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第二章 三 两个重要极限 二 极限存在准则 2 5极限存在准则两个重要极限 一 函数极限与数列极限的关系 一 函数极限与数列极限的关系 定理1 的充分必要条件是 对任意数列 xn xn x0 当xn x0 n 时 都有 定理1经常被用于证明某些极限不存在 例1 证明 不存在 证 取两个趋于0的数列 及 显然当n 时 xn 0 由定理1知 不存在 定理2 两边夹法则 如果函数g x f x h x 满足 二 极限存在准则 例2 证明 证 利用两边夹法则 且 由 g n h n 定理3 收敛准则 定理4 收敛准则 单调递减且有下界的数列必有极限 单调递增且有上界的数列必有极限 单调递增 递减 且有上界 下界 数列必有极限 证明略 例3已知数列 满足 证明数列 收敛 证 先用数学归纳法证明 1 当n 1时 结论成立 2 当n k时 xk 2 则 由数学归纳法知xn 2 再证明该数列单调递增 由定理2知数列收敛 令 则 故极限存在 备用题 1 设 且 求 解 设 则由递推公式有 数列单调递减有下界 故 利用极限存在准则 圆扇形AOB的面积 证 当 即 亦即 时 显然有 AOB的面积 AOD的面积 三 两个重要极限 为了方便地求函数的极限 可记住下列结果 时 例4 求 解 例5 求 解 令 则 因此 类似可证 例6 求 解 原式 2 我们可以通过列出函数 的部分取值列表 来观察该函数值的变化趋势 的值无限接近于一个常数 由此可得 令z 1 x 则x 时 z 0 为了方便地求函数的极限 可记住下面结果 例6 求 解 令 则 说明 若利用 则 原式 解 原式 例7 求 例8求 解 的不同数列 内容小结 1 函数极限与数列极限关系的应用 1 利用数列极限判别函数极限不存在 法1找一个数列 且 使 法2找两个趋于 及 使 不存在 2 函数极限存在的两边夹法则 3 单调递增 递减 且有上界 下界 数列必有极限 2 两个重要极限 思考与练习 填空题 1 4 P34 练习2 4 2 6 解 P40
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