导数题中的“任意”与“存在”.doc

导数题中的“任意”与“存在”中国农业大学附属中学 闫小川摘要：对导数题中的“任意”与“存在”性问题，很多同学们感到束手无策，本文对常见的该类问题进行分类并说明其求解策略.关键词：导数；任意；存在常见这样一类导数问题:对区间内任意自变量，不等式成立，求参数取值范围;或在区间内存在一个自变量，不等式成立，求参数取值范围等等.由于这类问题本身的抽象性及隐蔽性，同学们在解决这类问题时，感到束手无策.为使这类问题解决有章可循，有法可依，本文拟对常见的该类问题进行分类并说明其求解策略，以供参考.例 已知两个函数，.（1）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（3）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（4）若存在，使成立，求实数的取值范围；（5）若存在，使成立，求实数的取值范围；（6）若存在，使成立，求实数的取值范围；（7）若存在，使成立，求实数的取值范围；（8）若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围；（9）若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围；（10）若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.为解决上述问题方便，我们先求在上的最大值和最小值，在上的最大值和最小值.，对称轴，当时，在区间上递减，在区间上递增.，.,令,解得或，当时，在区间上递减，在区间上递增.，.上述问题可分为下面三类：一、对区间内任意自变量，不等式成立型（1）（3）属于此类型.（1）解：，.评注：若对任意，不等式（或）恒成立，则需要函数在该区间上的最小值大于（或最大值小于）.（2）解：设，.在区间，上递减，在区间上递增.，.，.评注：对任意的，都有成立，是不同函数对同一变量下的恒成立问题，如图1，的图象恒在的图象上方，设，则可转化为求的最小值大于0即可.本题易错误认为.若函数在区间上恒为正值，此类问题也可以设，让的最小值大于1即可.图1（3）解：,.评注：本题是两个无关的变量和的取得互不影响，所以只需使的最小值大于的最大值.我们用图2表示在上的值域，用图2表示在上的值域.固定图2，使图3竖直上下移动，只有如图4所示时才能符合题意. 图2 图3 图4二、区间内存在自变量，使不等式（等式）成立型（4）（7）属于此类型.（4）解：，,.评注：存在，使 （或）成立, 只需函数在区间上的最大值（或）.本题易错误认为.（5）解：设，存在，使，转化为（4）类型，只需.，.，.评注：存在，使（或）成立，此类问题强调的是不同函数在同一变量下的函数值大小的问题，应设，可转化为让函数的最大值大于O（或的最小值小于O）即可.本题容易与恒成立问题混淆，从而错误的去让函数的最小值大于0. 若函数在区间上恒为正值，此类问题也可以设.（6）解：,.评注：存在，使成立,满足，如图5.图5（7）解：.评注：若存在，使成立，要求的值域和的值域交集不为空，即，如图6，且，如图7. 图6 图7三、任意、存在同时出现，使不等式（等式）成立型（8）（9）属于此类型.（8）解：,评注：对任意的，总存在，使成立，就是说取区间上的任意一个值，总存在，使得，就要求，如图8. 图8（9）解：.评注：对任意的，总存在，使成立，就是说取区间上的任意一个值，总存在，使得，就要求函数的值域包含函