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第二章场论基础 场的基本概念标量场的等值面与梯度矢量场的通量与散度矢量场的环流与旋度无旋场与无散场矢量微分算子 哈密顿算子 常用坐标系中的有关公式格林定理和亥姆霍兹定理 描述场量的函数包含了场分布和变化的所有信息 借助于等值面 等值线和矢量线可直观描述场在空间的分布和变换规律 但这只是整体性描述 如果要了解场的局部特性 即考虑场在空间每个点沿各个方向的变化情况 对于标量场 需要引入方向导数和梯度的概念 对于矢量场 需要引入散度和旋度的概念 第一节场的基本概念 场 在自然界中 许多问题是定义在确定空间区域上的 在该区域上每一点都有确定的量与之对应 我们称在该区域上定义了一个场 如强度场 速度场 引力场 电磁场 温度场等等 其中这个确定的量则称为场量 如果物理量是标量 称该场为标量场 例如 温度场 电位场 高度场等 如果物理量是矢量 称该场为矢量场 例如 流速场 重力场 电场 磁场等 如果场与时间无关 称为静态场 反之为时变场 时变标量场和矢量场可分别表示为 从数学上看 场是定义在空间区域上的函数 静态标量场和矢量场可分别表示为 温度场分布示意图 电场分布示意图 源点与场点源点 场源所在的位置场点 空间分布的物理量所在的位置源点到场点的距离矢量 在整个工程电磁场的学习过程中 是非常重要的量这个量联系着源点与场点 决定着场量与场源之间的空间关系 标量场的等值面 等值面 标量场取同一数值的点在空间形成的曲面 等值面方程 常数C取一系列不同的值 就得到一系列不同的等值面 形成等值面族 标量场的等值面充满场所在的整个空间 标量场的等值面互不相交 等值面的特点 意义 形象直观地描述了物理量在空间的分布状态 第二节标量场的等值面与梯度 点电荷电场线与等势面 等电位面 由电位相同的点所组成的等值面如右图所示 一个点电荷所产生的电位为 因此等电位方程为 解得 上式为以原点为球心的球面方程 2 标量场的方向导数和梯度 方向导数是标量函数在一点处沿任意方向对空间的变化率 它的数值与所取的方向有关 在不同的方向上的值是不同的 但它并不是矢量 图示 为场中的任意方向 P1是这个方向线上给定的一点 P2为同一线上邻近的一点为p2和p1之间的距离 场量从p1沿到p2的增量为 若极限存在 将该极限值记作 称之为标量场在p1处沿的方向导数 根据全微分的定义 有 标量场u x y z 在P点沿dl方向的方向导数 设线微分元dl的方向余弦为 即 所以方向导数表示为 例1求函数 在点 处沿 方向的方向导数 解 而 的方向余弦为 根据方向导数的公式 标量场的梯度 定义 如果在空间中任一点M处存在矢量 其方向为场函数在M点处变化率最大 方向导数最大 的方向 其模 G 是这个最大变化率的数值 则称矢量为标量场u在点M处得梯度 梯度的意义 空间某点标量场函数的最大变化率 引入梯度算子 u的梯度表示为 当与平行时 方向导数取得最大值 G 由 可知 说明 标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系 这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研究 或者说标量场可以通过矢量场来研究 1 标量场的梯度是矢量 其方向垂直于通过该点的等值面 或切平面 2 指向标量函数变化最快的方向3 是标量函数空间变化率最大的方向导数4 标量函数在某点的方向导数 此函数的梯度与该方向单位矢量的标量积 梯度的性质 梯度运算的基本公式 式中C为常数 为坐标变量函数 例2 已知标量场 试求过 点的梯度和梯度的模 解 梯度的定义为 例3求标量函数u x y z x2yz的梯度 并求在空间坐标点P 2 3 1 处 沿方向的方向导数 解 代入P点的空间坐标 2 3 1 得方向导数值为 第三节矢量场的通量与散度 静态矢量场可表示为 时变矢量场可表示为 概念 矢量线是这样的曲线 其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向 线密度表示矢量场的大小 意义 形象直观地描述了矢量场的空间分布状态 可以反映场矢量在线上每一点的方向 例如 电场线 磁感线 矢量场的矢量线 假设M x y z 为矢量线上任一点 则过点M沿矢量线的位移元与矢量A x y z 共线 上面这两个方程称为矢量线方程 矢量线 O M 共线矢量与A x y z 满足方程 或 矢量形式 标量形式 说明 1 矢量线可以充满整个矢量场所在的空间 是一族曲线2 矢量线的稀疏可以反映场量的大小 矢量线方程矢量形式到标量形式 矢量场的通量 若矢量场分布于空间中 在空间中存在任意曲面S 则定义 为矢量沿有向曲面S的通量 问题 如何定量描述矢量场的大小 引入通量的概念 若S为闭合曲面 物理意义 表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和 1 面元矢量定义 面积很小的有向曲面 面元面积 为微分量 无限小 面元法线方向 垂直于面元平面 说明 2 面元法向的确定方法 对非闭合曲面 由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定 对闭合曲面 闭合面外法线方向 若 通过闭合曲面有净的矢量线穿出 闭合面内有发出矢量线的正源 若 有净的矢量线进入 闭合面内有汇集矢量线的负源 若 进入与穿出闭合曲面的矢量线相等 闭合面内无源 或正源负源代数和为0 通过闭合面S的通量的物理意义 意义 用来描述空间某一范围内场的发散或会聚 它只具有局域性质 不能反映空间一点的情况 散度定理 矢量场的高斯定理 矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分 即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系 表明了V中的场矢量与边界面 上的场矢量之间的关系 在电磁理论中有着广泛的应用 为了反映空间某一点场的发散与会聚情况 可以将闭合面缩小到体元 体元仅包围一个点 此时 高斯定理可以改为 则 就是矢量场在中单位体积的平均通量 或者平均发散量 当闭合曲面S及其所包围的体积向其内某点收缩时 若平均发散量的极限值存在 便记作 矢量场的散度 散度的重要性在于 可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度 矢量场的散度是标量当div 表示该点有散发通量的正源 当div 表示该点有吸收通量的负源 当div 表示该点无源 若空间各点处处 则称为无源场 散度的计算公式 散度的有关公式 k是常数 直角坐标系下散度表达式的推导 由此可知 穿出前 后两侧面的净通量值为 不失一般性 令包围P点的微体积 V为一直平行六面体 如图所示 则 根据定义 则得到直角坐标系中的散度表达式为 同理 分析穿出另两组侧面的净通量 并合成之 即得由点P穿出该六面体的净通量为 例1求矢量场通过圆锥闭合面的通量 阴影圆的半径为 解 矢量场通过闭合面的通量 矢量场散度 例2点电荷的电位移矢量 求电位移矢量在空间中任意一点的散度 解 电位移 其中 电位移的散度 第四节矢量场的环量与旋度 矢量场的环流与旋涡源 例如 流速场 水流沿平行于水管轴线方向流动 无涡旋运动 左图 流体做涡旋运动 有产生涡旋的源 右图 不是所有的矢量场都由通量源激发 存在另一类不同于通量源的矢量源 它所激发的矢量场的力线是闭合的 它对于任何闭合曲面的通量为零 但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比 即 上式建立了磁场的环流与电流的关系 矢量场的环量 环流 在场矢量空间中 取一有向闭合路径 则称沿积分的结果称为矢量沿的环流 即 如果 表明在区域内无涡旋状态 场线不闭合 称该矢量场为无旋场 又称为保守场 如果 表明在区域内存在涡旋状态 场线闭合 称该矢量场为有旋矢量场 能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源 电流是磁场的旋涡源 斯托克斯定理 斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式 也在电磁理论中有广泛的应用 矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量 即 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系 为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系 引入矢量场的旋度 环流面密度 过点M作一微小曲面 S 它的边界曲线记为C 曲面的法线方向与曲线的绕向成右手螺旋法则 当 S 0时 极限 称为矢量场在M点处沿方向的漩涡源密度 想将闭合曲线缩小到其内某一点附近 那么以闭合曲线L为界的面积逐渐缩小 也将逐渐减小 此时斯托克斯定理可以表示为 一般说来 与比值有一极限值 记作 即单位面积平均环流的极限 矢量场的旋度 式中 即为矢量场的旋度 也可用表示表示矢量场旋度的方向 由上可知 矢量场在M点的旋度为该点处环流面密度最大时对应的矢量 模值等于M点处最大环流面密度 方向为环流密度最大的方向 旋度的有关公式 矢量场的旋度的散度恒为零 标量场的梯度的旋度恒为零 解 矢量场旋度 M点旋度 例1求矢量场在点M 1 0 1 的旋度 沿方向的环量面密度 方向单位矢量 点M 1 0 1 沿方向的环量面密度 解 例2点电荷的电场 求电场旋度 点电荷的静电场是无旋度场 电场旋度 1 矢量场的源 散度源 是标量 产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于 或正比于 该封闭面内所包围的源的总和 源在一给定点的 体 密度等于 或正比于 矢量场在该点的散度 旋度源 是矢量 产生的矢量场具有涡旋性质 穿过一曲面的旋度源等于 或正比于 沿此曲面边界的闭合回路的环量 在给定点上 这种源的 面 密度等于 或正比于 矢量场在该点的旋度 第五节无旋场与无散场 2 矢量场按源的分类 1 无旋场 性质 线积分与路径无关 是保守场 仅有散度源而无旋度源的矢量场 无旋场可以用标量场的梯度表示为 例如 静电场 2 无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场 即 性质 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度 例如 恒定磁场 3 无旋 无散场 源在所讨论的区域之外 4 有散 有旋场 这样的场可分解为两部分 无旋场部分和无散场部分 无旋场部分 第六节矢量微分算子 哈密顿算子 它可以直接作用在标量上 也可以与矢量作点乘 叉乘 直接作用在标量上 与矢量作点乘 矢量微分算子 哈密顿算子 注意区分与 与矢量作叉乘 与自身作点乘拉普拉斯算子 标量算符 只具有微分特性 矢量微分算符常用公式 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 一阶微分运算将算符直接作用于标量场和矢量场 即分别得到梯度 散度和旋度 即这些都叫一阶微分运算 2 二阶微分运算将算符作用于梯度 散度和旋度 则称为二阶微分运算 设为标量场 为矢量场 矢量微分算符的运算 并假设的分量具有所需要的阶的连续微商 则不难得到 1 标量场的梯度必为无旋场 2 矢量场的旋度必为无散场 3 无旋场可表示为一个标量场的梯度 4 无散场可表示一个矢量场的旋度 5 标量场的梯度的散度 6 矢量场的旋度的旋度 3 运算于乘积 1 2 3 4 或 5 或 6 根据常矢运算法则则有 故有 7 根据常矢运算法则 则有 8 因为故有从而得到 位置矢量 面元矢量 线元矢量 体积元 坐标变量 坐标单位矢量 第七节常用坐标系中的有关公式 直角坐标系 圆柱坐标系中的线元 面元和体积元 圆柱坐标系 圆柱坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 球坐标系 三种坐标系有不同适用范围 1 直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解 如无限大面电荷分布产生电场分布 2 柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解 如无限长线电流产生磁场分布 3 球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解 如点电荷产生电场分布 一些常用公式 1 同理可得 同理可得 3 同理 4 从而可见 5 6 7 8 9 10 格林定理 设任意两个标量场 及 若在区域V中具有连续的二阶偏导数 那么 可以证明该两个标量场 及 满足下列等式 根据方向导数与梯度的关系 上式又可写成 以上两式称为标量第一格林定理 式中S为包围V的闭合曲面 为标量场 在S表面的外法线方向上的偏导数 第八节格林定理和亥姆霍兹定理 基于上式还可获得下列两式 上两式称为标量第二格林定理 矢量格林定理 格林定理说明了区