2.2.2椭圆的几何性质（第一课时）.ppt

第一课时 2 2 2椭圆的简单几何性质 知识回顾 椭圆的标准方程 焦点在x轴 焦点在y轴 其中 一 椭圆的范围 由 即 说明 椭圆位于直线X a和y b所围成的矩形之中 二 椭圆的对称性 把 X 换成 X 方程不变 说明椭圆关于 轴对称 把 Y 换成 Y 方程不变 说明椭圆关于 轴对称 把 X 换成 X Y 换成 Y 方程还是不变 说明椭圆关于 对称 所以 坐标轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心 Y X 原点 椭圆的图形关于y轴成轴对称图形 椭圆的图形关于x轴成轴对称图形 椭圆的图形关于原点成中心对称图形 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 f x y f x y f x y f x y f x y f x y 关于x轴对称 关于原点对称 关于y轴对称 得到椭圆与y轴的两个交点 即椭圆与x轴 y轴有四个交点 这四个交点叫做椭圆的顶点 三椭圆的顶点 由此 得到椭圆的六个特殊点 得椭圆与x轴的两个交点 在椭圆的标准方程里 1 如果令x 0 就可以求出椭圆与y轴的交点 三椭圆的顶点 1 有关概念 x y 0 a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 2a 2b 顶点 椭圆与它的对称轴的四个交点 叫做椭圆的顶点 2 a b c的几何意义 如图可知 X 0 Y 在前面我们讲到了椭圆的标准方程 当时我们是 令 究竟其中有怎样的意义呢 2 a b c的几何意义 如图可知 在直角三角形中 即 所以 a 在前面我们讲到了椭圆的标准方程 当时我们是 这就是我们前面令的几何意义 令 究竟其中有怎样的意义呢 a b c 四 椭圆的离心率 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率 1 离心率的取值范围 因为a c 0 所以1 e 0 2 离心率对椭圆形状的影响 1 e越接近1 c就越接近a 从而b就越小 椭圆就越扁2 e越接近0 c就越接近0 从而b就越大 椭圆就越圆3 特例 e 0 则a b 则c 0 两个焦点重合 椭圆变为圆 3 e与a b的关系 例1 已知椭圆方程为16x2 25y2 400 它的长轴长是 短轴长是 焦距是 离心率等于 焦点坐标是 顶点坐标是 外切矩形的面积等于 10 8 6 80 练习 已知椭圆方程为6x2 y2 6 它的长轴长是 短轴长是 焦距是 离心率等于 焦点坐标是 顶点坐标是 外切矩形的面积等于 1 在下列方程所表示的曲线中 关于x轴 y轴都对称的是 2 椭圆以坐标轴为对称轴 离心率 长轴长为6 则椭圆的方程为 D C 求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短轴的长 离心率 焦点和顶点坐标 并用描点法画出其图形 把已知方程变形为 4 在0 x 5的范围内算出几个点的坐标 x y 3 9 3 7 3 2 2 4 0 先描点画出椭圆的一部分 再利用椭圆的对称性 画出整个椭圆 椭圆的简单画法 椭圆四个顶点 连线成图 矩形 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 经过点P 3 0 Q 0 2 2 长轴长为20 离心率为 3 经过点P 2 0 Q 1 4 焦距为6 四个顶点围成的四边形的面积为40 练习 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 焦点在y轴 长轴长是短轴长的2倍 且过点 2 6 2 在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直且焦距为 C b 3 2 已知椭圆的中心在原点 焦点在坐标轴上 长轴是短轴的三倍 且椭圆经过点P 3 0 求椭圆的方程 答案 分类讨论的数学思想 例3 已知椭圆中心在原点 对称轴为坐标轴 焦点在y轴 焦距为2 离心率为 求椭圆的方程 解析 由题可得 设椭圆方程为 又 椭圆方程为 练习 已知F1 F2为椭圆的两个焦点 过F2作椭圆的弦AB 若 AF1B的周长为16 椭圆的离心率e 求椭圆的标准方程 答案 1 3 2 x216 y24 F2 F1 A B X Y O 例4如图 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面 椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面 的一部分 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上 片门位于另一个焦点F2上 由椭圆一个焦点F1出发的光线 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2 解 建立如图所示的直角坐标系 设所求椭圆方程为 A 练习 如图 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道 是以地心 地球的中心 F2为一个焦点的椭圆 已知它的近地点A 离地面最近的点 距地面439km 远地点B 离地面最远的点 距地面2384km 并且F2 A B在同一直线上 地球半径约为6371km 求卫星的轨道方程 精确到1km x y A B F1 F2 解 建系如图 以AB所在直线为x轴 AB中点为原点 可设椭圆方程为 则 O 解得 故卫星的轨道方程是 2 2005年10月17日 神州六号载人飞船带着亿万中华儿女千万年的梦想与希望 遨游太空返回地面 其运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆 设其近地点距地面m km 远地点距地面n km 地球半径R km 则载人飞船运行轨道的短轴长为 A mn km B 2mn km D 例5 1 椭圆的左焦点是两个顶点 如果到直线AB的距离为 则椭圆的离心率e 2 设M为椭圆上一点 为椭圆的焦点 如果 求椭圆的离心率 1 我们把离心率等于黄金比的椭圆称为优美椭圆 设是优美椭圆 F A分别是它的左焦点和右顶点 B是它短轴的一个端点 则 ABF A 60 B 75 C 90 D 120 2 P为椭圆上任意一点 F1 F2是焦点 则 F1PF2的最大值是 3 椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为焦点与短轴两端点连线互相垂直 求该椭圆的标准方程 4 已知椭圆在x轴和y轴正半轴上两顶点分别为A B 原点到直线AB的距离等于 又该椭圆的离心率为 求该椭圆的标准方程 小结 基本元素 1 基本量 a b c e 共四个量 2 基本点 顶点 焦点 中心 共七个点 3 基本线 对称轴 共两条线 x a y b 关于x轴 y轴成轴对称 关于原点成中心对称 a 0 a 0 0 b 0 b c 0 c 0 长半轴长为