圆中常用辅助线的作法.ppt

圆的常用辅助线及作法 尝试练习一 尝试练习二 数学歌诀 作法及应用 弦心距 直径圆周角 切线径 两圆相切公切线 中点圆心线 两圆相交公共弦 尝试练习 圆的常用辅助线及作法 常用思想 圆是初中几何学习中重要内容 学好圆的有关知识 掌握正确的解题方法 对于提高学生的综合能力非常重要 而在解决圆的有关问题时 恰当添设辅助线则是解题的关键 一 添设圆的辅助线的常用思想添设圆的辅助线是几何学习的重要方法 在作辅助线时 应从结论入手分析 寻找题设和结论之间的关系 寻找隐含的条件 使辅助线起到 搭桥铺路 的作用 弦与弦心距 亲密紧相连 中点与圆心 连线要领先 两个相交圆 不离公共弦 两个相切圆 常作公切线 圆与圆之间 注意连心线 遇直径想直角 遇切点作半径 圆的常用辅助线作法的 数学歌诀 二 常用辅助线作法的应用 在解决与弦 弧有关的问题时 常作弦心距 半径等辅助线 利用垂径定理 推论及勾股定理解决问题 2 1 弦心距 有弦 可作弦心距 例1 如图 已知 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 求证 AC BD 由垂径定理得 AE EB CE DE 证明 过O作OE AB 垂足为E E 即 AC BD AE CE BE DE 在解决有关直径的问题时 常作直径上的圆周角 构成直径所对的圆周角是直角 寻找隐含的条件 从而得到所求结论 2 2 直径圆周角 有直径 可作直径上的圆周角 例2 已知 MN切 O于A点 PC是直径 PB MN于B点 求证 分析 证明 连结AC AP PC是 O的直径 CAP 90 PB MN PBA 90 CAP PBA MN是 0的切线 BAP ACP 在解决有关切线问题时 常作过切点的半径 利用切线的性质定理 或者连结过切点的弦 利用弦切角定理 使问题得以解决 2 3 切线径 有切点 可作过切点的半径 例3 如图 AB AC与 O相切有与B C点 A 50 点P优弧BC的一个动点 求 BPC的度数 BOC 360 A ABO ACO 360 50 90 90 130 解 连结OB OC AB AC是 O的切线 AB OB AC OC 在四边形ABOC中 A 50 BPC 65 ABO ACO 90 在解决两圆相交的问题时 常作两圆的公共弦 构成圆内接四边形 再利用圆内接四边形定理 架设两圆之间的 桥梁 从而寻找两圆之间的等量关系 2 4 两圆相交公共弦 两圆相交 可作公共弦 例4 如图 已知 O和 O相交于A B两点 过A点的直线CD分别交 O和 O于C D 过B点的直线EF分别交 O和 O于E F 求证 CE DF CE DF 1 2 2 2 1 1 2 1 证明 连结AB 四边形ACEB是 O的内接四边形 DAB E 四边形ABFD是 O的内接四边形 DAB F 180 E F 180 2020 3 16 14 可编辑 在解决两圆相切的问题时 常作两圆的公切线 若两圆外切 常作内公切线 若两圆内切 常作外公切线 通过公切线构造弦切角 利用弦切角便把两圆的圆周角联系起来 2 5 两圆相切公切线 两圆相切 可作公切线 例5 如图 已知两圆外切于T点 过T的直线AB CD分别交 O和 O于A C和B D 求证 AC BD M N 证明 过T点作两圆的内公切线MN 1 2 1 2 在 O中 A CTN 在 O中 B DTM 又 CTN DTM A B AC BD 在解决有关中点和圆心的问题时 可先连结中点与圆心 利用垂径定理 或者是三角形 梯形的中位线定理 可求出所需要的结论 2 6 中点圆心线 有中点和圆心 可连结中点与圆心 例6 如图 已知AB CD是 O的两条弦 M N分别是AB CD的中点 并且 AMN CNM 求证 AB CD 即 AB CD 证明 连结OM ON M N分别是AB CD的中点 OM AB ON CD AMO CNO 90 又 AMN CNM OMN ONM OM ON 三 尝试练习一 1 如图 点O是 EPF的平分线上的一点 以O为圆心的圆与角的两边分别交于A B和C D点 求证 1 AB CD 2 PB PD PO平分 BPA OM ON AB CD 1 证明 过O作OM AB ON CD 垂足为M N M N 三 尝试练习一 1 如图 点O是 EPF的平分线上的一点 以O为圆心的圆与角的两边分别交于A B和C D点 求证 1 AB CD 2 PB PD 2 AB CD OM AB ON CD AM MB CN ND又 OM ON Rt PMO Rt PNO PM PN PM MB PN ND即 PB PD 2 如图 以Rt ABC的直角边AC为直径作 O交斜边AB于P 过B P任意作一个圆 过A作所作圆的切线AD 切点为D 求证 即 AD AC AC是 O的直径 APC 90 ACB 90 APC ACB 又 AD是大 的切线 证明 连结CP 3 如图 在 O中 半径OA OB垂足为O P是OB上任意一点 AP交 O于Q 过Q点的切线交OB的延长线于C 求证 CP CQ QC是 O的切线 OQC 90 OA OQ OAQ OQA又OA OB APO 90 OAP CQP 90 OQA APO CQP CQP CPQ CP CQ 证明 连结OQ 四 尝试练习二 1 如图 两圆相交于A B两点 过一个圆上的点P作射线PA和PB 分别交于另外一个圆于点C和点D 再作切线PT 求证 PT CD PT是小 的切线 TPA ABPABDC是大 的内接四边形 ABP C TPA C即 PT CD 证明 连结AB 2 如图 已知 O1和 O2外切于点A BC是 O1和 O2的公切线 B C为切点 求证 AB AC 由切线长定理得 BP PA PA PC PA BP PC 证明 过点A作两圆的公切线交BC于点P AB AC 3 已知 AB是 O的直径 AC是 O的切线 切点为A BC交 O于点D E是AC的中点 求证 ED是 O的切线 OE是 ABC的的中位线 OE B