[状元桥]2016届高三数学(文)二轮复习教师用书：专题八-不等式.pdf

学科知识供应商 专题八专题八 不等式不等式 见学生用书 P53 见学生用书 P53 一 不等式的性质 不等式有八个性质 考查频率较高也是容易出错的有 1 a b 且 c 0 ac bc a b 且 c 0acb 0 c d 0 ac bd 0 二 不等式的解法 1 一元二次不等式的解法 求不等式 ax2 bx c 0 a 0 的解集 先求 ax2 bx c 0 的根 再由二次函数 y ax2 bx c 的图象写出 解集 2 分式不等式 先将右边化为零 左边通分 转化为整式不等 式求解 3 一元三次不等式 用 穿针引线法 求解 学科知识供应商 三 线性规划 1 解答线性规划的应用问题 其一般步骤如下 1 设出所求的 未知数 2 列出约束条件及目标函数 3 画出可行域 4 将目标函 数转化为直线方程 平移直线 通过 截距的最值找到目标函数最值 5 将直线交点转化为方程组的 解 找出最优解 2 求解整点最优解有两种方法 1 平移求解法 先打网格 描 述点 平移目标函数所在的直线 l 最先经过的或最后经过的整点便 是最优整点解 2 调整优值法 先求非整点最优解及最优值 再借 助不定方程的知识调整最优值 最后筛选出整点最优解 四 基本不等式 1 a b R a2 b2 2ab 当且仅当 a b 时 等号成立 2 a b R a b 2 ab 当且仅当 a b 时 等号成立 使用基本不等式要注意 一正 二定 三相等 3 已知 x 0 y 0 则有 1 若乘积 xy 为定值 p 则当 x y 时 x y 有最小值 2 p 2 若 x y 为定值 s 则当 x y 时 乘积 xy 有最 大值s 2 4 学科知识供应商 见学生用书 P54 考点一 不等式性质 考点精析考点精析 1 同向不等式可以相加 异向不等式可以相减 若 a b c d 则 a c b d 若 a b cb d 2 左右同正不等式 同向的不等式可以相乘 异向不等式可以 相除 若 a b 0 c d 0 则 ac bd 若 a b 0 0 c b d 3 左右同正不等式 两边可以同时乘方或开方 若 a b 0 则 an bn或na nb 4 若 ab 0 a b 则1 a 1 b 若 abb 则 1 a 1 b 例 1 1 2014 四川卷 若 a b 0 c d b c B a d b d D a c0 b 0 a b 2 则下列不等式对一切满足条 件的 a b 恒成立的是 写出所有正确命题的编号 ab 1 a b 2 a2 b2 2 a3 b3 3 1 a 1 b 2 解析 a 0 b 0 a b 2 ab 即 2 2 ab ab 1 故 恒成立 对于 a b 2 a b 2 ab 2 2 ab 2 a b 2 故 不成立 对于 a2 b2 a b 2 2ab 4 2ab 2 学科知识供应商 恒成立 对于 可采用特殊值代入法 a 1 b 1 满足题意 a3 b3 20 时 f x x2 4x 则不等式 f x x 的解集用区间表示为 考点 一元二次不等式的解法以及函数的奇偶性 分析 先求出函数 f x 在 R 上的解析式 然后分段求解不等式 f x x 即得不等式的解集 解析 设 x0 于是 f x x 2 4 x x2 4x 因为 f x 是 R 上的奇函数 所以 f x x2 4x 即 f x x2 4x 且 f 0 0 学科知识供应商 于是 f x x2 4x x 0 0 x 0 x2 4x x0 时 由 x2 4x x 得 x 5 当 xx 得 5 x1 的解集为 A 2 3 B 2 2 C 2 3 3 2 D 2 2 考点 一元二次不等式的解法 导数的几何意义 分析 由函数 y f x 的图象 知 x0 时 学科知识供应商 f x 是减函数 由 f 2 1 f 3 1 不等式 f x2 6 1 的解集满足 x 2 x2 6 3 由此能求出结果 解析 函数 y f x 的图象如题图所示 当 x0 时 f x 是减函数 f 2 1 f 3 1 由不等式 f x2 6 1 得 2 x2 6 3 解得 3 x 2 或 2 x0 在 R 上恒成立 则实数 a 的取值范围是 解析 由关于 x 的不等式 x2 ax 2a 0 在 R 上恒成立 可得二 次函数 f x x2 ax 2a 的图象在 x 轴的上方 即一元二次方程 x2 学科知识供应商 ax 2a 0 的判别式 a 2 8a0 b 0 2 2 ab 1 a 2 b ab当且仅当 1 a 2 b时 成立 即 ab 2 2 ab min 2 2 故选 C 方法 2 由1 a 2 b ab 通分可得 b 2a ab ab 2a b 2 a2b2 ab 即 2a b 2 a3b3 又由 2a b 2 8ab 得 8ab a3b3 即 a2b2 8 ab 2 2 所以 ab min 2 2 故选 C 答案 C 点评 本题考查了基本不等式的应用 考查了学生的推理论证能 力 属于中档题 例 3 2 2013 山东卷 设正实数 x y z 满足 x2 3xy 4y2 z 0 则当xy z 取得最大值时 2 x 1 y 2 z的最大值为 A 0 B 1 C 9 4 D 3 考点 基本不等式 分析 依题意 当xy z 取得最大值时 x 2y 代入所求关系式 f y 2 x 1 y 2 z 利用配方法即可求得其最大值 学科知识供应商 解析 x2 3xy 4y2 z 0 z x2 3xy 4y2 又 x y z 均为正实数 xy z xy x2 3xy 4y2 1 x y 4y x 3 1 2 x y 4y x 3 1 当且仅当 x 2y 时取 xy z max 1 此时 x 2y z x2 3xy 4y2 2y 2 3 2y y 4y2 2y2 2 x 1 y 2 z 1 y 1 y 1 y2 1 y 1 2 1 1 2 x 1 y 2 z的最大值为 1 答案 B 点评 本题考查基本不等式 由xy z 取得最大值时得到 x 2y 是关 键 考查配方法求最值 属于中档题 规律总结规律总结 此类题型主要考查函数性质在不等式中的应用和基本不等式的 应用 是考试的热点题型 试题难度中等 主要以小题形式出现 解 学科知识供应商 题时应注意构造函数模型并运用单调性及数形结合思想 基本不等式 的应用要注意等号成立条件 变式训练变式训练 3 1 2015 福建卷 若直线x a y b 1 a 0 b 0 过点 1 1 则 a b 的最小值等于 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 由直线x a y b 1 过点 1 1 可得 1 a 1 b 1 a b a b 1 a 1 b 2 b a a b 4 当且仅当 b a a b 即 a b 时 成立 所以 a b min 4 故选 C 答案 C 3 2 2014 湖北卷 某项研究表明 在考虑行车安全的情况 下 某路段车流量 F 单位时间内经过测量点的车辆数 单位 辆 时 与车流速度 v 假设车辆以相同速度 v 行驶 单位 米 秒 平均车长 l 单位 米 的值有关 其公式为 F 76 000v v2 18v 20l 1 如果不限定车型 l 6 05 则最大车流量为 辆 时 2 如果限定车型 l 5 则最大车流量比 1 中的最大车流量增加 辆 时 学科知识供应商 解析 1 F 76 000v v2 18v 20l 76 000 v 121 v 18 v 121 v 2 121 22 当 v 11 时 成立 F 76 000 v 121 v 18 1 900 故最大车流量为 1 900 辆 时 2 F 76 000v v2 18v 20l 76 000v v2 18v 100 76 000 v 100 v 18 v 100 v 2 100 20 F 2 000 2 000 1 900 100 辆 时 故最大车流量比 1 中的最大车流量增加 100 辆 时 答案 1 1 900 2 100 考点四 简单的线性规划 考点精析考点精析 解决线性规划问题的一般步骤 1 确定线性约束条件 2 确定线性目标函数 3 画出可行域 4 利用线性目标函数 直线 求出最优解 5 据实际问题的需要 适当调整最优解 如整数解等 学科知识供应商 例 4 1 2014 湖北二模 点 M a b 在由不等式组 x 0 y 0 x y 2 确定 的平面区域内 则点 N a b a b 所在平面区域的面积是 考点 简单线性规划 分析 设 m a b n a b 则 N a b a b 为 N m n 由 M a b 满足的不等式组 化简整理得到 m n 满足的不等式组 最 后以 m 为横坐标 n 为纵坐标的直角坐标系内作出相应的平面区域 即可求出点 N a b a b 所在平面区域的面积 解析 由 M a b 满足 x 0 y 0 x y 2 可得 a 0 b 0 a b 2 令 m a b n a b 则 N a b a b 为 N m n 解得 2a m n 2b m n 因为 a 0 b 0 且 a b 2 N m n 满足 m n 0 m n 0 m 2 以 m 为横坐标 n 为纵坐标 在直角坐标系中画出不等式组表示 学科知识供应商 的平面区域如图 得到 OEF 其中 O 0 0 E 2 2 F 2 2 可得 S OEF 1 2 EF 2 4 即得 N a b a b 所在平面区域的面积是 4 答案 4 点评 本题给出 M a b 满足的不等式组 求点 N a b a b 所在平面区域的面积 着重考查了坐标变换公式和简单的线性规划及 其应用等知识 属于基础题 例 4 2 2014 福建模拟 已知实数 x y 满足 x 0 y 1 2x 2y 1 0 若 目标函数 z ax y a 0 取得最小值时的最优解有无数个 则实数 a 的值为 考点 简单线性规划 分析 将目标函数 z ax y 化成斜截式方程后得 y ax z 目标函数值 z 看成是直线族 y ax z 的截距 当直线族 y ax z 的斜率与直线 AB 的斜率相等时 目标函数 z ax y 取得最小值的 学科知识供应商 最优解有无数多个 由此不难得到 a 的值 解析 目标函数 z ax y y ax z 故目标函数值 z 是直线族 y ax z 的截距 画出不等式组表示的可行域如图所示 当直线族 y ax z 的斜率与直线 AB 的斜率相等时 目标函数 z ax y 取得最小值的最优解有无数多个 直线 AB 2x 2y 1 0 的斜率为 1 此时 a 1 即 a 1 答案 1 点评 目标函数的最优解有无数多个 处理方法一般是 将目 标函数的解析式进行变形 化成斜截式 分析 z 与截距的关系 是 符号相同 还是相反 根据分析结果 结合图形得出结论 根据 斜率相等求出参数 例 4 3 2014 全国卷 设 x y 满足约束条件 x y 1 0 x y 1 0 x 3y 3 0 则 z x 2y 的最大值为 A 8 B 7 学科知识供应商 C 2 D 1 考点 简单的线性规划 分析 先作出可行域 再结合图形求解最大值 解析 画出可行域 如图所示 将目标函数 z x 2y 变形为 y 1 2x z 2 当 z 取到最大值时 直线 y 1 2x z 2的纵截距最大 故将直线 y 1 2x 平移经过可行域 当平移到过 A 点时 z 取到 最大值 解 x y 1 0 x 3y 3 0 得 A 3 2 所以 zmax 3 2 2 7 答案 B 点评 本题考查线性规划的基本应用 作出可行域 运用截距法 求最值 是解线性规划的基本方法 规律总结规律总结 简单线性规划问题在实际生活 生产中应用十分广泛 也是历年 高考必考的一个重点 考查中三种题型都有 但以选择题和填空题为 主 命题的重点是简单线性规划中最值问题的求解 近几年高考命题 学科知识供应商 的形式趋向多样化 如以不等式组确定平面区域为背景考查平面区域 面积 已知线性规划中目标函数的最值确定参数的取值 线性约束条 件下的非线性目标函数的最值 线性规划问题与平面向量的数量积 线性规划与其他知识模块的综合等 求解最值的方法在数列 函数 平面解析几何问题中的应用等已逐步成为今后高考命题的趋势 变式训练变式训练 4 1 2014 肇庆二模 直角坐标系 xOy 中 已知两定点 A 1 0 B 1 1 动点 P x y 满足 0 OP OB 2 0 OP OA 1 则点 M x y x y 构成的区域的面积等于 解析 由 0 OP OB 2 0 OP OA 1 得 0 x y 2 0 x 1 设 M s t 则 s x y t x y 解得 x 1 2 s t y 1 2 s t 由 0 x y 2 0 x 1 得 0 s t 2 0 s 2 作出不等式组对应的平面区域 则区域对应平行四边形 OEFG 且 E 0 2 F 2 0 G 2 2 所以四边形的面积 S 2 1 2 2 2 4 学科知识供应商 答案 4 4 2 2014 福建卷 已经知圆 C x a 2 y b 2 1 平面 区域 x y 7 0 x y 3 0 y 0 若圆心 C 且圆 C 与 x 轴相切 则 a2 b2的最大值为 A 5 B 29 C 37 D 49 解析 作出不等式组 x y 7 0 x y 3 0 y 0 表示的平面区域 如图中阴 影部分所示 含边界 圆 C x a 2 y b 2 1 的圆心坐标为 a b 半径为 1 由圆 C 与 x 轴相切 得 b 1 解方程组 x y 7 0 y 1 得 x 6 y 1 即直线 x y 7 0 与直线 y 1 的交点坐标为 6 1 设此点 为 P 学科知识供应商 又点 C 则当点 C 与 P 重合时 a 取得最大值 所以 a2 b2的最大值为 62 12 37 故选 C 答案 C 见学生用书 P58 例 2014 湖南模拟 设 m 1 在约束条件 y x y mx x y 1 下 目标函数 z x my 的最大值小于 2 则 m 的取值范围为 A 1 1 2 B 1 2 C 1 3 D 3 考场错解 变形目标函数为 y 1 mx z m 作不等式组 y x y mx m 1 x y 1 表示的平面区域 如图中的阴影部 分所示 学科知识供应商 当直线 l y 1 mx z m在 y 轴上的截距最大时 目标函数取最大 值 平移直线 l 当 l 过点 B 时 z 有最大值 由 y x x y 1 得交点 B 1 2 1 2 因此 z x my 的最大值 zmax 1 2 m 2 依题意 1 2 m 2 2 m 1 得 1 m 3 故实数 m 的取值范围是 1 3 选 C 项 专家把脉 1 忽视条件 m 1 没能准确判定直线 l 的斜率范围 导致错求最优解 从而错得实数 m 的取值范围 2 本题易出现不能正确画出可行域或错认为直线 l 过原点时 z 取得最大值的错误 对症下药 变形目标函数为 y 1 mx z m 作不等式组 y x y mx m 1 x y 1 表示的平面区域 如图中的阴影部 分所示 学科知识供应商 m 1 1 1 m 0 因此当直线 l y 1 mx z m在 y 轴上的截距最大时 目标函数取 得最大值 显然在点 A 处 直线 l 的截距最大 由 y mx x y 1 得交点 A 1 1 m m 1 m 因此 z x my 的最大值 zmax 1 1 m m2 1 m 依题意 1 1 m m2 1 m 2 即 m 2 2m 1 0 解得 1 2 m 1 2 故实数 m 的取值范围是 1 1 2 选 A 项 专家会诊 1 审清题意 不能忽视参数取值的影响 2 对于题 目中最值条件的确定至关重要 明确目标函数的最值与 m 的关系 且计算一定要准确 防止误选 B D 的错误 见学生用书 P131 一 选择题 学科知识供应商 1 2014 山东卷 已知实数 x y 满足 ax ay 0 ay3 B sin x sin y C ln x2 1 ln y2 1 D 1 x2 1 1 y2 1 解析 因为 0 a 1 axy 对于选项 B 取 x y 2 则 sin x sin y 显然 B 错误 对于选项 C 取 x 1 y 2 则 ln x2 1 ln y2 1 显然 C 错误 对于选项 D 取 x 2 y 1 则 1 x2 1y 时 一定有 x 3 y3 成立 所以选 A 答案 A 2 下列不等式一定成立的是 A lg x2 1 4 lg x x 0 B sin x 1 sin x 2 x kx k Z C x2 1 2 x x R D 1 x2 1 1 x 1 2 x R 解析 A 选项不成立 当 x 1 2时 不等式两边相等 学科知识供应商 B 选项不成立 这是因为正弦值可以是负的 故不一定能得出 sin x 1 sin x 2 C 选项是正确的 这是因为 x2 1 2 x x R x 1 2 0 D 选项不正确 令 x 0 则不等式左右两边都为 1 不等式不成 立 综上 C 选项是正确的 答案 C 3 2015 天津卷 设 x R 则 1 x 2 是 x 2 1 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 x 2 1 1 x 3 x 1 x 2 是 x 1 x 3 的真子集 1 x 2 是 x 2 1 的充分而不必要条件 答案 A 4 2015 陕西卷 设 f x ln x 0 a b 若 p f ab q f a b 2 r 1 2 f a f b 则下列关系式中正确的是 A q rp C p rq 解析 p f ab ln ab q f a b 2 lna b 2 r 1 2 f a f b 学科知识供应商 1 2ln ab ln ab 函数 f x ln x 在 0 上单调递增 因为 a b 2 ab 所以 f a b 2 f ab 所以 q p r 故选 C 答案 C 5 2015 福建卷 变量 x y 满足约束条件 x y 0 x 2y 2 0 mx y 0 若 z 2x y 的最大值为 2 则实数 m 等于 A 2 B 1 C 1 D 2 解析 根据题意 作出可行域 如图中阴影部分 当直线 y 2x z 过点 B 时 纵截距 z 取得最小值 此时目标函数 z 2x y 取得 最大值 2 由 x 2y 2 0 mx y 0 得 B 2 2m 1 2m 2m 1 所以 zmax 2 2 2m 1 2m 2m 1 4 2m 2m 1 2 解得 m 1 故选 C 学科知识供应商 答案 C 6 2015 陕西卷 某企业生产甲 乙两种产品均需用 A B 两种 原料 已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所 示 如果生产 1 吨甲 乙产品可获利润分别为 3 万元 4 万元 则该 企业每天可获得最大利润为 甲 乙 原料限额 A 吨 3 2 12 B 吨 1 2 8 A 12 万元 B 16 万元 C 17 万元 D 18 万元 解析 设核企业每天生产甲 乙两种产品分别为 x y 吨 则利 润 z 3x 4y 由题意可得 3x 2y 12 x 2y 8 x 0 y 0 其表示如图阴影部分区域 当直线 3x 4y z 0 过点 A 2 3 时 z 取得最大值 所以 zmax 3 2 4 3 18 故选 D 答案 D 学科知识供应商 二 填空题 7 2014 江苏卷 已知函数 f x x2 mx 1 在 x m m 1 都有 f x 0 则实数 m 的取值范围为 解析 根据题意 得 f m m2 m2 1 0 f m 1 m 1 2 m m 1 1 0 解得 2 2 m 0 答案 2 2 0 8 偶函数 y f x 当 x 0 时 f x x 1 则 f x 1 0 的解集是 解析 因为函数 y f x 是偶函数 且当 x 0 时 f x x 1 所以函数 y f x 1 的图象如图 则满足 f x 1 0 的解集是 x 0 x 2 答案 x 0 x 2 9 2015 合肥质检 在三角形 ABC 中 过中线 AD 的中点 E 作直 线分别与边 AB 和 AC 交于 M N 两点 若AM xAB AN yAC 则 4x y 的最小值是 学科知识供应商 解析 如图所示 AE 1 2AD 1 4AB 1 4AC 1 4xAM 1 4yAN M E N 三点共线 1 4x 1 4y 1 4x y 4x y 1 4x 1 4y 1 1 4 y 4x x y 1 1 4 2 y 4x x y 9 4 当且仅当 y 2x 时等号成立 答案 9 4 10 若 a b 均为正实数 且 a b a m b恒成立 则 m 的 最小值是 解析 原不等式可化为 a b 1 a b m 令 x a b 则原问题就等价于求 f x x 1 x的最大值 其中 x 1 f x 2 1 2 x 1 x 由于 g x x 1 x x x2的最大值为1 4 故 f x 的最大值为 2 学科知识供应商 所以 m 2 答案 2 11 2014 江西二模 已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由 不等式组 x y 5 0 y x x 1 确定 若 M x y 为区域 D 上的动点 点 A 的坐标为 2 3 则 z OA OM 的最大值为 解析 z OA OM 2x 3y 则 y 2 3x z 3 作出不等式组对应的平面区域如图 平移直线 y 2 3x z 3 当直线经过点 B 时 直线的截距最大 此时 z 最大 由 x 1 x y 5 0 解得 x 1 y 4 即 B 1 4 此时 z 的最大值为 z 2 3 4 14 答案 14 12 给出下列命题 方程 2x logax 0 的解有 1 个 学科知识供应商 x 2 x 1 0 的解集为 2 x 1 是 x 2 的充分不必要条件 函数 y x3过点 A 1 1 的切线是 y 3x 2 ABC 的外接圆的圆心为 O 半径为 1 2OA AB AC 0 且 OA AB 则向量BA 在向量BC 方向上的投影为1 2 其中真命题的序 号是 写出所有正确命题的编号 解析 当 0 a1 时 方程 2x logax 0 无解 故 不正确 x 2 x 1 0 的解集为 2 1 故 不正确 由 x 1 能推出 x 2 但由 x 2 不能推出 x 1 如 x 1 5 故 x 1 是 x0 y 0 x 2y 2 2xy 4xy x 2y 4 4 2 2xy 即 2 xy 2 2 xy 2 0 xy 2或 xy 2 2 舍去 可得 xy 2 要使 xy 2a 2 a 17 2a2 1 恒成立 只需 2 2a 2 a 17 2a2 1 恒成立 化简得 2a2 a 15 0 解得 a 3 或 a 5 2 故 a 的取值范围是 3 5 2 14 如图 建立平面直角坐标系 xOy x 轴在地平面上 y 轴垂 直于地平面 单位长度为 1 千米 某炮位于坐标原点 已知炮弹发射 学科知识供应