连续系统的复频域分析.ppt

1 第五章拉普拉斯变换 5 1拉普拉斯变换的定义 收敛域 5 2拉普拉斯变换的基本性质 5 3拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 5 4拉普拉斯反变换 5 5拉普拉斯变换分析法 5 6系统函数 2 本章要点拉氏变换的定义 从傅立叶变换到拉氏变换拉氏变换的性质 收敛域卷积定理 S域 周期和抽样信号的拉氏变换系统函数和单位冲激响应拉氏变换与傅氏变换的关系 3 5 1拉普拉斯变换的定义 收敛域 一 拉氏变换的定义 从傅氏变换到拉氏变换 二 拉氏变换的收敛 三 一些常用函数的拉氏变换 4 一 拉氏变换的定义 从傅氏变换到拉氏变换 有几种情况不满足狄里赫利条件 u t 增长信号周期信号 若乘一衰减因子为任意实数 则收敛 于满足狄里赫利条件 5 因果 象函数正LT 原函数逆LT FT 实频率是振荡频率LT 复频率S是振荡频率 控制衰减速度 6 拉氏变换已考虑了初始条件 终值 初值 若有跳变则为 7 二 拉氏变换的收敛 收敛域 使F s 存在的s的区域称为收敛域 记为 ROC regionofconvergence 实际上就是拉氏变换存在的条件 8 收敛域 有始有终信号和能量有限信号或等幅振荡信号和增长信号不收敛信号除非 整个平面 以为界 9 双边拉氏变换收敛域 10 不同原函数 收敛域不同 也可得到相同的象函数 11 收敛 存在双边拉氏变换 没有收敛域 不存在双边拉氏变换 12 说明 6 一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围 13 三 一些常用函数的拉氏变换 1 阶跃函数 2 指数函数 全s域平面收敛 3 单位冲激信号 14 4 tnu t 15 常用信号的拉氏变换 16 5 2拉普拉斯变换的基本性质 17 拉氏变换的基本性质 1 线性 微分 积分 时移 频移 18 拉氏变换的基本性质 2 尺度变换 终值定理 卷积定理 初值定理 19 1 线性 2 时移性 一 拉氏变换的性质 20 观察下列图形的时移关系 21 解 1 和 2 的单边拉氏变换相同 求下列拉氏变换 22 23 例求锯齿波的拉氏变换 解 T T T 由时移性 所以 24 利用时移可以求单边周期信号的拉氏变换 设f1 t 表示第一个周期的函数 25 例求半波正弦函数的拉氏变换 26 27 3 比例性 尺度变换 例已知L f t F s 试求 解 先时移性后比例性 由时移性 再由比例性 28 再由时移性 由比例性 另解 先比例性后时移性 29 4 频移性 解 例 求拉氏变换 时移性 频移性 30 5时域微分 主要用于研究具有初始条件的微分方程 证明 由定义 31 依此类推 可得 若f t 为有始函数 则 同理可得 32 解 所求信号的拉氏变换不同 33 6时域积分 证明 由定义 34 所以 若积分下限由开始 35 例求拉氏变换 解 f t 求导 f1 t 求导 36 7初值定理 证明 利用时域微分性质 37 38 初值定理条件必须存在 时域中意味着f t 本身不能包含冲激 但由于的存在 不影响的值 可把移去后再应用初值定理 即只取真分式 例 求初值 本例中 应用初值定理先求真分式 39 8 终值定理 两边取s趋于零的极限 证明 由时域微分性质 40 条件存在相当于在复频域中的极点都在S平面的左半平面和原点仅有单极点 虚轴上只能在原点 如 41 例 给定 试求的终值 解 因为F s 的极点为s 0 1和 2 满足终值定理的条件 求终值首先判断极点位置 其极点s 在s平面的右半平面 不能用终值定理 否则得到 是错误的 42 9 复频域微分 证明 拉氏变换还有其他性质 如时域卷积和复频域卷积 无对称性 43 10 复频域积分 证明 44 45 例1求下列函数的拉氏变换 二 应用举例 46 复频域微分性 47 48 例2 求函数的拉氏变换 方法一 按定义式求积分 方法二 利用线性叠加和时移定理 49 方法三 利用微分积分性质 50 例3 求单边拉氏变换 51 例4 周期信号的拉氏变换及其应用 第一周期的拉氏变换 利用时移特性 利用无穷级数求和 52 单边正弦 余弦信号的拉氏变换 53 衰减余弦的拉氏变换 频移特性 54 矩形周期信号拉氏变换 第一周期的信号 第一周期的拉氏变换 利用时移特性利用无穷技术求和 55 单对称方波 周期对称方波 乘衰减指数 包络函数 矩形脉冲衰减信号的拉氏变换 56 抽样信号的拉氏变换 抽样序列 抽样序列的拉氏变换 时域抽样信号 抽样信号的拉氏变换 57 5 3拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 因果 乘衰减因子 58 从单边拉氏变换到傅氏变换 有始信号 傅氏变换不存在 拉氏变换存在 59 从单边拉氏变换到傅氏变换 有始信号 60 从单边拉氏变换到傅氏变换 有始信号 存在傅氏变换 但收敛于虚轴 不能简单用 要包含奇异函数项 K1 1 61 从的单边拉氏变换求它的傅氏变换 K2 K1 62 1 简单函数利用典型信号的变换对 查表 及性质 例 化简的第一步是化成真分式 5 4拉普拉斯反变换 例 63 例 解 64 例 65 2 部分分式展开 含真分式 1 D s 0的根是实根且无重根 D s 是s的多项式 可以进行因式分解 66 左右两边同乘以因子再令 67 例 解 68 69 2 D s 0的根有复根且无重根 的反变换可用配方法 70 掩盖法 71 72 3 D s 0的根有重根 可通过对应项系数相等或公式法得到 73 依次类推 它们的拉氏反变换可通过频域微分性质得到 如果D s 0有复重根 可以用类似于复单根的方法导出相应的反变换关系式 74 也可以不展开为复数形式 而用性质 系数求得后 可用求得其反变换 由于 75 掩盖法 例 求原函数 76 2 1 例 求原函数 77 另解 先不考虑频移 已知 78 例 求下列函数的拉氏反变换 时移性质 解 79 长除法 80 求拉氏反变换 解 81 解 先不考虑平移 令 82 83 84 拉氏变换分析法是分析线性连续系统的有力工具 它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程 便于运算和求解 变换自动包含初始状态 既可分别求得零输入响应 零状态响应 也可同时求得系统的全响应 5 5拉普拉斯变换分析法 85 用拉氏变换法分析电路的步骤 列s域方程 可以从两方面入手 列时域微分方程 用微积分性质求拉氏变换 直接按电路的s域模型建立代数方程 求解s域方程 得到时域解答 86 输入信号x t 为有始信号 一 用拉普拉氏变换分析系统 87 方程两边取拉氏变换 考虑到时域微分性质 88 89 整理成 A0 s A1 s An 2 s An 1 s 90 系统函数 91 复频域分析法 解 例 求系统响应y t 已知 92 93 拉氏变换分析的优点 1 把微分方程转化成代数方程 3 已知电路也可求解 2 0 到 作单边拉氏变换 0 状态自动包含其中 可求零输入响应 94 例 解 先列微分方程 代入元件参数 并消去iL t 及其导数可得方程 95 两边取拉氏变换 U1zs s U1zi s 96 根据复频域电路模型 直接列写求解复频域响应的代数方程 反变换求得响应 基尔霍夫定律 时域复频域 二 用拉普拉氏变换分析电路 97 利用元件的s域模型分析电路 1 电路元件的s域模型 2 电路定理的推广 线性稳态电路分析的各种方法都适用 3 求响应的步骤 画0 等效电路 求起始状态 画s域等效模型 列s域方程 代数方程 解s域方程 求出响应的拉氏变换V s 或I s 拉氏反变换求v t 或i t 98 电阻元件的s域模型 99 电感元件的s域模型 利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型 内电压源极性与电感电流极性不一致 内电流源极性与电感电流极性一致 100 电容元件的s域模型 电流源形式 内电源极性与电容两端极性一致 101 复频域电路模型 将原电路中已知电压源和电流源都变换为相应的拉氏变换 未知电压 电流也用其拉氏变换表示 各电路元件都用其复频域模型代替 初始状态变换为相应的电源 对该电路模型而言 用以分析计算正弦稳态电路的各种方法 如无源支路的串 并联 电压源与电流源的等效变换等等 都适用 102 例 解 由KVL 103 零状态响应 全响应 零输入响应 104 例 给定系统的微分方程 已知激励信号 对应的响应为 求系统的初始状态y 0 y 0 及系统的零输入响应 零状态响应 解 对微分方程两边作拉氏变换 105 对全响应作拉氏变换 有 106 107 解 作复频域电路模型 对节点a b列写节点方程 例 已知vs t t 电路为零状态 求响应v2 t 108 经整理并联立求解得 109 例 已知vs t 12V L 1H C 1F R1 3 R2 2 R3 1 原电路已处于稳态 当t 0时 开关S闭合 求S闭合后R3两端电压的yzi t 和yzs t 110 a 选定参考节点后 列写a点的节点方程 画复频域电路模型 代入数据整理得 111 112 5 6系统函数 系统函数 零状态条件下系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 113 系统的复频域特征 系统函数 是的拉氏变换是系统输出和输入各自拉氏变换的比 114 1 定义 响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 115 2 H s 的几种情况 策动点函数 激励与响应在同一端口时 策动点导纳 策动点阻抗 转移导纳 转移阻抗 电压比 电流比 转移函数 激励和响应不在同一端口 116 条件 s1位于H s 的收敛域内 即位于H s 的最右极点的右边 无时限复指数函数 一 系统函数与零状态响应 117 1 输入信号分成复指数信号之和 LT物理意义 由线性 得 2 零状态响应是各复指数分量的响应之和 118 系统输入与输出的关系 时域 x t h t y t 频域 X H Y 复频域 X s H s Y s 119 例 求零状态响应 已知H s 激励为 没有位于H s 的收敛域内 响应不存在 解 H s 的收敛域如图 120 3 已知电路 零状态下的复频域电路模型 2 已知h t R RL sLC 1 sC 4 已知零状态响应及其输入 1 已知微分方程 5 已知系统模拟图 二 系统函数的求取 121 例 如图所示电路 求H s 解 作零状态复频域模型 122 例 已知系统的微分方程为 求该系统的系统函数 解 零状态条件下 对微分方程两边取拉氏变换 得 或 先求得冲激响应 123 解 作复频域模型 选参考节点 对节点1 2列方程 例 已知激励为i t 响应为u2 t 求H s 124 已知子系统函数 求整个系统的系统函数 1 基本联接方式 a 级联 b 并联 三 系统框图化简 125 c 反馈 负反馈 其它化简规则如表4 3 126 例 求系统函数 解 分点A后移 化除H2 s H3 s 和H4 s 组成的负反馈回路 127 化除H1 s HA s 和H5 s 1 H3 s 组成的正反馈回路 128 1 加法器 2 标量乘法器 y t x1 t x2 t 拉氏变换Y s X1 s X2 s 时域复频域 y t