SARS传播的数学模型.doc

SARS传播的数学模型摘要通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。当1=1.5和2=1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。关键词：SARS微分方程曲线拟合数学模型相轨线一、问题的提出SARS俗称非典型肺炎，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。我国作为发展中大国深受其害：SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。在党和政府的统一领导下，全国人民与SARS顽强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制SARS自然发展最有效办法。而本题的目的就是要建立一个适当的模型对SARS传播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制SARS蔓延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。二、模型的假设1 地总人数N可视为常数，即流入人口等于流出人口。2 据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、免疫者和死亡者）。3在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。4 隔离的人断绝了与外界的联系，不具有传染性。5 SARS康复者二度感染的概率为0。6 国家完善了监控手段，加强了对SARS病毒监控的力度，故可假设所有感染SARS病毒的人群都进入了SARS病人类和疑似类。7 由于对SARS病原体的研究不够深入，无有效药物可以使人体免疫，同时SARS病毒感染后，大量繁殖，破坏免疫系统，故不可免疫。三、模型的建立（一） 参数的设定和符号说明s(t)：t时刻健康者在总体人群中的比例i(t)：t时刻SARS病人在总体人群中的比例l(t)：t时刻疑似病人在总体人群中的比例r(t)：t时刻被治愈者、死亡者和免疫者在总体人群中的比例之和。：SARS病人日接触率。为每个病人每天有效接触（足以使健康者受感染变为病人）的平均人数。：日治愈率。为每天被治愈的病人占病人总数的比例。：日转化率。为每天危险群体中的疑似病人被确诊为SARS患者的比例。：日死亡率。为每天SARS病人死亡的数量和当天病人总数量的比值。：疑似感染率。为每天感染为疑似病人的比例。（二）模型建立模型一感染为SARS患者情况由假设，每个病人每天可使个健康者变为病人，因为病人人数为，所以每天共有个健康者被感染，于是就是病人数的增加率，又因为每天被治愈率为，死亡率为，所以每天有个病人被治愈，有个病人死亡。那么病人的感染为由于对于退出者()由假设可知：故SARS患者率模型一的方程建立如下：(3)模型二疑似患者的变化情况与前面同样的分析，得到疑似患者率模型二：(5)四、模型求解（一）参数的确定和分析：1.的确定=，=，=用EXCEL电子表格处理题目附件2中所给数据得：=0.055076，=0.038183，=0.002443。（处理数据见附件）2的确定确定很明显从我们建立的模型是无法得到s、i、的解析解。为了解决这个问题我们用MATLAB软件中龙格库塔方法求出他们的数值解。先通过实际统计数据算出每一天的s、i、做出它们与时间的函数图象图1，然后我们再对取一组数，分别画出由通过模型解出的数值解随时间变化的图象图2，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。我们发现当1.5时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：:根据实际数据拟合的图象（画图程序见附件）通过数值解作出的关于时间t的变化（画图程序见附件）分析两个图形可知，它们的高峰期、缓解期和平稳期曲线相当符合，具有相同的发展趋势。但是在0,10的SARS初期范围内，曲线变化不相同。这主要是因为在4月24日之前，没有相关数据的统计和报道，由于数据的不全，根据边界值画出来的曲线与通过数值解得到的曲线相比较，不能准确反映SARS产生初期时的趋势，所以边界值应该去掉，而通过数值解模拟的曲线可以得到之前的发展趋势。并且通过对SARS蔓延期特点的分析，在符合所给数据反映的规律基础上，还能够模拟缺乏数据的SARS初始状态，所以曲线是合理的。（2）确定与确定时类似，先根据实际数据画出图形实际数据图形然后再对取一组数，分别画出通过模型解出的数值解随时间变化的图象，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。发现当1.0时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：在0,10的初期范围内，曲线趋势不同，原因同前。整个曲线反映了疑似患者在SARS的过程中的变化规律。五、结果分析与检验（一）讨论的性质平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域为从模型（一）中消去，利用的定义，可得（6）由（6）式解得（7）（二）对于合理确定的，我们可以画出图，图形如下：（画图程序见附件由于在这个SARS病毒发展过程中，是变化的，故可以画出取不同值时的图形，如下取0.4192，0.2858、0.1858时的图形。分析（3）式和（7）式，可知：1 不论初始条件，如何，病人终会消失，即SARS最终会被消灭,亦即。证明省略。从图形上看，相轨线终将与s轴相交（t充分大）。2 设最终未被感染的健康者的比例是，在（7）式中令得到方程（8）是（8）在（0,1/）内的根，在图形上是相轨线与s轴在（0,1/）内交点的横坐标。对于确定下来的=0.0383，可以代入（8）式解出03 SARS疾病传染过程分析整个传染过程，随着政府和公众对SARS的重视程度的变化，可知接触数随着治愈率、死亡率和接触率的不断变化而变化。（1）在SARS爆发的初期，由于潜伏期的存在，社会对SARS病毒传播的速度和危害程度认识不够，所以政府和公众没有引起重视。治愈率和死亡率很小，而接触率相对较大，所以很小。当，则开始增加，可认为是疾病蔓延阶段。（2）当=时，达到最大值（9）对于我们确定的，可以求出0.8368，可认为是疾病传染到达了高峰期。（3）当Y=polyconf(p,t,S)Y=Columns1through8136.3240113.2654102.289198.9706100.0091103.0173106.3408108.9028Columns9through16110.0729109.5573107.3071103.443098.195491.856184.741477.1647Columns17through2469.416361.750754.378447.462941.120835.423730.403826.0584Columns25through3222.357619.249816.669114.541012.788211.335010.11169.0563Columns33through408.11817.25746.44605.66674.91214.18283.48552.8306Columns41through482.23001.69521.23510.85510.55570.33240.17600.0733Columns49through560.0087-0.0338-0.0688-0.1065-0.1512-0.1995-0.2396