三年高考第5章 导数及其应用.doc

2010 年各省高考题汇编 一 选择题一 选择题 1 2010 年高考山东卷文科 8 已知某生产厂家的年利润 单位 万元 与年产量y 单位 万件 的函数关系式为 则使该生产厂家获得最大年利x 3 1 81234 3 yxx 润的年产量为 A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 答案答案 C C 解析解析 令导数 解得 令导数 解得 2 810yx 09x 2 810yx 所以函数在区间上是增函数 在区间上是减9x 3 1 81234 3 yxx 0 9 9 函数 所以在处取极大值 也是最大值 故选 C 9x 命题意图命题意图 本题考查导数在实际问题中的应用 属基础题 2 2010 年高考山东卷文科 10 观察 由归 2 2xx 4 3 4xx cos sinxx 纳推理可得 若定义在上的函数满足 记为的导函数 R f x fxf x g x f x 则 gx A B C D f x f x g x g x 答案答案 D D 解析解析 由给出的例子可以归纳推理得出 若函数是偶函数 则它的导函数是奇函 f x 数 因为定义在上的函数满足 即函数是偶函数 所以它的R f x fxf x f x 导函数是奇函数 即有 故选 D gx g x 命题意图命题意图 本题考查函数 归纳推理等基础知识 考查同学们类比归纳的能力 3 2010 年高考江西卷文科 4 若函数满足 则 42 f xaxbxc 1 2f 1 f A B C 2 D 01 2 答案答案 B 命题意图命题意图 本题考查函数与导数 解析解析 则此函数为奇函数 所以 3 42 fxaxbx 1 1 2ff 4 2010 年高考辽宁卷文科 12 已知点在曲线上 为曲线在点处的切P 4 1 x y e P 线的倾斜角 则的取值范围是 A 0 B C D 4 4 2 3 24 3 4 答案答案 D D 解析解析 2 44 1 21 2 x xx x x e y ee e e 1 2 10 x x ey e 即 1tan0 3 4 5 2010 年高考宁夏卷文科 4 曲线在点 1 0 处的切线方程为 2 y21xx A B 1yx 1yx C D 22yx 22yx 答案答案 A 解析解析 所以 所以选 A 2 32yx 1 1 x ky 6 2010 年高考全国卷 文科 7 若曲线在点处的切线方程是 2 yxaxb 0 b 则 10 xy A B 1 1ab 1 1ab C D 1 1ab 1 1ab 答案答案 A A 解析解析 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 在切线在切线 0 2 x yxaa 1a 0 b10 xy 1b 二 解答题 二 解答题 1 2010 年高考山东卷文科 21 本小题满分 12 分 已知函数 1 ln1 a f xxaxaR x 1 当时 求曲线在点处的切线方程 1a yf x 2 2 f 2 当时 讨论的单调性 1 2 a f x 命题意图命题意图 本小题主要考查导数的概念 导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能 力 考查分类讨论思想 数形 结合思想和等价变换思想 解析解析 1 1 解 1 当 1xfa时 0 1 2 ln x x xx 所以 xf 因此 12 f 即 曲线 1 2 2 处的切线斜率为 在点 fxfy 又 22ln 2 f 所以曲线 0 2ln 2 22 ln 2 2 yx xyfxfy 即 处的切线方程为 在点 2 因为 1 1 ln x a axxxf 所以 2 11 x a a x xf 2 2 1 x axax 0 x 令 1 2 axaxxg 0 x 解析解析 2 2 1 当 a 0 时 g x x 1 x 0 所以 当 x 0 1 时 g x 0 此时 f x 0 函数 f x 单调递减 2 当 a 0 时 由 f x 0 即 ax2 x 1 0 解得 x1 1 x2 1 a 1 当 a 1 2 时 x1 x2 g x 0 恒成立 此时 f x 0 函数 f x 在 0 上单调递减 当 0 a1 0 x 0 1 时 g x 0 此时 f x 0 此时 f x 0 此时 f x o 函数 f x 单调递减 当 a 0 时 由于 1 a 10 此时 f x 0 函数 f x 单调递减 x 1 时 g x 0 此时函数 f x 0 单调递增 综上所述 当 a 0 时 函数 f x 在 0 1 上单调递减 函数 f x 在 1 上单调递增 当 a 1 2 时 函数 f x 在 0 上单调递减 当 0 a0 32 3 1 2 axxxR 若 a 1 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 若在区间上 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 1 1 2 2 命题意图命题意图 本小题主要考查曲线的切线方程 利用导数研究函数的单调性与极值 解不 等式等基础知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 解析解析 解 当 a 1 时 f x f 2 3 f x f 32 3 xx1 2 2 33xx 2 6 所以曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y 3 6 x 2 即 y 6x 9 解 f x 令 f x 0 解得 x 0 或 x 2 333 1 axxx ax 1 a 以下分两种情况讨论 1 若 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 11 0a2 a2 则 X 1 0 2 0 1 2 0 f x 0 f x A 极大值A 当等价于 1 1 xfx 2 2 时 0 5a1 0 0 82 15a 0 0 28 f f 即 解不等式组得 5 a2 则 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 11 0 a2 X 1 0 2 0 1 a 0 1 a 1 1 a 2 f x 0 0 f x A 极大值A极小值A 当时 f x 0 等价于即 解不等式组得 1 1 x 2 2 1 f 2 1 f 0 a 0 2 5 8 1 1 0 2 a a 0 或 因此 2 a 5 综合 1 和 2 可知 a 的取值范围为 0 a0 5a1 0 0 82 15a 0 0 28 f f 即 解不等式组得 5 a 5 因此 0a2 3 2010 年高考浙江卷文科 21 本题满分 15 分 已知函数 a b 2 f xxa b a bR a I 当 a 1 b 2 时 求曲线在点 2 处的切线方程 yf x f x II 设是的两个极值点 是的一个零点 且 12 x x f x 3 x f x 31 xx 32 xx 证明证明 存在实数 使得 按某种顺序排列后的等差数列 并求 4 x 1234 x x x x 4 x 分析分析 本题主要考查函数的极值概念 导数运算法则 切线方程 导线应用 等差数列 等基础知识 同时考查抽象概括 推理论证能力和创新意识 解析解析 当 a 1 b 2 时 因为 f x x 1 3x 5 故 f 2 1 f 2 0 所以 f x 在点 2 0 处的切线方程为 y x 2 证明 因为 f x 3 x a x 2 3 ab 由于 a b 故 a 2 3 ab 所以 f x 的两个极值点为 x a x 2 3 ab 不妨设 x1 a x2 2 3 ab 因为 x3 x1 x3 x2 且 x3是 f x 的零点 故 x3 b 又因为 a 2 b 2 3 ab 2 3 ab x4 a 1 2 2 3 ab 2 3 ab 所以 a b 依次成等差数列 2 3 ab 2 3 ab 所以存在实数 x4满足题意 且 x4 2 3 ab 4 2010 年高考安徽卷文科 20 本小题满分 12 分 设函数 求函数 f x的单调区间与极值 sincos1f xxxx 0 2 x 命题意图命题意图 本题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值的方法 考查综合 应用数学知识解决问题的能力 解题指导解题指导 1 对函数求导 对导函数用辅助角公式变形 sincos1f xxxx 利用导数等于 0 得极值点 通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负 判断区间的单 调性 求极值 12 4 23 0 422 xx xxxx xx 解 由f x si nx cosx x 1 0 x0 1 2 x a x 由已知得 alnx x 解德 a x e2 1 2 x a x2 e 两条曲线交点的坐标为 e2 e 切线的斜率为 k f e2 1 2e 切线的方程为 y e x e2 1 2e 2 由条件知 当 a 0 时 令 h x 0 解得 x 2 4a 所以当 0 x 时 h x 时 h x 0 h x 在 0 上递增 2 4a 2 4a 所以 x 是 h x 在 0 上的唯一极致点 且是极小值点 从而也是 h x 的最小 2 4a 值点 所以 A h 2a aln 2 2 4a 2 4a 当 a 0 时 h x 1 2 2a 2x 0 h x 在 0 递增 无最小值 故 h x 的最小值 A 的解析式为 2a 1 ln2a a o 3 由 2 知 A 2a 1 ln2a 则 1 a 2ln2a 令 1 a 0 解得 a 1 2 当 0 a0 所以 a 在 0 1 2 上递增 当 a 1 2 时 1 a x x 下面的不等式在 2 R 内恒成立的是 A B C D 0 xf0 xfxxf xxf 答案 A 解析 由已知 首先令 排除 B D 然后结合已知条件排除 C 得到 A0 x 考点定位 本试题考察了导数来解决函数单调性的运用 通过分析解析式的特点 考 查了分析问题和解决问题的能力 2 2009 年全国统一考试卷 本小题满分 12 分 某车间甲组有 10 名工人 其中有 4 名女工人 乙组有 10 名工人 其中有 6 名女工人 现采用分层抽样方法 层内采用不放回简单随即抽样 从甲 乙两组中共抽取 4 名工人 进行技术考核 求从甲 乙两组各抽取的人数 求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率 答案 由于甲 乙两组各有 10 名工人 根据分层抽样原理 要从甲 乙两组中 共抽取 4 名工人进行技术考核 则从每组各抽取 2 名工人 记表示事件 从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人 则A 15 8 2 10 1 6 1 4 C CC AP 表示事件 从甲组抽取的 2 名工人中恰有 名男工人 i Ai210 i 表示事件 从乙组抽取的 2 名工人中恰有 名男工人 j Bj210j 表示事件 抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人 B 与独立 且 i A j B210 ji 021120 BABABAB 故 021120 BABABAPBP 021120 BPAPBPAPBPAP 11112222 46646644 222222 101010101010 C CC CCCCC CCCCCC 75 31 3 2009 年天津卷 本小题满分 12 分 设函数0 1 3 1 223 mRxxmxxxf其中 当曲线处的切线斜率时 1 m 在点 11 fxfy 求函数的单调区间与极值 已知函数有三个互不相同的零点 0 且 若对任意的 xf 21 x x 21 xx 恒成立 求 m 的取值范围 21 xxx 1 fxf 答案 1 1 2 在和内减函数 在内 xf 1 m 1 m 1 1 mm 增函数 函数在处取得极大值 且 xfmx 1 1 mf 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函数在处取得极小值 且 xfmx 1 1 mf 1 mf 3 1 3 2 23 mm 解析 解 当1 1 2 3 1 1 2 23 fxxxfxxxfm故时 所以曲线处的切线斜率为 1 在点 11 fxfy 2 解 令 得到12 22 mxxxf0 xfmxmx 1 1 因为mmm 11 0 所以 当 x 变化时 的变化情况如下表 xfxf x 1 m m 1 1 1 mm m 1 1 m xf 0 0 xf极小值极大值 在和内减函数 在内增函数 xf 1 m 1 m 1 1 mm 函数在处取得极大值 且 xfmx 1 1 mf 1 mf 3 1 3 2 23 mm 函数在处取得极小值 且 xfmx 1 1 mf 1 mf 3 1 3 2 23 mm 3 解 由题设 3 1 1 3 1 21 22 xxxxxmxxxxf 所以方程 0 由两个相异的实根 故 且1 3 1 22 mxx 21 x x3 21 xx 解得0 1 3 4 1 2 m 2 1 2 1 mm 舍 因为1 2 3 32 221221 xxxxxx故所以 若 而 不合题意0 1 1 3 1 1 1 2121 xxfxx则0 1 xf 若则对任意的有 1 21 xx 21 xxx 0 0 21 xxxx 则又 所以函数在的0 3 1 21 xxxxxxf0 1 xf xf 21 xxx 最小值为 0 于是对任意的 恒成立的充要条件是 21 xxx 1 fxf 解得 0 3 1 1 2 mf 3 3 3 3 m 综上 m 的取值范围是 3 3 2 1 考点定位 本小题主要考查导数的几何意义 导数的运算 以及函数与方程的根的关 系解不等式等基础知识 考查综合分析问题和解决问题的能力 4 2009 年北京卷 本小题共 14 分 设函数 3 3 0 f xxaxb a 若曲线在点处与直线相切 求的值 yf x 2 2 f8y a b 求函数的单调区间与极值点 f x 解析解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值 解不等式等基础知识 考 查综合分析和解决问题的能力 2 33fxxa 曲线在点处与直线相切 yf x 2 2 f8y 203 404 24 86828 faa babf 2 30fxxaa 当时 函数在上单调递增 此时函数没有0a 0fx f x f x 极值点 当时 由 0a 0fxxa 当时 函数单调递增 xa 0fx f x 当时 函数单调递减 xaa 0fx f x 当时 函数单调递增 xa 0fx f x 此时是的极大值点 是的极小值点 xa f xxa f x 5 2009 年安徽卷 本小题满分 14 分 已知函数 2 1ln 0f xxax a x 讨论的单调性 f x 设 a 3 求在区间 1 上值域 期中 e 2 71828 是自然对数的底数 f x 思路 由求导可判断得单调性 同时要注意对参数的讨论 即不能漏掉 也不能重复 第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数 f x 在 2 1 e 上的值域 解析 1 由于 2 2 1 a f x xx 令 2 1 21 0 tytatt x 得 当 2 80a 即0 2 2a 时 0f x 恒成立 f x 在 0 及 0 上都是增函数 当 2 80a 即 2 2a 时 由 2 210tat