中等数学增刊1.pdf

Scanned by CamScanner 全国高 中数 学 联赛模拟题 1 李宝 毅 潘铁 天津师范大学数学科学学院 300387 天津市实验中学 300074 第试 PC 合 子 k k R 填空题 每小题8分共64分 与曲线C恰有两个公共点 则 k的取值范围 1集合 是 I a b c d e I log a 6 b 6 c 6 d 6 e 6 l 8计算 有个子集 2 函数 f X 汀十仔 一 X二 解答题 共 56分 的值域是9 16分 已知a i l a 2 a R 3 个圆锥恰有三条母线两两夹角为36 a a i n N n 22 则它的侧面展开图的圆心角是 宁 小值 f 多六 的大小顺序是 10 20分 设函数 5 COS 4 COS 8 COS 12 C OS 88 f x e sin x g x ax b 6 设a 0 1r 关于茗的方程 1 当a l 2时 设 若直线pq X轴 求P Q两点间的最短距离 恰有个实数根则 7 在极坐标系极天为与 条封闭的 在y F X 的图像的上方 求实数 的取曲线C由四段 曲线组成 值范围 P 2cos o 子 U 守 11 20 分 如图 1 设在抛物线 4 y 2 2p p o P 2sin 劈Q 警 上有丁个点 依次为P 1 P 2 P 2 F为抛 P 2c o 气 0 警署 角都相等 即 物线的焦点 每相邻两点连线与F连线的夹 L P Zn FP E 且戡t 设P I 1 22 到准线的距离为 Scanned by CamScanner di求多 女 d 称 r k 是 r的个局部极大值 求集合 P X的n 个重排的所有局部极大值的算术平 均值 第试 参考答案 图1 1 2 因为a b C d e R 且 l og a 6 b 6 c 6 d 6 e 6 l 加试 40分 如图2 OI 是锐角 ABC 的旁切圆分别与直线AB BC AC切于点 C t A B C D是01 的弦C B 与DA 交 于点E 过点 D作 I 的切线 交直线AC于 B 点F证明B E F三点共线 l 0g 6abcde 所以 a 6 b 6 c 6 d 6 e 6 l a b c d e 另方面由均值不等式得 b 6 c 6 d6 e 6 l abc de 故 a 6 b6 c 6 d 6 e 6 l 6a5cde 当且仅当a b C d e 1时上式等 w 回回回回回 国 国 1 号成立 图2 二 40分 设 aa 2 O n 3 为正 实数且满足a i a i 1 a j 2 1 定义a a 1 l a n 2 a 2 求a I a i 的最大值 三 50分 设数列lx B满足 其中 表示不超过实数 X的最大整数 证明对任意正整数 n 21x 四 50分 对于X B1 2 nl的个重 排 r 若cr 1 r 2 则称 t r 1 是 r的 l 个局部极大值 若cr n cr n1 则称 cr n 是 的个局部极大值 若cr k 故集合 所以有2个子集 2 正 歹3 口 丁 解法1注意到函数 f x l5x 15 的定义域为X 3 12 由柯西不等式得 且 f x 0 所以f 名 3屑当且仅当X 时f X 最大 设U 了t1 刀2 X则 u 2 1 5 u o u o j x 15x 15 u u 故 万U f X B Scanned by CamScanner 如图3当圆和直线 在第象限有交点时 由O x l 0 sin x x lan x 二 二屑玺 二 l 即X 3时只X 最小 01 X 故 图 0 Y s y o u o X COS xsin x 0 设U 屑 e o s O 刀了sin O 其中 故 气 苎竺 气 妲 O 引 则 f l5x 15 于是 气 单调递减 J u 1 58 c os O s i n 0 由 0 x 1 0 x 3 l 3 s i n e p sin x 3 sin x 3 其中ta 1P f5 x x 故当sin O tp 1时 只X 一 3屑 故 气 丝 2 6 5 22 解法1注意到 cos 4 Co s 8 c o s 12 c o e 88 如图4设 z ASB z BSC s COS 4 COS 56 C OS 64 z CSA 36 co s 8 Co s 52 cos 68 不妨设 SA SB Il c o s 12 c o s 48 Co s 72 SC 1 则 ABC 为正 COS 16 c o s 44 Cos 76 三角形且 coe 20c o8 40 co 8 80 AB BC CA c os 24 c os 36 c o s 84 A cos 28 c o s 32 co s 88 c o s 60 245 2 12 C o s 24 c o 8 36 c os 48 图 4 cos 60 Cos 72 Co s 84 故圆锥底面圆周长为21r 万 二 245 i coe 12 Co s 48 co s 72 所以 侧面展开图的圆心角 co 8 24 c os 36co9 84 c o 60 J4 Os 36 c os 72 I 回国国自 目 如 C 08 36 sin 18 l c Scanned by CamScanner F cos 36 c o s 18 c o s 18若方程 c o s 36 sin 36 u u a T 个头甄 罹 则 sin 72 2 zl c o s 18 26 解法2注意到 co s 4 c o s 8 c o s 12 c o s 88 h sin 4 COS 4 c oo 8 C06 12 COE 88 0 故 sin a X 且 a 0 r sin 4 4 s i n 8 cos 8 C08 12 cos 880 22sin 4 si n l cos 16 cos12 cos 20 cos 88 F sin 32 c oe 32 c o s 12 c o s 88 4 a 15 j8165 如图6以极点为坐标原点 极轴为 X轴 正半轴建立平面直角坐标系 2 4 sin 4 sin 64 c o s 64 c o s 12 Co s 88 2 J i n sin 52 cos 52 c os 12 c os 88 sin T6 COS T6 COS 12 COS 88 sin 176 22sin 4 2l 6 云或警 曲线C由弧ABC 弧CDE 弧EF C 弧口剂 令f X 2 士 1 石 万 1 四段圆弧组成 f X sin a 直线1 易知f X 的图像是二条折线 f X p c o s O 子 是条平行于X轴的直线如图5 冗 pc o s e COS T psin e s 4 4 若直线1与曲线C恰有两个公共点则 k 万 厅 或 k一土 8 1 85 2 012 y y 0 l 1 l Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner 即 3 4 x n l 石 置上任意排列此时共有 j 1 X n2 个 2 若cr n j是局部极大值则 x 石 3 4 有j1种可能其他n2个数在n2个位置 故X n 2 3 x 上任意排列此时共有 j1 X n2 个 一3 3 4 3 若cr k j 2 k n 1 是局部极 一6 4 大值则 下面利用第二数学归纳法证明 cr k B 1 2 j 1B 对任意正整数n 2lx 有j 1种可能 当n 2时X 6 3 4 2 136有j 2种可能其他n3个数在n3个位 显然命题成立 置上任意排列此时共有 j 1 X j2 X 假设当n k k 2 时命题成立即 n 3 个 2 X x 1 注意到 k有n2个可能值 则当n k时 X 2 6 4 1 是2的倍 故此种情形共有 觐命题成立 j 1 X j 2 X n3 X n 2 综上对任意正整数n 2lx 均成立 j 1 X j2 x n2 个 四 以集合 X的n 个重排 r 1 r2 数为 综上当3 j n 1时第j 列 j 的个 r 为行X的元素1 2 为列作表格 口 1 X n2 j1 X n 2 对于I j 1 I n 1 n 若存在k j 1 j2 X n2 1 k n 使得 ri k j是 rj的 个局部 二 j i 1 X n2 极大值则在表格的第I行第j列标j 否则为 易见当j 1 2 时上式仍然成立 空格 于是集合X的n 个重排的所有局部极 相应重排的所有局部极大值表格中所有数 大值的算术平均值为 的算术平均值是所求的集合 X的n 个重排 j j j 1 n2 的所有局部极大值的算术平均值 从列的角度看显然第 列均为空 在 任意重排中无论1所在位置如何1不可能 j xj i 1 是局部极大值 第n列均为 n 在任意重排 j 1 中无论n所在位置