中考专题——圆的证明题.doc

菁优网专题圆的证明题参考答案与试题解析一解答题（共12小题）1（2008武汉）如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F（1）求证：DE是O的切线；（2）若=，求的值考点：切线的判定436190 专题：几何综合题分析：（1）连接OD，只需证明ODDE即可；（2）连接BC，设AC=3k，AB=5k，BC=4k，可证OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=4k，然后通过ODAE，利用相似比即可求出的值解答：（1）证明：连接OD，OD=OA，OAD=ADO，EAD=BAD，EAD=ADO，ODAE，AED+ODE=180，DEAC，即AED=90，ODE=90，ODDE，DE是O的切线；（2）解：连接BC，如图，AB为直径，ACB=90，又ODAE，OGB=ACB=90，ODBC，G为BC的中点，即BG=CG，又=，设AC=3k，AB=5k，根据勾股定理得：BC=4k，OB=AB=，BG=BC=2k，OG=，DG=ODOG=k，又四边形CEDG为矩形，CE=DG=k，AE=AC+CE=3k+k=4k，而ODAE，= 点评：考查了切线的判定定理，能够综合运用角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理2（2008武汉模拟）如图，在RtABC中，C=90，以AC为直径作O，交AB于D，过点O作OEAB，交BC于E（1）求证：ED为O的切线；（2）若O的半径为3，ED=4，EO的延长线交O于F，连DF、AF，求ADF的面积考点：切线的判定与性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义436190专题：计算题；证明题；几何综合题分析：（1）连接OD，CD，求出BDC=90，根据OEAB和OA=OC求出BE=CE，推出DE=CE，根据SSS证ECOEDO，推出EDO=ACB=90即可；（2）过O作OMAB于M，过F作FNAB于N，求出OM=FN，求出BC、AC、AB的值，根据sinBAC=，求出OM，根据cosBAC=，求出AM，根据垂径定理求出AD，代入三角形的面积公式求出即可解答：（1）证明：连接OD，CD，AC是O的直径，CDA=90=BDC，OEAB，CO=AO，BE=CE，DE=CE，在ECO和EDO中，ECOEDO，EDO=ACB=90，即ODDE，OD过圆心O，ED为O的切线（2）解：过O作OMAB于M，过F作FNAB于N，则OMFN，OMN=90，OEAB，四边形OMFN是矩形，FN=OM，DE=4，OC=3，由勾股定理得：OE=5，AC=2OC=6，OEAB，OECABC，=，=，AB=10，在RtBCA中，由勾股定理得：BC=8，sinBAC=，即=，OM=FN，cosBAC=，AM=由垂径定理得：AD=2AM=，即ADF的面积是ADFN=答：ADF的面积是点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，垂径定理，直角三角形的斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，本题综合性比较强，有一定的难度3（2010西藏）如图，已知等腰ABC，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作O交AB点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E（1）求证：直线EF是O的切线；（2）求sinA的值考点：切线的判定；等腰三角形的性质；解直角三角形436190专题：压轴题分析：（1）连接CD，OD，得出CDAB，推出AD=BD，得出OCAC，推出EFOD，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD，根据勾股定理求出CD，解直角三角形ACD即可解答：（1）证明：连接CD，OD，BC是O直径，CDB=90，即CDAB，AC=BC，BD=AD，BO=CO，ODAC，EFAC，EFOD，OD为半径，EF是O的切线；（2）解：AB=12，AD=BD=6，AC=10，在RtACD中，由勾股定理得：CD=8，即sinA=点评：本题考查了等腰三角形性质，三角形的中位线，平行线的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，切线的判定等知识点的应用，主要考查了学生的推理和计算能力4（2008南充）如图，已知O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CGAD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD（1）试问：CG是O的切线吗？说明理由；（2）请证明：E是OB的中点；（3）若AB=8，求CD的长考点：切线的判定；垂径定理；圆周角定理436190专题：几何综合题分析：（1）已知点C在圆上，根据平行线的性质可得FCG=90，即OCCG；故CG是O的切线（2）方法比较多，应通过等边三角形的性质或三角形全等的思路来考虑；（3）RtOCE中，有三角函数的定义，可得CE=OEcot30，故代入OE=2可得CE的长解答：（1）解：CG是O的切线理由如下：CGAD，CFAD，OCCGCG是O的切线；（2）证明：第一种方法：连接AC，如图，（2分）CFAD，AECD且CF，AE过圆心O，AC=AD=CDACD是等边三角形（3分）D=60FCD=30（4分）在RtCOE中，OE=OB点E为OB的中点（5分）第二种方法：连接BD，如图，AB为O的直径，ADB=90又AFO=90，ADB=AFO，CFBDBDEOCE（3分）AECD，且AE过圆心O，CE=DE（4分）BE=OE点E为OB的中点（5分）（3）解：AB=8，OC=AB=4又BE=OE，OE=2（6）CE=OEcot30=（7分）ABCD，CD=2CE=（8分）点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题5（2011道外区二模）如图，在等腰ABC中，AC=BC，以BC为直径作O交AB于点D，DFAC，垂足为F，FD的延长线交CB的延长线于点E求证：直线EF是O的切线考点：切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理436190专题：证明题分析：先连接OD，由于AC=BC，易得A=ABC，而OD=OB，又能得到OBD=ODB，等量代换可得ODB=A，利用同位角相等两直线平行可知ODAC，而DFAC，那么CFD=90，利用平行线性质可得ODE=90，可证EF是O的切线解答：证明：连接OD，如右图所示，AC=BC，A=ABC，OD=OB，OBD=ODB，ODB=A，ODAC，又DFAC，CFD=90，ODE=90，ODEF，EF是O的切线点评：本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质解题的关键是连接OD，并证明ODAC6（2008济宁）如图，ABC内接于O，过点A的直线交O于点P，交BC的延长线于点D，AB2=APAD（1）求证：AB=AC；（2）如果ABC=60，O的半径为1，且P为的中点，求AD的长考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质436190专题：综合题分析：（1）根据AB2=APAD，可以连接BP，构造相似三角形根据相似三角形的性质得到APB=ABD，再根据圆周角定理得到APB=ACB，即ABC=ACB，再根据等角对等边证明结论；（2）根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形，发现等边三角形ABC，再根据点P为弧的中点，连接BP，发现30的直角三角形，且BP是直径，从而求得AP的长，AB的长再根据已知中的条件求得AD的长解答：（1）证明：连接BP，AB2=APAD，又BAD=PAB，ABDAPB，ABC=APB，APB=ACB，ABC=ACB，AB=AC；（2）解：由（1）知AB=AC，ABC=60，ABC为等边三角形，BAC=60，P为的中点，ABP=PAC=ABC=30，BAP=BAC+PAC=90，BP为直径，BP过圆心O，BP=2，AP=BP=1，AB2=BP2AP2=3，AB2=APAD，AD=3点评：掌握相似三角形的性质和判定，能够结合已知条件发现等边三角形和30的直角三角形，根据它们的性质分析求解，属中等难度7（2008义乌市）已知：如图ABC内接于O，OHAC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，B=30，OH=请求出：（1）AOC的度数；（2）劣弧的长（结果保留）；（3）线段AD的长（结果保留根号）考点：切线的性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形436190专题：几何综合题分析：（1）由圆周角定理得，AOC=2B=60；（2）由等腰三角形的性质：底边上的高与顶角的平分线重合知，AOH=30，故可由余弦的概念求得AO的值，进而由弧长公式求得弧AC的长；（3）在RtAOD中，可由正切的概念求得AD的长解答：解：（1）AOC=2B=60（2）在AOC中，OHAC，OA=OC，OH是等腰三角形AOC的底边AC上的高，AOH=AOC=30，的长=，的长是（3）AD是切线，ADOA，AOC=60，tan60=，AD=AOtan60=10线段AD的长是点评：本题利用了圆周角定理，切线的概念，直角三角形和等腰三角形的性质，锐角三角函数的概念，弧长公式求解8（2008肇庆）如图，在RtABC中，ABC=90，D是AC的中点，O经过A、B、D三点，CB的延长线交O于点E（1）求证：AE=CE；（2）EF与O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求O的直径；（3）若（n0），求sinCAB考点：锐角三角函数的定义；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质436190专题：几何综合题；压轴题分析：（1）连接DE，根据ABC=90可知：AE为O的直径，可得ADE=90，根据CDAC，AD=CD，可证AE=CE；（2）根据ADEAEF，可将AE即O的直径求出；（3）根据RtADERtEDF，=n，可将DE的长表示出来，在RtCDE中，根据勾股定理可将CE的长表示出来，从而可将sinCAB的值求出解答：（1）证明：连接DE，ABC=90ABE=90AE是O直径ADE=90DEAC又D是AC的中点DE是AC的垂直平分线AE=CE；（2）解：在ADE和EFA中，ADE=AEF=90，DAE=FAEADEEFA即AE=2cm；（3）解：AE是O直径，EF是O的切线，ADE=AEF=90RtADERtEDF，AD=CDCF=nCDDF=（1+n）CDDE=CD在RtCDE中，CE2=CD2+DE2=CD2+（CD）2=（n+2）CD2CE=CDCAB=DECsinCAB=sinDEC=点评：本题主要考查圆周角定理，切线的性质及相似三角形的性质和应用9（2008永州）如图，已知O的直径AB=2，直线m与O相切于点A，P为O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D（1）求证：APCCOD；（2）设AP=x，OD=y，试用含x的代数式表示y；（3）试探索x为何值时，ACD是一个等边三角形考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列反比例函数关系式；等边三角形的判定；切线的性质436190专题：几何综合题；压轴题分析：（1）由题可知，DA、DC是由D点向圆引的两条切线，有切线的性质可知，DO垂直平分AC，又PAC为直径所对的圆周角为90，所以PA和AC垂直，因此PA和OD平行，可得同位角相等即P=DOC，又PAC=DCO=90，所以可得相似（2）由（1）知相似，可得对应线段成比例，利用此性质得，可求出y与x之间的关系式（3）若ACD是一个等边三角形，则ADC=60，ODC=30，于是OD=2OC，由（2）可得出x的值为1解答：（1）证明：PC是O的直径，CD是O的切线，PAC=OCD=90，DA，DC是O的切线，ADO=CDO，AD=DC，DOAC，PAOD，P=DOC，APCCOD（2）解：由APCCOD，得：，（3）解：若ACD是一个等边三角形，则ADC=60，ODC=30，OD=2OC，y=2，x=1当x=1时，ACD是一个等边三角形点评：此题考查了相似三角形的判定以及切线长定理，难易程度适中10（2008枣庄）已知：如图，在半径为4的O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EMMC连接DE，DE=（1）求EM的长；（2）求sinEOB的值考点：圆周角定理；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义436190专题：几何综合题；压轴题分析：（1）根据圆周角定理及勾股定理可求出CE的长，再由相交弦定理求出EM的长即可；（2）由（1）中所求EM的长判断出OEM为等腰三角形，过E作EFOM，根据等腰三角形的性质及勾股定理可求出OF，EF的长，进而求出sinEOB的值解答：解：如图，（1）DC为O的直径，DEEC（1分）DC=8，DE=EC=7（2分）设EM=x，由于M为OB的中点，BM=2，AM=6，由相交弦定理AMMB=EMCM，（3分）即62=x（7x），x27x+12=0解这个方程，得x1=3，x2=4EMMCEM=4；（5分）（2）OE=EM=4OEM为等腰三角形过E作EFOM，垂足为F，则OF=OM=1EF=sinEOB=（8分）点评：本题考查的是圆周角定理及等腰三角形的性质，属中学阶段的基本内容11已知：如图，在O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC=BD求证：AB=CD考点：圆心角、弧、弦的关系436190专题：证明题分析：此题主要两条弦相等，可以转化为证明=就可以已知AC=BD可以证明得