二次函数与面积问题-面积.ppt

填空 1 抛物线y x 1 2 2中 当x 时 y有 值是 2 抛物线y x2 x 1中 当x 时 y有 值是 3 抛物线y ax2 bx c a 0 中 当x 时 y有 值是 课前基本练习 二次函数的应用 矩形面积问题 教学目标 一 使学生经历探索实际问题中两个变量之间的函数关系的过程 二 使学生理解用函数知识解决问题的思路 三 使学生体验数学建模思想 培养学生解决实际问题的能力 四 使学生体会数学知识的现实价值 提高学生的学习兴趣 问题情境 用20米长的篱笆围成矩形的生物园饲养小兔 怎样围可使小兔的活动范围较大 1 用长20米的篱笆设计一个矩形的生物园 需要我们知道矩形的哪些量 3 矩形的长与宽之间存在关系是什么 2 20米的篱笆是矩形的哪个量 4 由长与宽的关系知 当周长一定时 可以由矩形的一边表示另一边 解 设矩形的一边AB x米 另一边为BC 米 面积为y米2 y x 10 x 即y x2 10 x 0 x 10 6 当问题中存在着有一定关系的两个变量时 我们考虑可以利用函数来解决问题 5 所以矩形的面积可以看作是矩形的一边长的函数 解 设矩形的一边AB x米 另一边为BC 米 面积为y米2 y x 10 x 即y x2 10 x 0 x 10 0 x 10 7 怎样设计才能使小兔活动范围最大呢 实质是求矩形生物园的面积最大值 在自变量的取值范围内 可以通过观察图象或运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值 第一类 靠墙问题 例1 原题 教材131页7题 用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 墙长为18m 建立矩形面积与矩形一边长的函数关系式 并求出自变量取值范围 当这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 1 设AB xm BC 矩形面积为s 则s与x的函数关系为 2 设BC xm AB m 矩形面积为s 则s与x的函数关系为 A B C D 30 2x m S x 30 2x 第一类 靠墙问题 变式一 用一段30米的篱笆围成一个两边靠墙的矩形菜园设AB xm BC m 矩形面积为s 则s与x的函数关系为 30 x S x 30 x 第一类 靠墙问题 变式二 某中学要在教学楼后面的空地上用40米长的篱笆围出一个矩形ABCD 将此矩形地作生物园 矩形的一边用教学楼的外墙 外墙足够长 其余三边用篱笆 设矩形的边AB AB BC 为x米 面积为y平方米 求y与x之间的函数关系式 并求出自变量的取值范围 解 设AB x米 则BC 40 2x 米 矩形的面积为y平方米 则 y x 40 2x y 2x2 40 x AB0 BC 0 x 0 40 2x 0 x 40 2x 0 x 第二类 隔断问题 用一段30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 但需在矩形内加一道平行于AB的篱笆 如图 设AB xm BC m 矩形面积为s 则s与x的函数关系为 30 3x S x 30 3x 第二类 隔断问题 变式一 用一段30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 但须在矩形内加两道平行于BC的篱笆 如图 设AB x米 BC 米 矩形面积为s 则s与x的函数关系为 第二类 隔断问题 变式二 实际生活中 窗户开得越大 房间的光线越充足 现有根木料为6米 要做一个如图所示的矩形的窗户 已知上框架的高AB与下框架的高BC之比为1 2 设AB x米 矩形的面积为S平方米 求出S与x的函数关系式 x x x 2x 2x 用一段30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 但须在BC之间加一道1米宽的门 如图 设AB x米 BC 米 矩形面积为S 则S与x的函数关系为 第三类 开门问题 30 1 2x S x 31 2x 变式一 用一段30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 但须在BC之间加一道1米宽的门 在CD之间加一道1米宽的门 如图 设AB x米 BC 米 矩形面积为S 则S与x的函数关系为 第三类 开门问题 30 2 2x S x 32 2x 拓展 用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 墙长为14m 这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解 设与墙平行的边长为xm 则另一边为m 矩形的面积为ym2 则 0 x 14 a 0 y有最大值 当 时 y取最大值 17 可编辑 拓展 用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 墙长为14m 这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 0 x y 15 14 112 当0 x 14时 图象在对称轴左侧 y随x的增大而增大 所以当x取最大值14时 y最大是112 根据问题的实际意义x 15不在自变量取值范围内 体育课上 老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地 围成的场地是如图所示的矩形ABCD 设边AB的长为x 单位 米 矩形ABCD的面积为S 单位 平方米 1 求S与x之间的函数关系式 不要求写出自变量x的取值范围 2 当x为何值时 S有最大值 并求出最大值 3 若矩形ABCD的面积为50平方米 且AB AD 请求出此时AB的长 用6m长的铝合金型材做一个形状如图26 2 5所示的矩形窗框 应做成长 宽各为多少时 才能使做成的窗框的透光面积最大 最大透光面积是多少 如图 在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆 围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃 设花圃的宽AB为x米 面积为S平方米 1 求S与x的函数关系式及自变量的取值范围 2 当x取何值时所围成的花圃面积最大 最大值是多少 3 若墙的最大可用长度为8米 则求围成花圃的最大面积 解 1 AB为x米 篱笆长为24米 花圃宽为 24 4x 米 3 墙的可用长度为8米 2 当x 时 S最大值 36 平方米 S x 24 4x 4x2 24x 0 x 6 0 24 4x 84 x 6 当x 4cm时 S最大值 32平方米 第二类 开门问题 例 如图 一张正方形纸板的边长为2cm 将它剪去4个全等的直角三角形 图中阴影部分 设AE BF CG DH x cm 四边形EFGH的面积为y cm2 求 例题讲解 思路一 直接计算正方形EFGH的面积即是 思路二 间接计算 即是S四边形EFGH S四边形ABCD 4S DGH 0 x 2 l 求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围 1 理解问题 二次函数应用 的思路 本节 最大面积 解决问题的过程 你能总结一下解决此类问题的基本思路吗 与同伴交流 2 分析问题中的变量和常量 以及它们之间的关系 3 用数学的方式表示出它们之间的关系 4 做数学求解 5 检验结果的合理性 拓展等 1 列出二次函数的解析式 并根据自变量的实际意义 确定自变量的取值范围 2 在自变量的取值范围内 运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值 也可以利用图象判断 解这类题目的一般步骤 在实际问题中 自变量往往是有一定取值范围的 因此 根据二次函数的顶点坐标 取得的最大值 或最小值 要根据实际问题要求检验自变量的这一