傅氏变换习题解答.pdf

傅氏变换习题解答 习题一 l 试证 若八 满足傅氏积分定理的条件 则有 其中 十 f t f a 吩COSO tdO 厂b 吩sinO fdO 0 0 a 吩 厂 r cos O r d r 冗 oo l如 b OJ f 氏 sin OJ咕 冗 l如如 证兀 ff f r e j urdrej妞心 l过也 2冗女心 2兀J f 00兀 cosOJT jsinuJr cosuJtdrdOJ 古工兀 cos OJ r jsin OJT jsin OJtd CdOJ I 飞仁 r cosO 咕COSO dO 寸二 仁 r sin O rdrsin OJtdO f 如a OJ COSOJtdOJ十f0 00b OJ sin OJtdOJ 如 因仁f r sin听cos 1Jtdr心为雄奇函数 f f r cos 1J f cos 1J如d必加的偶函数 2 试证 若八t 满足傅氏积分定理的条件 当八t 为奇函数时 则有 八t JJ i sin佪加 其中 2位 b m f r sin mr dr 冗0 当J t 为偶函数时 则有 f伈 fl 叫cos M dcv 其中 叩 三厂f r cos 四 d 证设几 是奇函数 f t 上厂厂f T e j ur如j ut如 上如位 2冗心佥 2冗f f 兀 cos听 jsin四 右ej u d 1 l如如l如 f f r sin如frej飞Id j b 1 卢 句 0 f f d j b i 是Q的奇函数 2j 1厂 b u cos uJt jsin u t du f厂b伈 sin u tdu 2j心 设J t 是偶函数 l如位 l知如 f t f f f e一j vrd e i vl dm f f f cosm jsinm dui vrdm 2冗 Q 1 冗 It I l 证八 是偶函数 2 oo 咖 勹l 八 coscvtdt 2 Sm cut I 2 S m w 兀 rJ0冗 V J阶 f了咖 COS tJ d tJ 汇 sinm osMdm 冗 2 It k l 所以I S111 OJ COS OJt冗 0 cu 心 f t 厂归二ItI l 2 2 2 4 0 It I 1 习题二 I 求矩形脉冲函数f t A 0 0 t r 其他 的傅氏变换 oo 解F 叫 们 t f c t f t 矿气It f Ae iOJI dt 了 e勹尸 1l e j如 A 0 A A 一jOJ jOJ抑 2 求下列函数的傅氏积分 I f I I t t 1 2 八 e sin 2t t 1 o 0 oo t l 1 1 t 0 3 f t i l O t l 0 l t 1 兀 i 仁仁兀 e iwt dtei vl心 i J 丁 1 t2 e一i mdte a d I 仁f 1 t cos a tdte M如 c i o I 2 M 2 s a t十卢 Jl产dwl 叮 2 sinm一CVCOS OJ 产dOJ 勹灼sinCt 一U cos U cos OJtd OJ 冗 X OJ 冗0OJ 2 八 0 t 0满足傅氏积分定理的条件 其傅氏积分公式为 e sin 2t t 2 0 几 仁仁兀 e icuf dfeiM如 上厂厂矿sin2te叩VIdfeic x d i 2兀 0 上厂厂e e 21 e一 21e一i ldte 姐心 上厂厂 e一l i 2六v e一t一i 2 u tdtei u d OJ 2冗 o 2 i 4 rci oo l如i l i 2 u i 1一i 2 25 60J2 JJ yi l如 5 m cos wt 2co sin cot i如 5 w2 sincot 2wcos皿 f 4如 f 如 冗 25 60J OJ冗 oo25 60J2 OJ 了 s w2 cos皿 2wsinmt 冗 2dw 25 6w十Q 4 一I I t l 3 函数八 I 0 I I 是奇函数 满足傅氏积分定理的条件 其傅氏积分公式为 0 其他 f l如如 t f f兀 e i u dtei u 如 2冗女女 1 厂厂f t sin wtdte 如 冗1 00 上厂fI sin OJtdtei 0 证明厂C SOJt心 王 e p1 1 1 0 3 矿2 3 砂矿 2 2 几 e 111 cost 证明fcos 心cv 巴e icost 矿 42 3 J t t 证明f 如sin了二 nwt如 勹 I 如尹 e cvt e一1妞 解 I 的 11 J t 仁 肌ie一iMd 2厂产COSOJtdt 2f e e o o 2 dt 产iw 厂 I 如 e J e 妒叫I dt 0 0 e J一icu 厂 3 iw J iw 1 1 2 3 3 j OJ 3 i OJ 32 矿 八 的积分表达式为 加上厂F cv e 妞如 上厂2 3 cos颂 isin J t必 3 oo J 2冗 2冗夕矿 矿 f 2 2 COS J d J 兀0 3 OJ 即 厂COS t如 工e p1 1 0 3气矿2 3 2 F匠伽t 厂e一111coste一j dt 厂e一i 1e e一 e iw1dt 一心 2 匡伈 Hu tdf J三伈 l 1 i l a 1 i l a l i l aJ 二 I I I I I 2矿 4 几 的积分表达式为 八 上厂F 叶心如 上厂气兰产如 上厂宣 4 cos cotd co 2冗 2tr 心矿 41 矿 4 因此有I 吵CV2 2 矿 4 coscutd J f伈 巴e 111cost 2 2 3 F 叫 fl J t J f t e飞汉dt r sinte一iOJldt I一 7sin t cos J i sin J t it 2i f in tsin J dt T 0 寸 cos I 叶 cos I w1tit sio 汴1 l sin I cv 兀一cvsin I J 兀一sin l 叫兀一cvsin l a办兀sin co冗 I 21 1 1 2 1 2 八 的积分表达式为 沁立厂F 心妞如 卢尸 2i j 二 i 如 勹sin吨 cos妞 isi 呻 V 厂sincv冗s neut如 冗 I a矿冗oI喧 因此有厂了厂 dw 1平 4 已知某函数几 的傅氏变换为F 叫 巴兰 求该函数r 小 OJ 解f t 五r F 心 如 f一 气 coscvt i sin姐如 1 如StnOJ f cosmtdm I l如sin L t m sin L t 2冗 coOJ 2冗0OJ l如sin们心I如si n l t炒 I 2冗0 如 Jdco I 2冗 t 而由厂空立心 巴得 0 X 2 当u O时 I 吵sinucu吵sinuw sin x冗 如 Jo uco duc o f 丁心 了 妞sinuw 知sin 一心冗 当u l dm 5 已知某函数的傅氏变换为F O 冗 o O i 0 0 一 j 求该函数八 解几 仁F CtJ ei I如 仁叩 0 十 O J CVo ei 如 产 e叩 cos J t 2 6 求符号函数 又称正负号函数 sgnt t l t 0 的傅氏变换 如 解符号函数不满足傅氏积分定理的条件 显然fI sgn t I cit oo不收敛 按照如下方式推广傅氏 变换的定义 首先 主夸到可取儿 I 勹 且sgnt 凹J I F sgn I 勹凹F 儿 t 而 l 111 t dt J a t e i dt 叶 尸 e e 叶 号 coswa cos气 8 求函数f t costsint的傅氏变换 解F韧 11 r 心 I如 t f cost sm te一1创dt f sin 2te刁a dt 1 oe立 e心1 心2 00 2f 2i e一i 2 2 9 求函数f t sin3 t的傅氏变换 解F韧 们 t 仁sin3te一1邸dt 丿厂 3sint sin 3t e i J dt 4女 切 3o w 1 3J w 1 J w 3 5 w 3 4 冗 10 求函数f t sin 5t 的傅氏变换 3 如如冗l如 解F伈 f 兀 e一 dt f sin 5t 3 e一 dt 2 J sin St 13 cos St e一ill ldt 1 13冗 i冗 J o 5 J w 5 l 冗 o w 5 J w 5 13 i o w 5 13 i J w 5 2 2 2 11 证明o 函数是偶函数 即5 t 5 t 证设f x 为任意一个在 oo 七o 无穷次可微的函数 则 仁5 t f t dt s o u 八 u du f O 又由5 函数的筛选性质知J o t f t dt f O 知 厂5 t f t dt 厂5 t f t dt 故5 函数是偶函数 女女 12 证明 若饥e Pv F w 其中rp t 为一实函数 则 l 1 优cos p t F w F w 优sin的 F 吩 F w 2 2J 其中F w 为F w 的共扼函数 i正因为e的 cos p t jsinrp t e一心 cos 数展式中的系数 2冗 ro 证设a o 则周期为T的非正弦函数f t 的傅氏级数的复指数形式为f t T I c ei 叫 l F他 11 兀 仁兀 e一I妞dt 仁笘c e 叩尸dt 享L飞一i 一吨 1dt OJ oo I c 2动 m一nmo 2式区孕 m一nmo OJ 11 00 14 求如图所示的三角形脉冲的频谱函数 t A t 2 t r 2 解f t 0 2A t A r 2A t A r It I 口2 O t 口2 则 f t 的频谱函数为 r 2 t 0 o 2A r12 2A F他 11 f t 寸 r 2 了t A e iMdt I 了t A e一i ldt 寻 2 2e 打听 皿 气 im 弓 1 cos罕 15 求作如图所示的锯齿形波的频谱图 f t 3T 3T 2T T T 2T 3T 解如图可知 在一个周期T内的表达式为八I h t O幻 T 它的傅氏级数的复指数形式为 T 切 刚 区心int JJ n oo 可见几 的傅氏系数为 r l r h C 哱J r 初 I tdt h 2 T O T T2 2 h 2 C 卢 I t dt 打片te dt 合I Tle 一in dt 叶二 古r 姐dil青 上 ncvT n 士I 立 它的频谱为 A 21 l h A 21CI 2h h ncuT n冗 其中 2n冗 co nco T n l 2 这样对应不同的频率得出各次谱波的振幅 因此频谱图如图所示 H A IOJ 20J 30J 40J CV 16 求高斯 Gauss 分布函数f t 尽 6 e迈2的频谱函数 1 解教科书中PIO 例2已解得钟形脉冲函数Ae P 的傅氏变换为Af产 本题中A 3年 J 3 2a2 所以 J F他 11 f t 厂1e e j ldt e于 心忘6 习题三 若肛吩 11 八 t J F2 1 1 儿 t a 3是常数 证明 线性性质 1 a掣t t 3儿 t aF J jJFi J 广 aF J JF 吩 aJ t j3儿 t 证11 aJ t 312 t 仁 aJ t 3几 t e一im1dt a J 如J t e妞 dt 3仁f2 t e一iw dt 环 m 3F2 m 2若F仰 们 证明 对称性质 j 士 J 上厂F 可 e才 dt 即优F 可 2叮 土m 2冗女 l如 证因f t fF o ei 1dOJ 令x t 八 t l 厂F OJ e i飞 2兀 2冗 oc 1 00 l 令t OJ 则八 吩 JF t e 气it 优F t 即优F t 2叮 研 2冗 2冗 式中令 t OJ 则f w 上厂F 一t e呕从一t 上厂F 一t e i0 有1 f at L f at e i j dt L f at e弓 d at s 妞f u e于11du F 同理a O时 优 at 厂f at e ic dt 厂 at 千 d at oo f u e弓11du 丿F 00 a a f a a 综上 们 at 卢心 4 若F 叫 叽f t 证明 象函数的位移性质 广 F m干mo e勾吩1 t 即F w干Cl i 优e勺吨f t 证优e勺匈1 t 仁e勺 dt F cv干o 5 若F co 11 价 证明 象函数的微分性质 d F 吩 心 11 j吓 证 j F m 立厂f t e一J叫dt 厂r t 土尸dt 仁 jif t e一jtvtdt 价一jtf t dcv dm dcv 6 若F 叫 叽f t 证明 翻转性质 F 叫 饥八 t 证F 叫 r f t e一i i fdt J二八 t e一i w t d t J 八 t e一i J dt 11 t l 7 若F 叫 11 t 证明 价f t cosu i t F cv一叩 F cv u i 2 1 优f t sinav 一 F w u i F m十mo J 2J 证价f t coscvof 仁f t e四 I e J叩e刁Md 飞 仁f t 口 1 l ldt 仁兀 e i J 十OJ tdt l 一 F m mo F cv十mo J 2 们 t sinmot 仁f t e四 rj l I e j妞dt i 仁f t e讯妒匈 1dt f J t e j w心1dt 1 F m mo F m十mo J 2J 8 利用能噩积分厂叮 t 2dt l 厂IF m 1 2 dOJ 求下列积分的值 I 2冗 I J 如1 cosx 2 dx X 4 2 厂smx dx 2 女x 2 X 3 f 如1 oo l x千 dx 4 s 如x2 心 1 x2 r sm 2 解 l 仁勹 sxdx 2 J 入 22 dx J 如 si厂 dx 古仁I 气气2d 仁 厂三 e i妞dx 2fi厂sinx os血cl r rlO sin l x sin l一心心 X lO X 再由 亚心 巴 X 2 导 Z1 厂吨 气 jl 了 cv 1 冗 20冗 2 dx K Q 丫 l 1 n l s L g CJ I CV I J 1 所以由 式得 仁牛 1 f 儿 1 八 t 1 d 心 仁八 s g t飞 d 叮 t g t 几 小队 小1 t 3 a 八 小J t a厂几 r 几 t r d r 厂 q八 1 几 t r d r 厂队1 q几 t r d r 00 00 00 qt t 儿 t 气 t q儿 t 4 eat J 叶 eat儿 t J eaT八 1 ea I T 儿 t r d r eal仁J r 八 t r d1 ea J t 儿 t 5 J t 儿 t gl t g2 t 仁 J r 儿 r g1 t r g2 t 1 d1 仁J 1 gl t 心 仁J r g2 t 1 心 仁 2 r g1 t 1 心 仁12仁 g2 t r cfr 气 t 飞 t 几 t 飞 t 几 飞 t 几 t 飞 t 6 盖 t 小 t t J i仁几 1 队 t 1 中 J 勹 r f儿 t r 釭寸 t 立儿 t 沪t 儿 t 点亿 t 八 t 儿 t 盖庄 沪叶儿 t 因此有 小f山 气卢 儿 t 史的 df l 3若 I 0 I 0虹 t sin I 0 t气 求J t 儿 t 矿 t2 0 0 其他 解J t 儿 t s 八 r 儿 t r 心 fo oo e r儿 t r dr 当0 l 当 吓 f t f勹e一 sin t i t 勹 号 今l 1 工2 I 1 i e I I 1 广 e I J e 1 I r t e i 丿 I 巴2 I 1 十 e I 1 e l 5 昙 今 十 l二 号 l e号勺 l ie于 i e号 2i l i 1 i 2i 2 气 e勹 当t O时 式为0 故有 0 1 t t J t sin t cost e一 2 气门 当区0时 兀 当0王时 2 I 3若爪吩 们 t J F OJ 11 儿 t 证明们 t 儿 t F OJ F J 2冗 证广 F J F OJ 卢仁瓜 F r Fz J 一r dr ei 如 l心如 石f f F w一 r ei m r Id JJ一r e气 r dr 2叮 t 几 t 4 求下列函数的傅氏变换 Cl t sin 叩 u t 2 f t e寸 sinwof u t C3 f t e吆ICOS OJO f U t 4 f t e四u t 5 f t e闷