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圆锥曲线大题集锦 1 在平面直角坐标系中 F是椭圆的右焦点 已知点 0 2 与椭圆左顶点关于直线对称 且直线AF的斜率为 1 求椭圆的方程 2 过点Q 1 0 的直线l交椭圆于M N两点 交直线 4于点E 证明 为定值 2已知定圆 动圆过点且与圆相切 记圆心的轨迹为 1 求轨迹的方程 2 设点 在上运动 与关于原点对称 且 当的面积最小时 求直线的方程 3 已知 分别是椭圆 的两个焦点 是椭圆上一点 且 成等差数列 1 求椭圆的标准方程 2 已知动直线过点 且与椭圆交于两点 试问轴上是否存在定点 使得恒成立 若存在 求出点的坐标 若不存在 请说明理由 2 假设在轴上存在点 使得恒成立 当直线的斜率不存在时 由于 解得或 4 已知定点C 1 0 及椭圆x2 3y2 5 过点C的动直线与椭圆相交于A B两点 1 若线段AB中点的横坐标是 求直线AB的方程 2 在x轴上是否存在点M 使为常数 若存在 求出点M的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 依题意 直线AB的斜率存在 设直线AB的方程为y k x 1 将y k x 1 代入x2 3y2 5 消去y整理得 3k2 1 x2 6k2x 3k2 5 0 设A x1 y1 B x2 y2 则 由线段AB中点的横坐标是 得 解得都满足 所以直线AB的方程为或 2 假设在x轴上存在点M m 0 使为常数 当直线AB与x轴不垂直时 由 1 知x1 x2 x1x2 所以 x1 m x2 m y1y2 x1 m x2 m k2 x1 1 x2 1 k2 1 x1x2 k2 m x1 x2 k2 m2 将 代入 整理得 m2 m2 2m 注意到是与k无关的常数 从而有6m 14 0 此时 此时 当直线AB与x轴垂直时 此时点A B的坐标分别为 当时 也有 综上 在x轴上存在定点使为常数 5设椭圆C a b 0 的一个顶点与抛物线C x2 4y的焦点重合 F1 F2分别是椭圆的左 右焦点 且离心率e 过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M N两点 1 求椭圆C的方程 2 若 2 求直线l的方程 3 若AB是椭圆C经过原点O的弦 MN AB 求证 为定值 1 解 由题意知 椭圆的一个顶点为 0 即b e a 2 椭圆的标准方程为 1 2 解 由题意可知 直线l与椭圆必相交 当直线斜率不存在时 经检验不合题意 当斜率存在时 设直线l的方程为y k x 1 k 0 且M x1 y1 N x2 y2 由 得 3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0 x1 x2 x1x2 x1x2 y1y2 x1x2 k2 x1x2 x1 x2 1 k2 1 2 解得k 故直线l的方程为y x 1 或y x 1 即x y 0或x y 0 3 证明 设M x1 y1 N x2 y2
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