二次型测试题.pdf

新浪微博 万学丁勇 1 第五第五章章 二次型二次型 一 选择题选择题 1 设A是n阶方阵 交换A的第 i j列后再交换第 i j行得到的矩阵记为B 则A和B是 A 等价但不相似 B 相似但不合同 C 相似 合同但不等价 D 相似 等价 合同 2 设 522 260 204 A 则 A A是正定的 BA是负定的 C A是不定的 D 以上都不对 3 设 1 030 0 204 AB 则 A 等价 不合同 不相似 B 等价 不合同 相似 C 等价 合同 不相似 D 等价 合同 相似 4 设A B均为n阶正交矩阵 则下列矩阵中不是正交矩阵的是 A 1 AB B 1kA k C A D AB 5 已知A B均为n阶正定矩阵 则下列矩阵中 不是正定矩阵 A 3A B 2B C 11 AB D AB 6 设 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 4000 0000 0000 0000 B 则A与B A 合同且相似 B 合同但不相似 C 不合同但相似 D 不合同且不相似 7 设A B为n阶矩阵 且A与B相似 E为n阶单位矩阵 则 A A与B合同 B A与B有相同的特征值和特征向量 C A与B都相似于一个对角矩阵 D 对任意常数t tEA 与tEB 相似 8 设二次型 222 1231231 3 422f x x xxxxx x 则二次型的标准形是 0 1 2 3 i di A 222 112233 d yd yd y B 222 112233 d yd yd y 新浪微博 万学丁勇 2 C 222 112233 d yd yd y D 222 112233 d yd yd y 9 二次型 T fX AX 正定的充要条件是 A 0A B A的负惯性指数为0 C 存在n阶矩阵C 使 T AC C D A合同于E E为单位矩阵 10 A B为n阶矩阵 且AB 则 A A B有相同的特征值 B A B相似 C AB D R AR B 11 A B为n阶矩阵 下列命题中正确的是 A 若AB 则 AB B 若 AB 则AB C 若AB 则A与B等价 D 若A与B等价 则AB 12 设A为nm 实矩阵 且nAR 则AAT A 正定 B 负定 C 不定 D 以上都不对 13 设二次型 T fX AX 其中 T AA 12 T n Xx xx 则f正定的充分必要条件是 A A的行列式0A B f的负惯性指数为0 C f的秩为n D T AM M M为n阶可逆矩阵 14 M为正交矩阵 A为对角矩阵 矩阵 1 MAM 为 A 正交矩阵 B 对称矩阵 C 不一定为对称矩阵 D 以上都不对 15 对任意一个n阶矩阵 都存在对角矩阵与它 A 合同 B 相似 C等价 D 以上都不对 16 下列各矩阵中是正定矩阵的是 A 111 123 136 B 111 012 001 C 111 112 128 D 234 315 456 17 A B是同阶方阵 如果它们具有相同的特征值 则 A A与B相似 B A与B合同 C AB D AB 新浪微博 万学丁勇 3 18 n阶方阵A与B的特征多项式相同 则 A A B同时可逆或不可逆 B A B有相同的特征值和特征向量 C A B与同一对角矩阵相似 D 矩阵 EA 与 EB 相等 19 n阶实对称矩阵A合同于矩阵B的充要条件是 A r Ar B B A B的正惯性指数相等 C A B为正定矩阵 D r Ar B 且A B的正惯性指数相等 20 下列矩阵中 正定矩阵的是 A 123 245 356 B 123 254 346 C 222 254 245 D 521 213 130 二 填空题 1 已知二次型 222 12312323 2332f x xxxxxax x 通过正交变换化成标准 222 123 25fyyy 则大于0的数a 2 若 2 110 110 001 Ak k 是正定矩阵 则k 3 设 120 12120 001 a A 为正交矩阵 则a 4 已知实二次型 222 123123121323 4f x x xa xxxx xx xx x 经过正交变换 XPY 可化为标准形 2 1 6fy 则a 新浪微博 万学丁勇 4 5 若实对称矩阵A与矩阵 000 021 012 B 合同 则二次型 T X AX的规范形为 6 二次型 222 123123122313 2f x xxxaxxx xx xax x 的正 负惯性指数都是1 则a 7 已知二次型 222 1231213 2122fxxk xkx xx x 是正定的 则参数k应满足的条件 是 8 二次型 2 123123 2f x xxxx x 的正惯性指数为 9 已知二次曲面 222 2221xyzaxybyzxz 经过正交变换 TT x y zQ x y z 化成椭圆柱面方程 22 21yz 则常数a和b应满足的条件是 10 若二次型 222 123121323 5224fxxxtx xx xx x 负定 则t的取值范围为 11 已知二次型 222 123123121 323 55266f x x xxxcxx xx xx x 的秩为 2 则此二次型 矩阵的特征值为 12 设二次型 222 1231231 3 222 T f x xxx Axaxxxbx x 0b 其中二次型矩阵A 的特征值之和为 1 特征值之积为12 则a b 13 设 二 次 型 222 123122313 222fxxxax xbx xx x 经 正 交 变 换xQy 化 成 22 23 2fyy 其中 123 T xx x x 123 T yy yy 是三维列向量 Q是正交矩阵 则 a b 14 二次型 123121 323 f x xxx xx xx x 的秩 r f 15 已知二次型 222 123122313 5222 T x Axxxxax xbx xx x 的秩为 2 212 T 是A 的特征向量 那么经正交变换二次型的标准形是 新浪微博 万学丁勇 5 16 设 1 0 1 T T A 若 BkEA 是正定矩阵 则k的取值范围是 17 将所有的n阶实对称可逆矩阵按合同分类 即把彼此合同的矩阵看成一类