2010年全国高中数学联赛(甘肃赛区预赛).pdf

1 20102010 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛甘肃省预赛甘肃省预赛试试题题 一一 填空题填空题 每小题每小题 7 7 分分 共 共 5656 分分 1 1 已 知 12n kkk 是 非 负 整 数 满 足 12 222227 n kkk 则 12n kkk 2 2 设0a 函数 2 f xxa 和 g xxa 的图像交于C点且它们分别与y 轴交于A和B点 若三角形ABC的面积是1 则a 3 3 已知 n S是公差为正数q的等差数列的前n项之和 如果 210 n S n 在6n 时取到 最小值 则q的取值范围是 4 4 已知函数 3 yx 在 k xa 的切线和x轴交于 1k a 如果 1 1a 则lim n n S 5 5 函数 fRR 对于一切 x y zR 满足不等式 3 2 f xyf yzf zxf xyz 则 1 0 ff 6 6 锐角三角形ABC 中 角 A B C的对边分别为 a b c 若4cos ba C ab 则 11 tantanAB 的最小值是 7 7 P是椭圆 22 1 124 xy 上的一动点 1 F和 2 F 是椭圆的两个焦点 则 12 PF PF 的 取值范围是 8 8 用 3 种颜色给立方体的 8 个顶点染色 其中至少有一种颜色恰好染 4 个顶点 则 任一棱的两个端点都不同色的概率是 二二 解答题解答题 本题满分本题满分 6464 分分 第第 9 9 1010 题每题题每题 1414 分 第分 第 1111 1212 题每题题每题 1818 分分 9 9 已知 1 sinsin 5 1 coscos 3 求 1 cos2sin2 1 cos2sin2 的值 2 1010 设 12 n a aa是1 2 n的一个排列 3n 求证 2 222222222222 12323434521 221111 1 21 nnn n aaaaaaaaaaaan nn 1111 对任意的正整数n 证明恒等式 42 1 1 n k k kk 2 1 1 1 n k k nn 1 12 2 设S是一些互不相同的 4 元数组 1234 a a a a的集合 其中0 i a 或1 1 2 3 4i 已知S的元素个数不超过15且满足 若 12341234 a a a ab b b bS 则 11223344 max max max max a ba ba ba bS 且 11223344 min min min min a ba ba ba bS 求S的元素个数的最大值 3 解解 答答 1 1 19 19 提示 01567 2271 23264 12822222 故 12 0 1 56719 n kkk 于是应填19 2 2 2 提示 由 f x和 g x的图像知三角形ABC是底为a的等腰直角三角形 故 其面积 2 1 4 a 于是2a 应填2 3 3 10 14 提示 设 1 1 n aanq 则 1 1 2 n n n Snaq 于是 1 210210 22 n Sqq na nn 由题设知 62105210 7210 min 262527 qqq 由此可得57 2 q 故q的取值范围是 10 14 4 4 3 提示 由 3 yx 知 2 3yx 于是 3 yx 在 k xa 的切线方程为 32 3 kkk yaaxa 它与x轴交于点 1 0 k a 故 32 1 3 kkkk aaaa 由此可得 1 2 3 kk aa 又 1 1a 故 2 1 1 3 limlim3 22 11 33 n n nn S 所以应填3 5 5 0 提示 4 0 0 23020 xyzfffxffxf 2 0 0 3 2 0 2 xyzfxfffxffx 由此得 0 0 ff xf 从而 0 f xfc 常数 故应填0 6 6 提示 由题设及余弦定理 222 22222 42 2 abc abababc ab 于是 11cossinsincos tantansinsin BABA ABAB sin sin sinsinsin ABC ABC 2 sin sinsinsin C ABC 222 sin2sin 212 2sinsin3 cab abCabC ab abCC 而上式等号成立当且仅当ABC 112 tantan3AB 7 7 4 4 提示 设 00 P xy 12 0 0FcF c 则有 10000 0 PFcx yxcy 20000 0 PFcx ycxy 于是 120000 PF PFxcycxy 222 00 xcy 222 00 xyc 注意到 2222 00 bxya 即有 2222222 00 bcxycac 也即 5 2222 12 bcPF PFac 其中 22222 12 4 8abcab 故有 12 44PF PF 8 8 1 35 提示 当其中一种颜色染 4 个顶点时 其余两种颜色可任意染色剩余的 4 个 顶点 于是满足要求的染色方法共有 140123 384444 3 70 15C CCCCC 种 若要求任一棱的两个端点都不同色 则一种颜色染 4 个顶点的染法只有 2 种 此时其 余两种颜色仍可任意染色剩余的 4 个顶点 于是这样的染法共有 10123 34444 2 6 15CCCCC 种 故所求概率为 6 151 3 70 1535 9 9 由 1 sinsin2sincos 225 及 1 coscos2coscos 223 可得 3 tan 25 于是 2 36 22tan 15 552 tan 916 8 1tan1 22525 注意到 1 cos2 sin2 sin2 1 cos2 1 cos2sin2 1 cos2sin2 tan 6 从而 1 cos2sin2 1 cos2sin2 15 8 10 10 由柯西不等式容易得到 222222222 12323421nnn a a aa a aaaa 2 111 2 222222222 12323421 n aaaaaaaaa nnn 从而有 222222222 12323421 111 nnn aaaaaaaaa 2 2222222 12121 2 222 12 2 2 3 2 2 3 2 1 1 21 2 nnn n n aaaaaaa n aaa n n nn 2 2 2 1 21 n n nn 1111 证明 42422222 111 121 1 nnn kkk kkk kkkkkkk 2222 11 111 1 1 211 nn kk k kk kkkkkk 22 222 1111 1 212112 nnnn nnnnnn 2 1 1 1 n k k nn 1212 显然所有可能的 4 元数组有 16 种 因为至少有一个那样的 4 元数组不在S中 7 所以 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 和 0 0 0 1 中至少有一个不在S中 若不然由题 中条件可推出所有那样的 4 元数组都在S中 不妨设 1 0 0 0 S 此时由题中条件又知 1 1 0 0 1 0 1 0 和 1 0 0 1 中至少有 2 个不能在S中 不 妨设 1 1 0 0 和 1 0 1 0 不在S中 此时又可知 1 1 1 0 和 1 0 0 1 不能同时在S 中 不妨设 1 1 1 0 不在S中 于是S的元素个数不超过16412 个 现在设S是所有可能的 16 个 4 元数组中去掉 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 和 1 1 1 0 后所成的集合 我们要证S满足题中条件 从而S的元素个数最大值为12 任取 12341234 a a a ab b b bS 1 若 11 0ab 或 4 1a 或 4 1b 则显然 11223344 max max max max a ba ba ba b 不 等 于 上 述 去 掉 的4个4元 数 组 中 任 何 一 个 从 而 属 于S 又 11223344 min min min min a ba ba ba b 2 若 1 1a 或 1 1b 且 44 0ab 则 112233442233 max max max max 1 max max 0 a ba ba ba ba ba b 由此推出 1234 a a a a或 1234 b b b b不属于S 这种情况不会出现 类似地有 3 若 1 0a 或 1 0b 或 44 1ab 则显然 11223344 min min min min a ba ba ba b 不等于上述去