高等数学教案2.doc

第二章 导数与微分2.1 导数概念1.直线运动的速度:位置函数(路程是时间的函数) ，平均速度 ，瞬时速度 .2.曲线的切线斜率:曲线函数 ，割线斜率 ，切线斜率 .3.设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时，相应的函数取得增量. 如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即，也可记作或或. 导数定义式的等价形式:和.例1.求在处及处的导数. 解: .例2.若在处的导数为，求: . . 解: 原式 .原式.例3.设，在处连续，求. 解: 由于在处连续，所以. .4.如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数在开区间内可导，这样就构成一个新函数，这个函数叫做原来函数的导函数，记作或或或. 导函数的定义式或 .5.在处的左导数: .6.在处的右导数: .7.在处可导在处既有左导数又有右导数，且 ，此时.例4.求函数在处的导数？ 解: ， . 由于，所以在处不可导.例5.设 判别在处是否可导？ 解: ， . 由于，所以在处可导，且. 8.如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导. 9.导数的几何意义: 函数在点处的导数就是曲线上点(, )处的切线斜率.10.若在处可导，则在处连续. 虽然在处连续，但在处不一定可导.例6.若为偶函数，则为奇函数. 证: 由于为偶函数，所以，而，所以为奇函数.2.2 函数的求导法则1.导数的四则运算: 如果函数及都在点具有导数，那么它们的和差积商(除分母为零的点外)都在点具有导数，且.推广形式，.特例形式， (为常数). ().特例形式， (为常数).2.反函数的导数: 如果函数在区间内单调、可导且，则它的反函数在区间内也可导，且或.3.常数和基本初等函数的导数公式: .特例，.特例，.例1.求下列函数的导数. .解: . . 4.复合函数的求导法则: 如果在点处可导，而在处可导，则在点处可导，且 或例2. 求下列函数的导数.解: 令，则. .方法一 :.方法二 : .例3.已知可导，求的导数.解: .2.3 高阶导数1.高阶导数:一阶导数: ，；二阶导数:，；三阶导数: ，；四阶导数: ，；-阶导数:，；称二阶和二阶以上的导数为高阶导数. 2.如果函数及都在点具有导数，那么.莱布尼茨公式:，其中约定，.例1.求下列函数的阶导数. (为正整数).解: ，.，.，. 当时，.当时，.综上所述，.由于，所以，.2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率1.显函数: 函数与自变量的对应关系是通过表达式表示的，在表达式中等号左端是因变量，而等号右端是自变量的表达式.例如. ，都是显函数. 2.隐函数: 函数与自变量的对应关系是通过方程给出的，称函数是由方程确定的隐函数. 例如. 方程确定隐函数. 方程确定隐函数，但不能显化.3.隐函数求导法.例1.求由方程确定的隐函数的导数.解: 将方程两边对求导数，得，.解: 将方程两边对求导数，得，. 4.对数求导法例2.求的导数.解: 方法一.对两边取对数，得.将上式两边对求导数，得，.方法二. . .例3.求的导数解: 两边取对数，得，将上式两边对求导数，得， .3.由参数方程所确定的函数的导数:参数方程 ，.解: .切线斜率.，.切线方程 ，即 .法线方程 ，即 .解: ，.2.5 函数的微分1.函数在点的某邻域内有定义， 如果 ，其中是不依赖于的常数，那么称函数在点处可微，而称为在点处的微分，记为 . 2. 函数在点处可微函数在点处可导，且.3.若在内处处可微(或可导)，则在内的微分函数.4.当时，由于，所以，即， 故对任何函数的微分记为.例1.求下列函数的微分. (). (，).解:，. ，. ， .5.微分的几何意义:对于函数的图形上的点，当有微小增量时，是曲线上纵坐标的增量，是曲线上点处的切线上纵坐标的增量.6.基本初等函数的微分公式: .，特例，.特例，.7.微分的四则运算: 及都是可导函数. ().8.复合函数的微分法则: 设及都可导，则复合函数的微分为(对中间变量)，(对自变量)，无论是自变量还是中间变量，微分