黄金分割论文.doc

。黄金分割及应用李新英 摘 要：黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比的关系。当人们认识了这一自然法则之后，就被广泛地应用于人类的生活之中。此后，在我们的生活环境中，就随处可见了，如建处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、报纸、杂志；现代的电影银幕。电视屏幕，以及许多家用器物都是近似这个数比关系构成的。它特别表现艺术中，在美术史上曾经把它作为经典法则来应用，许多艺术家自觉地被黄金分割的魅力所诱惑，从而使数学与艺术创作紧密的结合起来，创造了不少不朽的名著。关键词：黄金分割；艺术创作；斐波那契数列1. 引言大千世界的万事万物都有其独特的结构形式，因而关于形体的结构比例也是多种多样的。人们最常见的一种和谐比例关系，就是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”，又称“黄金段”或“黄金律”。黄金分割指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值是5/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。0.618被公认为最具审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现： 1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618 1这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。黄金分割Golden Section是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。 其无穷魅力再许多伟大的作品中都有体现。2. 神奇美妙的黄金分割2.1黄金分割的起源与数学证明公元前4世纪，古希腊著名的数学家、天文学家欧多克斯，他曾研究过大量的比例问题，提出“中外比”。虽然最先系统研究黄金分割的是欧多克斯，但是，现在人一般认为，黄金分割是由公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。用C点分割木棒AB，整段AB与长段CB之比，等于长段CB与短段AC之比。毕达哥拉斯还发现，把较短的一段放在较长的一段上面，也产生同样的比例，这一规律可以重复下去。经计算得出结沦：长段（CB）与短段（AB）之比为1:0.618，其比值为0.618。可用下面的等式表达 ：= ( a +) ：即长段长度的平方又恰等于整个木棒与短段长度的乘积，即= (+) 在几何原本一书中，欧几里得将黄金分割做了系统的论述，这一神奇的比例关系，后来被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”，简称“黄金律”、“黄金比”。19世纪威尼斯数学家帕乔里将黄金分割律誉为“神赐的比例”。文艺复兴时期，许多艺术大师把黄金分割与人们的审美联系在一起。黄金分割更被广泛的应用于艺术创作之中。黄金分割是古希腊人的重大发现，表现为数学命题：已知一线段，试把它分成两部分，使长的一段为短的一段和原线段的比例中项。例：设原线段常为，分成长为一段长为，那么短的一段长为-。如图则 解此方程得于是得黄金分割的精确作图以上是分割点在原线段上的情况。如果分割点在已知线段的延长线上， 于是得相应的作图 黄金分割在几何学上，成为分已知线段为“中外比”。广义上说,均是黄金分割数或者黄金分割。2.2黄金分割与裴波那数列裴波纳奇数与黄金分割有何关系？数列存在这样的递推关系：，。前几项为则数列叫做斐波那契数列，简称F-数列。它是13 世纪意大利数学家Fibonacci 在研究小兔问题时提出的。裴波纳奇数数列的递推关系式：看下列比值： 显然这些数越来越接近0.618.这表明裴波纳奇数列中任意相邻两项（前项比后项）都可用来近似地表示0.618.随着项数的增加，这些比值与0.618的误差越来越小。数学严格论证如下： 因为裴波纳奇数列的通项2 ，则另外，F-数列在分析方面有一个非常优美的结:. 这使得黄金分割与F-数列的联系更加紧密。因此，它们在应用上也有很多共同之处，斐波那契数列和黄金分割法相似，他们的区别在于斐波那契数列每次的缩短率不是常数，而是由斐波那契数列决定的。3 黄金分割法的应用1953 年，美国的弗基提出0.618 法获得大量应用, 特别是工程设计方面.20 世纪70 年代初，我国著名数学家华罗庚在应用优选法方面做出了杰出贡献，使得黄金分割法在我国得以推广，并取得了很大的成就，以下给出黄金分割法在生产生活及计算数学中的应用实例。3.1 黄金分割法的基本思想及优选法黄金分割法, 也叫0.618 法，是黄金分割在优选法上应用的一种方法,是优化计算中的经典算法，以算法简单、效果显著而著称，是许多优化算法的基础，它适用于一维区间的单峰函数，其基本思想是：依照“去坏留好”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索范围。具体地说：设f是定义在区间的下单峰函数，有唯一的极小点间（即最优点）。在区间中取点, 如果 ， 则令 ，取区间 如果 ，则令 ，取区间这样，通过比较的大小,就可以将区间缩短为区间或，因为新的区间内包含了一个已经计算过函数值的点，所以从其中找出一个试点，又可将这个新的区间再缩短一次，不断地重复这个过程,直至最终的区间长度缩短到满足预先给定的精度为止。目前，由于史文谱、刘迎曦等人的努力，用推广的黄金分割法已经能够求解部分多维区域上的函数的最优解了（如例2）。例2：用黄金分割法和Fibonacci 法求函数在区间-1，3上的极小点，要求最终区间长不大于原始区间长的0.08。解：函数在区间-1，3上为下单峰函数，且用黄金分割法求解：取=0.528,=1.472则得到的新区间为-1，1.472要仍把此区间记为并令继续迭代，直到满足精度求，计算过程见（表1） （表1） 迭代计算过程迭代次数a，b 01,30.528,1.4721.751,2.695否11,1.472-0.056,0.5282.059,1.1751否2-0.056,10.4720.528,0.8881.751,1.901否3-0.056,0.8880.305,0.5281.788,1.751否40.305，0.8880.528,0.6651.751,1.777否50.305，0.6650.443,0.5281.753,1.751否60.443,0.6650.528,0.581.751,1.757是70.443,0.580经过6 次迭代已经满足精度要求，最优解与最优值分别为下面用Fibonacci法求解由第一次迭代：最初两个试点分别为缩短后的新区间为-1，1.462第二次迭代：令=0.538， 则得到的新区间为-0.077，1.462第三次迭代：令=0.538，则得到的新区间为-0.077，0.846最后一次迭代：令=0.538，取=-0.1*（0.846-0.231）=0.477， 最优解可取为由此我们可以看到，这两种方法都是通过缩短搜索区间来逼近最优值的。它们的算法在优化问题的求解中发挥着重要的作用.3.2 黄金分割法在冷压装配中的应用自行车链轮（一种板料冲压）与右轴柄（一种切削件）要装配成一个组合件，通过链轮内孔与曲柄小台阶外径处的冷压铆合来达到抗扭强度要求，经过2000KN 扭力，在1min 后，两者的铆合处不得发生转动。冷压铆合前，于链轮的内孔上须冲压出一定数量的不冲通内齿形。内齿数太多，冷压装配时曲柄小台阶外径处的材料挤压入其间因量少而铆合不牢；内齿数太少，材料又难以压入填满其间而铆合不牢。故内齿数目有一个最佳值的问题。1)确定初始点及可行区间原有一模具(冲头)，冲出链轮内齿40 牙/周， 所有组合件均发生转动，转动率100%; 后来加工了一个10 牙/周的冲头，结果转动率仍为60%之多。经分析，小于10 牙/周的冲头也不行。故其实验的区间为10,40；精度要求为转动率为0。2) 0.618 法优选齿数新加工模具(齿数)牙/周实验结果:转动率为10%.重新加工模具(齿数)牙/周实取20 牙/周（为使模具更易加工，齿数要偶数）实验结果：转动率为0。按0.618 法迭代步骤,当出现|b-a|时，应取为最佳点。此时应取。但工程实际问题不完全是一个纯数学问题。在这里, 还必须考虑模加工所用的成本，以及在实验中还有可能产生其它问题等。故用20 牙/周的模具就完全达到了质量要求，就不再继续迭代了。3.3 黄金分割在股票价格变化中的应用通常，黄金分割法中的黄金点为0.618 和0.382。但在股票价格涨幅与跌幅的测量中， 用黄金分割法时除了用0.618 和0.382 作为反压点外，其间还会用到0.382 的一半这个点作为反压点，即0.191 这一点.这是股市中的实际，也可能是其特点。因此，当预测股价上升能力与可能反转之价位时，可用前段下跌行情之最低点值乘以0.191，0.382， 0.618，0.809， 1。 当超过一倍的涨幅时,其反压点1.191,1.382,1.618,1.809,2，相仿当预测下跌反压点时可乘以0.809，0.618， 0.382， 0.191。例如，当下跌行情结束前，某股的最低价为10 元，那么，股价反转上升时，可预先计算出不同反弹价位：10*(1+0.191)=11.9 元 10*(1+0.382)=13.8 元10*(1+0.618)=16.2 元 10*(1+0.809)=18.1 元10*(1+1)=20 元 10*(1+1.191)=21.9 元当上升行情结束前，某股的最高价为30 元，那么，当股价反转下跌时，下跌反压点可能为：30*(1-0.191)=24.3 元 30*(1-0.382)=18.5 元30*(1-0.618)=11.5 元 30*(1-0.809)=5.7 元下面列出19701980 年台湾股票加权股价指数的实际涨、跌值及按黄金点计算价值的对照情况表(见表2) 表2 实际涨跌值与黄金点计算值序号时间实际下跌、上涨价按黄金分割计算价11973 年底1974 年底514.85 188.74514.85*0.382=197.621975 年初429.02188.74*（1+1.191）=413.5331976年3 月1976 年底417.00 257.55417*0.618=257.7041977 年5 月1977 年10月313.92 688.52313.92*（1+1.191）=687.8051978 年1981 年688.52 430688.52*0.618=425.5061982 年1983 年7 月421.43 765.71421.43*（1+0.809）=766.5071983 年底1984 年 969.25 421.43*（1+1.191）=923.303.3黄金分割的另一种表示三角表示由得 我们称含有黄金分割比的图形为黄金图形。因此顶角为的等腰三角形是一个黄金三角形(如图1)：作ADBC于D，由等腰三角形的性质可知，即亦即包含了黄金分割比。 （图1） 被冠以“黄金图形”的几何图形还有很多：黄金矩形、黄金椭圆、黄金立方体、五角星等。这些图形蕴含着客观美和数学的奇异之美，深受人们的喜爱与重视，在艺术及生活中都有着广泛的应用。4 黄金分割的美学价值黄金分割点在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，黄金分割是一种数学上的比例关系，它给画面带来美感，令人愉悦。 如图（矩形ABFE） 为黄金分割矩形：i.一个正方形边 线的中点A向对角B画一条斜线，以斜线为半径画出的弧线，与正方形的延长线相交于C点。构成一个黄金矩形； ii.大矩形和小矩形的对角线和边线的相交点，成为黄金二次分割的起始线； iii.这个分割过程可以无限继续下去，产生许多更小的等比的矩形和正方形。（如图）设因为ABDC是正方形，所以即CDFE也是黄金分割矩形3（图I） 怎会不令人由衷地赞叹。这就是科学与艺术的完美结合（图I）。科学与艺术自古就是一枚硬币的两个方面，黄金分割就是一个典型的代表。科学家和艺术家普遍认为，黄金律是设计师需要遵循的首要原则。古代绘画大师大都遵循“黄金分割律”作画。黄金分割律在构图中被用来划分画面和安排视觉中心点。画面中理想的分割线需要按下列公式寻找：用0.618 乘以画布的宽，就能得到竖向分割线，用0.618乘以画布的高，就能得到横向分割线。用上述方法共能得到四条分割线，同样也得到四个交叉点。将这四个美感诱发点连接起来，就能产生“九宫布局”（即井字分割）。画面的地平线或垂直主体时，可把它们安排在井字分割线上或附近的位置上，可以避免画面被割裂的视觉感受而获得舒适、协调的构图。黄金分割律作为一种重要的形式美法则成为世代相传的审美经典规律。早在古希腊时期，人们相信黄金分割可以给人一种特别的美感，所以在雕塑等方面把它作为一特定的审美标准而使用。如维纳斯女神雕像，其上半身和下半身的比恰好符合黄金分割比，因而被认为是代表了最优美的身段。文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。当时，出现了好几位身兼几何学家和画家的人物，著名的有派奇欧里、丢勒、达芬奇等，他们把把几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。 他们看中并运用这个奇妙的比例，取得了不朽的艺术成就。与达芬奇并称文艺复兴三大巨匠的米开朗其罗、拉斐尔的著名作品中也屡屡出现这一黄金比例。如米开朗其罗的圣家庭中人物构图布置中包含着一个“黄金五角星”。而拉斐尔的刑罚中人物布局巾以“蕾余三角形”和“黄金五角星”展开。可见，作为一种美的比例，黄金分割一直被历代艺术家们所推崇。时至今日，它依然呈现于众多优秀艺术、设计中。许多优秀美术作品将算术和代数、平面几何、立体几何、解析几何、拓扑学、透视方法、对称性质等数学原理运用其中。数学使得美术更容易掌握,美术使得数学平易近人。数学中的黄金分割在美术作品中的广泛运用。黄金分割(Golden Section)是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值。4.1美术与射影几何在二维平面上画出立体图形，既可以使用平行投影，也可以使用中心投影。在西方历史上，中心投影画法的提出和发展主要归功于文艺复兴时期的绘画大师们。 在这一时期，艺术家们想以一种真实而客观的方式把景物画到画布上。这就要面对准确地把三维空间的现实世界表现在二维平面画布上的问题。为了获得一个有效的方法，艺术家们最初是采用反复试验，在黑暗中进行艰苦探索。到了15世纪，他们开始努力探讨在二维平面上展现三维物体的数学基础。这导致了透视法的产生及射影几何的产生。5.结束语黄金分割这艺术学历的美学数字，不仅办帮助我们解决了不少数学领域的难题，更渗透到其他各个学科之中，发挥着至关重要的作用。在生活中，还有更多的神秘和美学有待发现、研究，关注数学，会看到更多黄金分割的魅力。而其它领域的成长、发展又会对数学领域产生积极的推动作用。我们首先要感受到并体会到数学学习中的美。数学美不同于其它的美，是一种独特的内在美。正如英国著名哲学家、数理逻辑学家罗素所说：“数学，如果正确的看待它，不但拥有真理，而且也具有至高无上的美，正像雕塑的美，是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性的微弱方面，这种美没有绘画或音乐那样华丽的服饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有伟大的艺术能现实的那种完美的境界。”课堂上老师经常给我们讲数学美，通过高等数学的学习，我渐渐领略到数学美的含义，这种 感觉是奇异的，微妙的，是可以神会而难以言传的，数学，对我来说，是那样的富有魅力，在生活中只要我们善于观察，善于思考，讲所学的知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣。生活中处处都应用着数学的知识。参考文献1 罗声雄.数学的魅力. 武汉大学出版社.1999：46-50.2 费北林.迷人的彩虹美中的数.上海科学普及出版社.2000.56-58.3 严振军.从正五边形谈起.上海教育出版社1980.14-16.4 史文谱,刘迎曦,巩华荣李翠华.黄金分割法在无约束多元优化问题中的应用J东北师大学报自然科学版,2003,35(2):11-14.5 华罗庚科普著作选集M.上海.上海教育出版社1984.6 宋巨龙钱富才彭刚.利用平面上的黄金分割法求全局最优解J.数学实践与认识200434(11) :113-117.7 吴振奎. 斐波那契数列M.沈阳.辽宁教育出版社.1987.8 华罗庚.优选法及其实例M.广东.广东人民出版社.1972. Art works of gold to break up Abstract：golden section in not found than before, in the objective world in exist, just when people reveals the secrets of later, just to have a clear understanding of it. When people according to the law and to observe the nature, is surprised to see that the original in natures many beautiful things of the can see it, such as plant leaves, flowers, snow, a star. Many animals, insects body structure,