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文档简介

微分方程的基本概念与可分离变量方程 基本内容与基本要求 基本内容 基本要求 1 微分方程的基本概念 2 可分离变量方程及其解法 1 了解微分方程的基本概念 2 掌握可分离变量方程的解法 解 一 问题的提出 解 代入条件后知 故 开始制动到列车完全停住共需 微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 例 实质 联系自变量 未知函数以及未知函数的某些导数 或微分 之间的关系式 二 微分方程的定义 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数 分类1 常微分方程 单个变量 偏微分方程 多个变量 常微分 偏微分 一阶微分方程 高阶 n 微分方程 分类2 分类3 线性与非线性微分方程 分类4 单个微分方程与微分方程组 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数 微分方程的解的分类 1 通解 微分方程的解中含有独立的任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 三 微分方程的解 2 特解 确定了通解中任意常数以后的解 解的图象 微分方程的积分曲线 通解的图象 积分曲线族 初始条件 用来确定任意常数的条件 过定点的积分曲线 一阶 二阶 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题 例如 解 所求特解为 补充 微分方程的初等解法 初等积分法 求解微分方程 求积分 通解可用初等函数或积分表示出来 可分离变量的微分方程 解法 为微分方程的解 分离变量法 四 可分离变量的微分方程 则 例1求解微分方程 解 分离变量 两端积分 通解为 解 解 由题设条件 衰变规律 解 设鼓风机开动后时刻的含量为 在内 的通入量 的排出量 例4某车间体积为12000立方米 开始时空气中含有的 为了降低车间内空气中的含量 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出 问鼓风机开动6分钟后 车间内的百分比降低到多少 6分钟后 车间内的百分比降低到 微分方程 微分方程的阶 微分方程的解 通解 初始条件 特解 初值问题 积分曲线 五 小结 分离变量法步骤 1 分离变量 2 两端积分 隐式通解 思考题1 思考题1解答 中不含任意常数 故为微分方程的特解 思考题2 求解微
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