2581相差不大 2 试探 如取x1 65 x2 167 x1 64 x2 168等 计算函数值z 通过比较可能得到更优的解 但必须检验它们是否满足约束条件 为什么 LINDO程序 整数规划 IntegerProgramming 简记IP gin3 表示 前3个变量为整数 等价于 ginx1ginx2ginx3 IP的最优解x1 64 x2 168 x3 0 最优值z 632 max2x1 3x2 4x3st1 5x1 3x2 5x3 600280 x1 250 x2 400 x3 60000endgin3 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 632 0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164 000000 2 000000X2168 000000 3 000000X30 000000 4 000000 模型求解 IP结果输出 其中3个子模型应去掉 然后逐一求解 比较目标函数值 再加上整数约束 得最优解 方法1 分解为8个LP子模型 汽车厂生产计划 若生产某类汽车 则至少生产80辆 求生产计划 x1 x2 x3 0或 80 x1 80 x2 150 x3 0 最优值z 610 LINDO中对0 1变量的限定 inty1inty2inty3 方法2 引入0 1变量 化为整数规划 M为大的正数 可取1000 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 610 0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX180 000000 2 000000X2150 000000 3 000000X30 000000 4 000000Y11 0000000 000000Y21 0000000 000000Y30 0000000 000000 若生产某类汽车 则至少生产80辆 求生产计划 x1 0或 80 最优解同前 NLP虽然可用现成的数学软件求解 如LINGO MATLAB 但是其结果常依赖于初值的选择 方法3 化为非线性规划 非线性规划 Non LinearProgramming 简记NLP 实践表明 本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时 才能得到正确的结果 若生产某类汽车 则至少生产80辆 求生产计划 x1 0或 80 例2原油采购与加工 某公司用两种原油 A和B 混合加工两种汽油 甲和乙 甲 乙两种汽油含原油A的最低比例分别为50 和60 每吨售价分别为4800元和5600元 该公司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨 还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A 原油A的市场价为 购买量不超过500吨时的单价为10000元 吨 购买量超过500吨但不超过1000吨时 超过500吨部分8000元 吨 购买量超过1000吨时 超过1000吨部分6000元 吨 该公司应该如何安排原油的采购和加工 应如何安排原油的采购和加工 问题分析 市场上可买到不超过1500吨的原油A 购买量不超过500吨时的单价为10000元 吨 购买量超过500吨但不超过1000吨时 超过500吨的部分8000元 吨 购买量超过1000吨时 超过1000吨的部分6000元 吨 决策变量 目标函数 问题分析 利润 销售汽油的收入 购买原油A的支出难点 原油A的购价与购买量的关系较复杂 原油A的购买量 原油A B生产汽油甲 乙的数量 c x 购买原油A的支出 利润 千元 c x 如何表述 原油供应 约束条件 x 500吨单价为10千元 吨 500吨 x 1000吨 超过500吨的8千元 吨 1000吨 x 1500吨 超过1000吨的6千元 吨 目标函数 目标函数中c x 不是线性函数 是非线性规划 对于用分段函数定义的c x 一般的非线性规划软件也难以输入和求解 想办法将模型化简 用现成的软件求解 汽油含原油A的比例限制 约束条件 x1 x2 x3 以价格10 8 6 千元 吨 采购A的吨数 目标函数 只有当以10千元 吨的价格购买x1 500 吨 时 才能以8千元 吨的价格购买x2 方法1 非线性规划模型 可以用LINGO求解 模型求解 500吨 x 1000吨 超过500吨的8千元 吨 x x1 x2 x3 c x 10 x1 8x2 6x3 方法1 LINGO求解 Model Max 4 8 x11 4 8 x21 5 6 x12 5 6 x22 10 x1 8 x2 6 x3 x11 x120 2 x12 3 x22 0 x x1 x2 x3 x1 500 x2 0 x2 500 x3 0 x10 x11 0 x12 0 x21 0 x22 0 x1 0 x2 0 x3 0 end Objectivevalue 4800 000VariableValueReducedCostX11500 00000 0000000E 00X21500 00000 0000000E 00X120 0000000E 000 0000000E 00X220 0000000E 000 0000000E 00X10 1021405E 1310 00000X20 0000000E 008 000000X30 0000000E 006 000000X0 0000000E 000 0000000E 00 LINGO得到的是局部最优解 还能得到更好的解吗 用库存的500吨原油A 500吨原油B生产汽油甲 不购买新的原油A 利润为4 800千元 y1 y2 y3 1 以价格10 8 6 千元 吨 采购A 增加约束 方法2 0 1线性规划模型 可用LINDO求解 y1 y2 y3 0或1 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 5000 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11 0000000 000000Y21 0000002200 000000Y31 0000001200 000000X110 0000000 800000X210 0000000 800000X121500 0000000 000000X221000 0000000 000000X1500 0000000 000000X2500 0000000 000000X30 0000000 400000X1000 0000000 000000 购买1000吨原油A 与库存的500吨原油A和1000吨原油B一起 生产汽油乙 利润为5 000千元 x1 x2 x3 以价格10 8 6 千元 吨 采购A的吨数 优于方法1的结果 方法3 b1 x b2 x z1b1 z2b2 z1 z2 1 z1 z2 0 c x z1c b1 z2c b2 b2 x b3 x z2b2 z3b3 z2 z3 1 z2 z3 0 c x z2c b2 z3c b3 b3 x b4 x z3b3 z4b4 z3 z4 1 z3 z4 0 c x z3c b3 z4c b4 直接处理处理分段线性函数c x IP模型 LINDO求解 得到的结果与方法2相同 处理分段线性函数 方法3更具一般性 bk x bk 1 yk 1 否则 yk 0 方法3 bk x bk 1 x zkbk zk 1bk 1zk zk 1 1 zk zk 1 0 c x zkc bk zk 1c bk 1 对于k 1 2 3 分派问题 接力队选拔和选课策略 若干项任务分给一些候选人来完成 每人的专长不同 完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同 如何分派任务使获得的总效益最大 或付出的总资源最少 若干种策略供选择 不同的策略得到的收益或付出的成本不同 各个策略之间有相互制约关系 如何在满足一定条件下作出决择 使得收益最大或成本最小 丁的蛙泳成绩退步到1 15 2 戊的自由泳成绩进步到57 5 组成接力队的方案是否应该调整 如何选拔队员组成4 100米混合泳接力队 例1混合泳接力队的选拔 5名候选人的百米成绩 穷举法 组成接力队的方案共有5 120种 目标函数 队员i参加泳姿j 则记xij 1 否则记xij 0 0 1规划模型 cij 秒 队员i第j种泳姿的百米成绩 约束条件 每人最多入选泳姿之一 每种泳姿有且只有1人 决策变量 模型求解 MIN66 8x11 75 6x12 87x13 58 6x14 67 4x51 71x52 83 8x53 62 4x54SUBJECTTOx11 x12 x13 x14 1 x41 x42 x43 x44 1x11 x21 x31 x41 x51 1 x14 x24 x34 x44 x54 1ENDINT20 最优解 x14 x21 x32 x43 1 其它变量为0 成绩为253 2 秒 4 13 2 输入LINDO求解 甲 自由泳 乙 蝶泳 丙 仰泳 丁 蛙泳 丁蛙泳c43 69 6 75 2 戊自由泳c54 62 4 57 5 方案是否调整 乙 蝶泳 丙 仰泳 丁 蛙泳 戊 自由泳 IP规划一般没有与LP规划相类似的理论 LINDO输出的敏感性分析结果通常是没有意义的 最优解 x21 x32 x43 x51 1 成绩为4 17 7 c43 c54的新数据重新输入模型 用LINDO求解 指派 Assignment 问题 每项任务有且只有一人承担 每人只能承担一项 效益不同 怎样分派使总效益最大 讨论 为了选修课程门数最少 应学习哪些课程 例2选课策略 某学校规定 运筹学专业学生必须至少学习两门数学 三门运筹学和两门计算机 这些课的名称 学分 类别和先修课程如下表 选修课程最少 且学分尽量多 应学习哪些课程 0 1规划模型 决策变量 目标函数 xi 1 选修课号i的课程 xi 0 不选 选修课程总数最少 约束条件 2门计算机课 最少2门数学课 三门运筹学课 先修课程要求 最优解 x1 x2 x3 x6 x7 x9 1 其它为0 6门课程 总学分21 0 1规划模型 约束条件 x3 1必有x1 x2 1 模型求解 LINDO 学分最多 多目标优化的处理方法 化成单目标优化 两目标 多目标 规划 讨论 选修课程最少 学分尽量多 应学习哪些课程 课程最少 以学分最多为目标 不管课程多少 以课程最少为目标 不管学分多少 多目标规划 在课程最少的前提下以学分最多为目标 最优解 x1 x2 x3 x5 x7 x9 1 其它为0 总学分由21增至22 注意 最优解不唯一 LINDO无法告诉优化问题的解是否唯一 可将x9 1易为x6 1 多目标规划 对学分数和课程数加权形成一个目标 如三七开 最优解 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x9 1 其它为0 总学分28 讨论与思考 最优解与 1 0 2 1的结果相同 学分最多 多目标规划 最优解与 1 1 2 0的结果相同 课程最少 饮料厂的生产与检修 单阶段生产计划 多阶段生产计划 生产批量问题 企业生产计划 考虑与产量无关的固定费用 给优化模型求解带来新的困难 如何安排生产计划 满足每周的需求 使4周总费用最小 每周有剩余时 要支付存贮费 每周每千箱饮料0 2千元 例1饮料厂的生产与检修计划 在4周内安排一次设备检修 占用当周15千箱生产能力 能使检修后每周增产5千箱 检修应排在哪一周 生产某种饮料4周的需求量 生产能力和成本如下表 问题分析 除第4周外每周的生产能力超过每周的需求 生产成本逐周上升 前几周应多生产一些 饮料厂在第1周开始时没有库存 从费用最小考虑 第4周末不能有库存 周末有库存时需支出一周的存贮费 每周末的库存量等于下周初的库存量 模型假设 目标函数 约束条件 产量 库存与需求平衡 决策变量 能力限制 非负限制 模型建立 x1 x4 第1 4周的生产量 y1 y3 第1 3周末库存量 存贮费 0 2 千元 周 千箱 模型求解 4周生产计划的总费用为528 千元 最优解 x1 x4 15 40 25 20 y1 y3 0 15 5 LINDO求解 检修计划 0 1变量wt wt 1 检修安排在第t周 t 1 2 3 4 在4周内安排一次设备检修 占用当周15千箱生产能力 能使检修后每周增产5千箱 检修应排在哪一周 检修安排在任一周均可 约束条件 能力限制 产量 库存与需求平衡条件不变 增加约束条件 检修1次 检修计划 目标函数不变 0 1变量wt wt 1 检修安排在第t周 t 1 2 3 4 LINDO求解 总费用由528千元降为527千元 检修所导致的生产能力提高的作用 需要更长的时间才能得到充分体现 最优解 w1 1 w2 w3 w4 0 x1 x4 15 45 15 25 y1 y3 0 20 0 例2饮料的生产批量问题 安排生产计划 满足每周的需求 使4周总费用最小 存贮费 每周每千箱饮料0 2千元 饮料厂使用同一条生产线轮流生产多种饮料 若某周开工生产某种饮料 需支出生产准备费8千元 某种饮料4周的需求量 生产能力和成本如下表 生产批量问题的一般提法 ct 时段t生产费用 元 件 ht 时段t 末 库存费 元 件 st 时段t生产准备费 元 dt 时段t市场需求 件 Mt 时段t生产能力 件 假设初始库存为0 制订生产计划 满足需求 并使T个时段的总费用最小 决策变量 xt 时段t生产量 yt 时段t 末 库存量 wt 1 时段t开工生产 wt 0 不开工 目标 约束条件 混合0 1规划模型 最优解 x1 x4 15 40 45 0 总费用 554 0 千元 生产批量问题的一般提法 将所给参数代入模型 用LINDO求解 生产中通过切割 剪裁 冲压等手段 将原材料加工成所需大小 钢管和易拉罐下料 原料下料问题 按照工艺要求 确定下料方案 使所用材料最省 或利润最大 问题1 如何下料最节省 例1钢管下料 问题2 客户增加需求 节省的标准是什么 由于采用不同切割模式太多 会增加生产和管理成本 规定切割模式不能超过3种 如何下料最节省 按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合 切割模式 合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸 钢管下料 为满足客户需要 按照哪些种合理模式 每种模式切割多少根原料钢管 最为节省 合理切割模式 2 所用原料钢管总根数最少 两种标准 1 原料钢管剩余总余量最小 钢管下料 xi 按第i种模式切割的原料钢管根数 需求约束 决策变量 目标1 总余量 按模式2切割12根 按模式5切割15根 余料27米 最优解 x2 12 x5 15 其余为0 最优值 27 整数约束 钢管下料 xi为整数 当余料没有用处时 通常以总根数最少为目标 目标2 总根数 约束条件不变 最优解 x2 15 x5 5 x7 5 其余为0 最优值 25 xi为整数 按模式2切割15根 按模式5切割5根 按模式7切割5根 共25根 余料35米 与目标1的结果 共切割27根 余料27米 相比 虽余料增加8米 但减少了2根 钢管下料 钢管下料问题2 对大规模问题 用约束条件界定合理模式 增加一种需求 5米10根 切割模式不超过3种 有4种需求 4米50根 5米10根 6米20根 8米15根 用枚举法确定合理切割模式 过于复杂 决策变量 xi 按第i种模式切割的原料钢管根数 i 1 2 3 r1i r2i r3i r4i 第i种切割模式下 每根原料钢管生产4米 5米 6米和8米长的钢管的数量 钢管下料 满足需求 模式合理 每根余料不超过3米 整数非线性规划模型 目标函数 总根数 约束条件 整数约束 xi r1i r2i r3i r4i i 1 2 3 为整数 钢管下料 增加约束 缩小可行域 便于求解 原料钢管总根数下界 特殊生产计划 对每根原料钢管模式1 切割成4根4米钢管 需13根 模式2 切割成1根5米和2根6米钢管 需10根 模