二次函数与二次方程、二次不等式的关系.doc

二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识梳理知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c(a0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当y0时，就是二次不等式。知识点2、二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。研究二次函数y=ax2bxc图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax2bxc=0的根的问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。知识点3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示：=b24ac 0 =0 0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根 无实数根一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集或（） x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c0(a0)的解集 （）无解无解二、精典题型剖析例1、已知二次函数y=x2（m3）xm的图象是抛物线，如图（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？（2）当m为何值时，方程x2（m3）xm=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时MPQ的面积变式训练：1、函数y=ax2bxc的图象过（1，0），则的值是_2、已知二次函数y=x2-2x+3.(1) 若它的图像永远在x轴的上方，则x的取值范围是_;(2) 若它的图像永远在x轴的下方，则x的取值范围是_;(3) 若它的图像与x轴只有一个交点，则x的取值范围是_.3、已知二次函数y=x2mxm2求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点4已知二次函数y=x22kxk2k2（1）当实数k为何值时，图象经过原点？（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5已知抛物线y=mx2（32m）xm2（m0）与x轴有两个不同的交点（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P的坐标，并过P、Q、P三点，画出抛物线草图例2、(本题满分12分) 二次函数的图像交y轴于C点，交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程的两个根.（1）求出点A、点B的坐标及该二次函数表达式.（2）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合），过点Q作QDAC交于BC点D，设Q点坐标（m，0），当面积S最大时，求m的值.（3）如图3，线段MN是直线y=x上的动线段（点M在点N左侧），且，若M点的横坐标为n，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q.以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由变式训练：（2012资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是（）A1x5 Bx5 Cx1且x5 Dx1或x5例3、 已知关于x的一元二次方程，.（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系； （2）若ab=2，且，求a，b的值；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象与x轴的交点为A、C（点A在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D.若点P（x，y）是四边形ABCD边上的点，试求3xy的最大值.变式训练：（2012甘肃兰州10分）设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB|x1x2|。参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形(1)当ABC为直角三角形时，求b24ac的值；(2)当ABC为等边三角形时，求b24ac的值例4、（2012广东肇庆10分）已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x10x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，（1）求证： ；（2）求m、n的值；（3）当p0且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值变式训练： （2012湖北荆门10分）已知：y关于x的函数y=（k1）x22kx+k+2的图象与x轴有交点（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2求k的值；当kxk+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值专题训练1. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax2+bx+c（02ab）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（1，yC）在该抛物线上（）当a=1，b=4，c=10时，求顶点P的坐标；求-的值；（）当y00恒成立时，求的最小值2. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为，若抛物线C1经过点，方程的两根为，且。（1）求抛物线C1的顶点坐标.（2）已知实数，请证明：,并说明为何值时才会有.（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向