论因式分解的教育——通过因式分解应用贯穿初中数学知识点.doc

论因式分解的教育通过因式分解应用贯穿初中数学知识点?基础教育?觋国学团2007年12月论因式分解的教育一通过因式分解应用贯穿初中数学知识点曾毓芳(全南县第二中学江西全南)【摘要】本论文首先讨论了因式分解在初中数学体系中的重要性,然后基于心理学认知学派的图式理论对因式分解的教学进行了探讨,认为老师可以主动地通过专题性质的讲解启发同学建立起初中数学的其他知识点与因式分解之间的联系,最后通过因式分解的应用为大家起一个抛砖引玉的作用.【关键词】因式分解应用图式1因式分解在初中数学中的重要性初中数学中的因数分解一章一直是数学教学中的难点和重点.称其为难点,是因为这部分内容首先是恒等变形思想的进一步升华,是从之前简单的实数恒等式向后来的二次和高次方程过渡,也是学生从对实实在在的数字运算到后来驾驭函数运算的过渡.另一方面,因式分解是整式乘法的逆变型运算,这种思维的方向思考会让大多数学生有很强的不适应.称其为重点,是因为其在整个初中代数教学体系,甚至部分几何教学里发挥着重要作用,是一个必不可少的工具:在分式的运算中,因式分解是通分和约分的必备基础知识;在解二次或高次方程,方程组,不等式中,因式分解法可以有效的解决方程中的降次问题;在数的计算中,因式分解是进行简便运算的一种常用方法;此外,因式分解还可以在等式证明,整除问题,初中几何问题等中发挥作用.由此可见,因式分解在初中数学体系中具有承上启下的重要作用.2图式理论对因式分解教育的分析为了让学生更好的掌握因式分解,笔者认为不应该只局限于对因式分解题型和内容的讲解,而应该让学生在其他的初中数学知识点中通过不断使用因式分解来达到解题和练习因式分解技巧的双赢效果.为了证实此命题,我们可以从心理学的认知学派的图式理论中得到支持:因此,通过不断在其他知识点中强化因式分解的应用,不仅可以完善原有的因时分解的图式,也有利于建立和巩固其它的知识点对应的图式.但是与其等同学自行在其他知识点的题目中运用到因式分解的方法,不如老师进行一些抛砖引玉的主题讲解,着重介绍因式分解的应用,指出它们的共通之处,引发学生的思考.3涉及的数学思想初中代数教学始终学生思维水平等级变化的关键时期,具有从常识性思维向科学性思维发展的重要意义.因式分解作为此阶段的重点,其本身解法中也蕴含了数学解题的重要思想:3.1整体思想用整体思想分解因式,就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解.3.2类比思想类比思想在因式分解中的应用很广泛,具体表现在:一是因式分解与整式乘法的对比;二是因式分解与乘法的分配律的对比;三是因式分解与乘法公式的对比.3.3转化思想转化思想就是对于不能直接分解的某些多项式,若通过转化,如添项,拆项等变形,则可以分解.3.4换元思想将多项式的某些项用其他字母代换,通过换元可以将复杂的多项式转变成简单的多项式,将陌生的形式转换成熟悉的形式,再分解因式.4因式分解应用将因式分解的讲解融入到其他初中数学知识点的教学之中,一下就列举了联系比较紧密的8个知识点,分别进行了举例分析.4.1解方程例题l(十字相乘法)解方程2X+3X一6X一3.X+2=0解:把一6X拆成一2X,一4X两项,用双十字相乘法,得?132?2.24+3一6.Y一3+2=02(x):+3(x)一2x一4x:一3x+2=0(2x一2)(Y+2x1):0.?.2x.一一2=0+2x一1=0分别解这两个方程得:x=者x=4.2求值例2(质数特殊性质)已知a,b,c,d为非负整数,且ac+bd+2007年12月路学国?基础教育?ad+bc=1997,则a+b+c+d=一.(1997第十二节江苏竞赛试题)解:将已知等式左边因式分解,得ae+bd+ad+bc=a(a+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)故(a+b)(c+d)=1997.a,b,c,d为非负整数.a+b1.c+d1即a+b,c+d都是正整数又.1997是质数.a+b=1997,c+d=1a+b=l,c+d=1997.a+b+c+d=19984.3分式例3(公式分解法)化简一xY十xyxYxy解:4一阜!兰二!:xy(xY)一一xyxyl11l=+一+YXYx2X4.4不等式例4已知a>b>c,M:ab+b2c+e2a,N=ab+bc+ea,贝0M与N的大小关系是().A.M<NB.M>NC.M=ND.不确定解:MN=a:b+bc+e2aab一bc一ca.=ab(ab)+c(b一a)+c(ab)=(ab)(ab一)cac+(!)=(ab)(ac)(bc)由于a>b>c,所以ab>0,ac>0,bc>0从而Mx=1,Y=2003或者x=2003,Y=1,故应该选择答案B.4.6几何问题例6(提取公因式法)已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺序是a,b,c,d,且a+abaebe=0.b.+bcbdcd:0.那么四边形ABCD是().A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形解:由a+abaebe=0,得(a+b)(ac)=0,因a+b>0,故a=c.又由b+bcbdcd=0,得(b+c)(bd)=0,因为b+e>0,故b=d.由a=c,b=d,知四边形ABCD的两组对边分别相等,则四边形ABCD是平行四边形.故选A.4.7方程组例7(质数的特殊性质)方程组,的正整数解的组rxv+vz:OjlxZ十VZ=j数是().A.1B.2C.3D.4解:xz+yz=23z(x+Y)=23.x,Y,z都是正整数.x+Y_x2.23为质数.z=1,x+Y=23,即Y=23一x代入第一个方程,得x一22x+40=0(x一2)(x一20)=0解得x1=2,x2=20故原方程组的解为:x:2,Y:21,z=l或者x:20,Y=3,z=l,所以选择B.综上所述,因式分解的教育应该遵从图式理论,将因式分解的图式于其他知识点的图式有机的结合起来,在以后的学习过程中让学生自觉地相互巩固,不断完善关联知识点,做到真正的融N会贯通.>0,M>N-.故选B参考文献4.5根式例5(质数特殊,Y一-(T;-一话i话().1性质)满足不等式22003的整数对(x,Y)的个数是A.1B.2L.jD.4解:x一一V272003.D:2003F-+卜,j一_OO3x一+一2o03:=0(+叶)一(+2003y+:o03:)=0(+丽)一丽(+而)=0(一丽)(+而)=0?.-+面0.一而=0,.=2o03又?.?整数2003是质数,必然有3456789lOll?133?吴健.活用因式分解解题,中学生数理化J.初中版,2005(12).李高山.因式分解课堂教学,福州师专(自然科学版),1999(8).王悦钢.初中生代数解题思维障碍的影响因素与教学对策J.池州师专,2005(1O).李林.换元思想在因式分解中的应用J.初中数学教与学,2006.王潞江.浅谈用双十字连乘法因式分解J.河北教研,1999(2).李良庆.试述因式分解在中学代数中的地位J.安庆师范学院学报(自然科学版),1999(11