《数学模型》课程设计.doc

1 数学模型 课程设计 三层玻璃窗的保暖功效三层玻璃窗的保暖功效 院 系 名称 信息工程学院 专 业 班 级 08 信计班 学 号 080111019 学 生 姓 名 田青 指 导 教 师 王爱萍 2010 年 6 月 21 日 2 题目 三层玻璃窗的保暖功效 学生姓名 田 青学号 080111019 指导教师评语及成绩 指导教师签名 年 月 日 答辩评语及成绩 答辩教师签名 年 月 日 教研室意见 总成绩 教研室主任签名 年 月 日 3 课程设计任务书 2007 2008 学年第二学期 专业班级 08 普本信计班 学号 080111019 姓名 田青 课程设计名称 数学模型 设计题目 三层玻璃窗的保暖功效 完成期限 自 年 月 日至 年 月 日共 周 设计依据 要求及主要内容 一 设计目的 在解决实际问题时 应尽可能用简单而且初等的方法建模 方法越简单 初等 模型就越容易让更多人理解 接受和采用 因而也就更具有价值 通过 此次数学模型的设计 学会用简单的建模方法来解决生活中的很多问题 并应 用于生活 二 设计要求 会用简单 初等的方法建模 解决复杂的问题 进而在初等的基础上进行 提高 此次设计是建立初等方程并求得结果 对结果进行定量的分析得出结论 并对结果进行推广 三 参考文献 1 戴朝寿 孙世良 数学建模简明教程 M 北京 高等教育出版社 2007 2 姜启源 数学模型 M 北京 高等教育出版社 1993 3 石博强 赵金 MATLAB 数学计算与工程分析范例教程 M 北京 中国 铁道出版社 2005 工作任务与工作量要求 查阅文献资料不少于 3 篇 课程设计报告 1 篇不少于 3000 字 指导教师 签字 教研室主任 签字 批准日期 年 月 课程设计说明书 论文 4 三层玻璃窗的保暖功效三层玻璃窗的保暖功效 摘摘 要要 此次设计是为了研究三层玻璃窗的保暖功效而设计的数学模型 主要运用 初等方法建立模型 借助 MATLAB 工具 完成计算及结果绘图 通过建立方程组 把问题数学化 简单化 来进行解答 此次设计借助这次题目主要说明数学在 生活中的重要应用 并会用建模的方法解决实际问题 关键 关键 数学建模 Newton 冷却定律 热传导 能量守恒定律 课程设计说明书 论文 5 1 数学模型的背景数学模型的背景 5 2 2数学建模的实际意义数学建模的实际意义 5 3建模的整个过程建模的整个过程 7 3 1 课题描述课题描述 7 3 23 2 运用初等方法建模运用初等方法建模 7 3 2 13 2 1 模型假设模型假设 7 3 2 23 2 2 模型建立模型建立 8 3 2 33 2 3 模型求解模型求解 9 4 模型的分析及应用模型的分析及应用 10 总结 总结 13 参考文献参考文献 14 课程设计说明书 论文 6 1 数学模型的背景数学模型的背景 数学模型 Mathematical Model 是近年来发展起来的新学科 是数学理论与 实际问题相结合的一门学科 它将现实问题归结为数学问题 不论这个问题是 来自工程 经济 金融还是社会 生命科学领域 它都设法在数学与实际问题 间建立一座桥梁 并在此基础上利用数学的概念 方法和理论进行深入的分析 和研究 从而从定性或定量的角度来刻画实际问题 并未解决实际问题提供精 确的数据或可靠的指导 数学模型是对现实世界的一个特定对象 为了一个特 定的目的 根据特有的内在规律 做出一些必要的简化假设 运用适当的数学 工具 得到一个数学结构 2 它可以使等式或不等式以及图表 图像 框图 等描述客观事物及其内在联系的数学结构表达式 它要求真实 系统的 完整 的反映客观现象 具有代表性 必须反映完成基本任务所达到的各种业绩 而 且要与实际情况相符合 而且要简明实用 适应变化 2 2数学建模的实际意义数学建模的实际意义 数学 作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学 在它残生和发 展的历史长河中 一直和人们生活的实际需要密切相关 作为用数学方法解决 实际问题的第一步 数学建模自然有着与数学同样悠久的历史 两千多年以前 创立的欧几里德几何 17 实际发现的牛顿万有引力定律 都是科学史上数学建 模的成功范例 数学建模师数学走向的必经之路 在应用数学学科中占有重要地位 特别 在今天 应用数学正迅速的从传统应用数学进入现代应用数学阶段 一个突出 的标志是数学的应用范围空前扩展 从传统的力学 物理 天文等领域拓展到 化学 生物 医学 经济 金融 保险 管理 信息 材料 环境 能源等学 科以及各种高科技甚至语言 人文 社会等领域 传统数学领域数学模型已经 是该领域的核心内容 但很多新领域的规律还在探索之中 数学建模具有广泛 的应用空间 也面临着实质性的挑战 因此 数学建模不仅近一步凸显了它的 重要性 而且已成为现代应用数学的一个重要组成部分 并为现代应用数学乃 至整个数学科学的发展提供了进一步的机遇和无限的生机 课程设计说明书 论文 7 3建模的整个过程建模的整个过程 3 1 课题描述课题描述 我国淮河以北许多城镇的有些建都物的窗户是双层的 即窗户上装两层玻 璃窗且中间留有一定空隙 如图 1 两层厚度为 d 的玻璃夹着一层厚度为 L 的 空气 据说这样做是为了保暖 既减少热量从室内像是外流失 很少见有居民 用三层玻璃窗来保暖的 现在我们要建立一个数学模型来描述热量通过窗户的 传导 并将三层玻璃窗与同样多材料做成的双层玻璃窗和单层玻璃窗的热量传 导来进行对比 对三层玻璃窗能够减少的热量损失进行定量分析 解释为什么 三层玻璃窗所使用较少 墙墙墙 1 2 1 3 4 2 1 3 4 3 4 2 3d 5 6 5 7 6 7 6 7 墙墙 墙 1 代表 2 代表 3 代表 3 代表 4 代表 1T2TaT1aT 4 代表 5 代表 1 5d 6 代表 L 7 代表 d 代表 bT1bT 热传导方向 3 23 2 运用初等方法建模运用初等方法建模 3 2 13 2 1 模型假设模型假设 问题中所涉及的热量传导现象于室内外的温度有关与玻璃窗的密封状况 玻 璃材质有关 也与房间门的保温情况有关 为便于在较为理想的环境下根据物 理定律进行数学描述 现做出如下假设 1 假定窗户的密封性能很好 不管是三层玻璃窗还是两层玻璃窗两块玻 璃之间的空气是不流动的 因而热量的传播过程只有传导 而没有对 流 此外也忽略辐射散热 2 室内温度和室外温度保持不变 热传导过程已处于稳定状态 1T2T 课程设计说明书 论文 8 即沿热传导方向 单位时间通过单位面积的热量是与时间和位置无关 的常数 3 玻璃材质均匀 热传导系数是常数 4 室内热量从房门等其他途径传出而损失的情况忽略不计 3 2 23 2 2 模型建立模型建立 在上述假设下热传导过程遵从下面的 Newwton 冷却定律 对于厚度为 d 的 均匀介质 若两侧温差为 这单位时间有温度高的一侧向温度低的一侧通过T 单位面积的热 Q 与成正比 与 d 成反比 即T Q k 其中 k 为热传导系数 T d 如图所示的温度 玻璃的热传导系数 1T2TaTbT1aT1bT1k 空气的热传导系数 根据能量守恒定律 当达到热平衡时 由室内传导到窗 2k 上的热量等于窗内侧传导到外侧的热量 同时也等于由窗外侧散失到窗外的热 量 因而上述公式中的 Q 应相等 即单位时间单位面积得热量传导 即热量流 失 为 三层玻璃窗 1 3 1 a d Q TT k 3 2 ab l Q TT k 1 3 1 ba d Q TT k 11 3 2 ab l Q TT k 12 3 1 b d Q TT k 五式相加得 记 使得 12 3 12 32 dl Q TT kk l h d 1 2 sh k k 12 1 3 32s d TT Q k 课程设计说明书 论文 9 二层玻璃窗 1 2 1 1 5 a d Q TT k 2 2 ab l Q TT k 2 2 1 1 5 b d Q TT k 三式相加得 记 便得 12 2 12 3dl Q TT kk l h d 1 2 sh k k 12 1 2 3s d TT Q k 单层玻璃窗 得 12 1 1 3d Q TT k 12 1 1 3d TT Q k 3 2 33 2 3 模型求解模型求解 为对三种玻璃窗的保暖效果进行比较 只需要对这三个不同的热量传导值 进行比较即可 考虑两者之比 3 1 3 32s Q Q 2 1 3 3s Q Q 3 2 3 32 s s Q Q 显然 即三层玻璃窗和二层玻璃窗减少的热量 31 QQ 21 QQ 32 QQ 损失比小于同样多材料做成的单层玻璃窗的热量损失 为了得到具体的结果 我们需要和的数据 从有关资料可知 常用玻璃的热传导系数 1k2k1k J 不流通 干燥空气的热传导系数 33 4 8 1010 cm s c J 于是 2k 4 2 5 10 cm s c 课程设计说明书 论文 10 1 2 k k 1632 在定量分析三层玻璃窗比单层玻璃窗减少热量损失和二层玻璃窗比单层玻璃窗 减少热量损失和三层玻璃窗比二层玻璃窗减少热量损失时 我们做最保守的估 计 即取 于是有上面的结果可得到 s 16h 从而可得到 1 2 k k 16 其中 3 1 3 332h Q Q 32 12 33 16 3 16332 h hh QQ QQ l h d 4 模型的分析及应用模型的分析及应用 用 matlab 画图 建立 M 文件 输入程序如下 clear syms x lims 0 8 y31 3 3 32 x y21 3 3 16 x y32 3 16 x 3 32 x subplot 3 1 1 ezplot y31 lims subplot 3 1 2 ezplot y21 lims subplot 3 1 3 ezplot y32 lims 在 matlab 里运行得到如下图形 课程设计说明书 论文 11 012345678 0 05 0 1 0 15 x 3 3 32 x 012345678 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 x 3 3 16 x 012345678 0 52 0 54 0 56 x 3 16 x 3 32 x 图片 1 1 有以上三个图可知比值反映了玻璃窗在减少热量损失上的功效 它只与有关 由可知 当由 0 增加时 比值迅速 l h d 3 1 Q Q h 3 1 Q Q 下降 表明三层玻璃窗中间的空隙越大 比单层玻璃窗的保暖效 果越好 而当超过一定的比值以后 比如 比值下降变缓 h3h 可见不宜过大 第二个曲线亦如此 当后 比值开始h4h 2 1 Q Q 变缓 曲线三反映的比值随的增大即玻璃之间的空隙越大 3 2 Q Q h 三层玻璃窗比两层玻璃窗的保暖效果越好 但是当之后 h4 效果就不明显了 从图片上可看出三层玻璃窗比两层玻璃窗的保 暖效果强 30 40 但是耗费的材料多 而且比二层玻璃窗的 保暖效果提高不了多少 所以居民的窗户大多用二层玻璃窗 课程设计说明书 论文 12 2 本数学模型具有一定的应用价值 通常 建筑规范要求 4 l h d 按照这个模型双层玻璃窗比同样多材料做成的单层玻璃窗节约热 量 97 可见双层玻璃窗虽然用的材料多些但节约的热量却是相 当可观的 而三层玻璃窗却不尽然 3 理论上三层玻璃窗和两层玻璃窗的保暖功效虽然很高但实际上它 们的保暖效果与上述结果相比会有一定的差距 课程设计说明书 论文 13 总结 总结 这次做课程设计 我感觉自己就像一个从未学过这门学科的学生 什么都 不知道 不了解 不知道要从何做起 选着什么题目 要怎么做 但我没有放 弃 什么不懂我就问老师 问同学 从选题到建模再到解题 一步一步 最终 完成了此次设计 在这里我要感谢我的老师和同学 我做的是三层玻璃窗的保暖功效效 在此之前 我真没听说过用三层玻璃 窗的 也没见过 但是从网上查了之后才知道 2008 年奥运会水立方用的就是三 层玻璃窗 但是我国淮河以北许多居民的窗户却都是二层玻璃窗 而其他地区 的居民大多用单层玻璃窗 这是什么原因呢 我对此从满困惑 于是决定做这 个课题的数学模型 而且我也觉得这个问题的实际意义也很大 我花了很多时 间在图书管里找资料 上网查阅信息来理解这个课题 考虑如何做题 整理资 料后 理清思路 我便开始建模 在建模时也遇到了很多困难 但我都一一克 服了 最后完成模型的解答和分析 得出结论 一件事情要从头做到尾太不容 易了 这一路走来很是艰辛 我付出了很多 却也收获了很多 数学建模不同于其他学科 它来源于生活 把实际问题简化假设 建立一 个符合实际的模型来解决生活中的实际问题 这次做三层玻璃窗的保暖功效数 学模型很实际也很有现实意义 此外此模型也应用甚广 例如可以建