四川大学概率统计习题册答案及解答前8章.pdf

习题册 参考答案及解答 习题册 参考答案及解答 第 1 2 页 样本空间与事件 一 1 D 2 C 二 1 A与B恰有一个事件发生 2 B 三 1 1 01 01x yxy 22 1 0 0 4 Ax yxyxy 1 0 1 3 Bx yxyy 2 1 2 3 4 5 6i ji j 1 3 5 1 2 3 4 5 6Ai jij 1 3 3 1 2 2B 2 1 1 0 4 ABC 2 11ABC 3 01ABCABC 1 4 1 3 A BC 5 01ABC 3 1 A B C恰有一个发生 2至少两个发生 3 A发生 且 B C至少一个不发生 4至多一个发生 第 3 4 页 概率的性质与古典概率 一 1 D P0 3A P0 7A PPP0 3ABAAB PP1P3 70 01ABABAB 2 C 3 D 二 1 2 9 P0P0ACABC PP1PABCABCABC 1PPPPPPPABCABACBCABC 111112 100 333999 2 1 12 3 1q 三 1 教材习题一 A三第 5 题 解答 因 PPPABAAB PPPPABABAB 则 PPPPPPPPABAABAABAB 即 PPPPPPP ABABAABAB 2 证明 PPPPPPAA BCABACABACABC PPPABACBC 故 PPPPABACBCA 3 5 8 5 10 205 8 A 5 8 5 2 10 795 8 A 2131 5877 5 C C 30 5298 8 AA 4 教材习题一 A三第 10 题 1 有放回抽取时 2 2 21 P 96 A 2 42244 P 96 B 因CAB 且AB 所以 5 PPP 9 CAB 2 无放回抽取时 用排列计算 2 2 2 6 A1 P 15A A 1111 4224 2 6 A AA A8 P 15A B 因CAB 且AB 所以 93 PPP 155 CAB 用组合计算 2 2 2 6 C1 P 15C A 11 42 2 6 C C8 P 15C B 因CAB 且 AB 所以 93 PPP 155 CAB 5 17312 413131313 13 52 C C C C C C p 第 5 6 页 几何概率 条件概率及乘法公式 一 1 B 2 D 3 D 二 1 2 2 这是一个二维几何概型问题 如图 样本空间为中心在 0a处 半径为a的上半圆 其面积为 2 1 2 ma 设A表事 件 原点与该点的连线与x轴的夹角小于 4 则 22 11 42 m Aaa 所以所求概 率为 22 2 11 2 42 P 12 2 aa m A A m a 2 3 8 因事件A发生导致事件B发生 则AB 或ABA 事件B与事件C互斥 则 BC 或BC 从而有ABCA BCB 于是 PP 0 33 P 0 88PP ABCA A BC BCB 3 6 7 设A 至少有一个女孩 B 至少有一个男孩 则A 三个孩子全是男孩 AB 三个孩子全是男孩或全是女孩 从而有 1 P 8 A 2 P 8 AB 故所求 x o y 概率为 2 11P P 6 8 P 17P1P 1 8 AB AB B A AA 三 1 0 2986 设王同学于 9 点X分到达 张同学于 9 点Y分 到达 如图 则 060 060X YXY 设A 两同学能见面 则 05AX YYX 015X YXY 则所求概率为 22 2 1 5545 10 2986 260 m A p m 2 0 7283 设A 该种动物活到 10 岁 B 该种动物活到 15 岁 由已知条件得所求 概率为 PP 0 67 P0 7283 0 92PP ABB pB A AA 3 0 2333 0 4651 因ABAB 所以 PP 0 14 P 1 0 2 0 4P1P 333 ABAB A B BB ABABABAB P1P1P10 140 86ABABAB PP 0 4 P 0 86PP 0 4651 B ABB B AB ABAB 4 2 1 PPPPP 1 P1 PPP ABAABAB p B A pAAA 5 0 24 0 424 5yx ox y 15 5 60 60 15xy A 设A 甲机第一次攻击并击落乙机 B 乙机第一次攻击并击落甲机 C 甲机第二次攻击并击落乙机 则 1 PPP0PP0 80 30 24BABABAB A 2 PPPP0 2P0ACACACABC 0 2PPPAB AC AB 0 20 80 70 40 424 第 7 8 页 全概率与贝叶斯公式 事件的独立性与贝努利概型 一 1 C PPPP P PPPPP B ABABAB B AB ABABABAB PP 0 20 6 0 2308 0 20 40 20 4PPPP AB ABAB 2 D 3 C PP1A BA B P P1PP P AB A BA BA B B PP P 1P AAB A B B P1PPPA BBAAB PPA BA AB 与相互独立 二 1 3 2pp 2 48 60 因A与B互斥 故AC与BC互斥 从而有 PPPP P PPP AB CACBCACBC AB C CCC PPPP PP0 8 P ACBC AB C 思考题 一般情况下 A与C独立 B与C独立 则AB 与C也独立吗 3 49 设同学数为n 则由题意有 1110 940 95 n n p 49n 三 1 0 15 最可能乘火车 设 1234 A A A A分别表他乘火车 轮船 汽车 飞机去上海参加会议 则 1234 A A A A 构成一个完备事件组 B表他开会迟到 由题目已知条件可得 4 1 111 1 PPP0 30 20 10 400 15 4312 ii i BAB A 11 1 4 1 1 0 3 PP 4 2 P0 5 0 15 PP ii i B AA A B AB A 22 2 4 1 1 0 2 PP 3 P0 4444 0 15 PP ii i B AA A B AB A 33 3 4 1 1 0 1 PP 12 P0 0556 0 15 PP ii i B AA A B AB A 44 44 1 PP 0 40 P0 0 15 PP ii i B AA A B AB A 因在诸 P1 2 3 4 i A Bi 中 1 P A B最大 所以 若他迟到了 他最可能是 乘火车去的 2 0 0171 设A表 被检验者经检验认为没有患关节炎 B表 被检验者患关节炎 由贝叶斯公 式有 PP 0 150 1 P0 0171 0 150 10 90 96 PPPP BA B B A BA BBA B 3 1 0 2157 2 0 4095 0 7678 1 设 i A表 从甲箱中取出的两件产品中有 0 1 2i i 件次品 B表 从乙箱中取得 次品 由全概率公式有 12 22 3105 21 00 1517 CCC 11 PPP0 2157 51CC ii i ii ii BAB A 2 设 1 C为选自甲箱 2 C为选自乙箱 i B表第 1 2i i 次取出正品 由全概率公式 1212112121212122 PPPPPB BB BCB BB B CCB BB B C 1111 510312 22 1515 C CC C1143 0 4095 22105CC 由条件概率公式及全概率公式有 11212122 12 12 2 121222 PPPPP P PPPPP CB B CCB B CB B B B BCB CCB C 11051123 43 2151421514 0 7679 151356 215215 4 0 2098 0 0621 32 4010 5 50 C C 10 2098 C p 5 40 5 50 C 210 0621 C p 第 9 10 页 第一章综合练习 一 1 B 2 A 二 1 0 1837 设 A B分别表甲乙击中靶子 则所求概率为 PPP P PPPPP ABAB AB AB ABABAB 0 910 8 0 1837 0 90 80 90 8 2 1 4 三 1 教材习题一 B三第 1 题 证明 PP1P1PPPABABABABAB 11PPppABppAB 0P001 ABppppp 2 教材习题一 B三第 4 题 解答 设 123 A A A分别表在 100 150 200 米处击中动物 由 1 P0 6 100 k A 得60k 从而得 1121231121 PPPPAAAAAAAAA A 121312 PPPAA AA AA 609060 0 60 40 4 150150200 0 832 3 教材习题一 B三第 5 题 解答 A表 选正确答案 B表 知道正确答案 由贝叶斯公式得 PP P PPPP A BB B A A BBA BB 1 11 11 pmp mpp pp m 4 教材习题一 B三第 3 题 解答 设A为 甲系统有效 B为 乙系统有效 则由题意有 P0 92 P0 93 P0 85 ABB A 从而有 PPPPPP0 962 ABBABBAB A 1 PPPP0 988 ABABAB P PP 2 P0 8286 1P P AB AAB A B B B 5 教材习题一 B三第 8 题 解答 每个能出厂的概率为0 70 30 80 94p 所以 1 全部都能出厂的概率为0 94n 2 恰有两个不能出厂的概率为 222 C 0 06 0 94n n 第 11 12 页 分布函数及离散型随机变量 一 1 B 利用分布函数的性质判断 2 D 二 1 3或7 即 710 P2 30109 mm X 2 11 24 三 1 教材习题二 A三第 1 题 当0 x 时 有 FPP1 xXx 从而分布函数为 33 0 0 F 0 1 x xaxxa xa 33 3 2227 PFF 33333327 aaa Xaaaa 3 教材习题二 A三第 3 题 显然 X的可能取值为1 2 3且 1 3 2 4 C1 P1 2C X 1 2 2 4 C1 P2 3C X 1 1 2 4 C1 P3 6C X 故 2 3 4 1 1 1 2 3 6 X 分布函数为 0 1 1 12 2 F 5 23 6 1 3 x x x x x 2由 1的结论知 P1 rt Xtrp P1 t Xtp 从而 P P P PP Xrt XrXrt Xrt Xr XrXr 1 1P 1 rt t r p pXt p 第 15 16 页 连续型随机变量 一 1 C 用密度函数的特征 非负性和归一性 进行检验 2 C 3 A 因密度函数为偶函数 则必有 0 122 FF 0f x dxf x dx 22F 0 从而 1 F 0 2 所以 P1PXaXa 0 112 aa a f x dxf x dx 12 FF 0a 12F2F 02 1Faa 二 1 2 由归一性得 1 1 0 2 0 2 1arcsin 2 1 A f x dxdxAxAA x 2 15 8 3372 1 2 1 222 00 17 22 xx x f x dxxxedxxedx 531115 22228 3 1 B 3 e 1Xe 故X的分布函数为 1 0 F 0 0 x ex x x 电子元件寿命大于 1 万小时的概率为 1 P11F 1pXe 所以有 1 B 3 Ye 三 1 教材习题二 A三第 12 题 首先函数 x 满足非负性 其次证明存在c使得函数 x 满足归一性 由 3 2 2 0 x c x x dxedx c 3 3 0 1 3 x cx ed cc 此处应需0c 11 1 33cc 这说明当 1 3 c 时函数 x 满足归一性 所以 当 1 3 c 时函数 x 为某连续型随机变量的密度函数 此时 3 33 11 1 3 23333 0 00 P1931 x x xx x Xx edxedxee 2 教材习题二 A三第 14 题 1由归一性有 2 2 0 241 1 11 AA A f x dxdxdx xx 0 44 arctanarctan A xA 所以arctan 4 A 从而1A 2 1 0 1 221 2 Farctan 11 2 1 1 1 xx x xf t dtdtxx t x 3 教材习题二 A三第 15 题 1由归一性有 24 02 11 16 84 f x dxdxkxdxk 所以 1 8 k 0 2 2 02 0 0 11 02 88 2 F 111 24 8816 1 4 x x x x dtxx xf t dt dttdtxx x 每只元件寿命不超过 400 小时的概 率为 1 400 0 4 1000 P400F 40011pXee 设在仪器使用的最初 400 小时内元件的损坏数 则 0 4 B 6 1Ye 从而有 10 40 4 520 4 6 1 P1C161Yeeee 0 462 4 2 P11P011YYee 第 17 18 页 随机变量函数的分布 一 1 D 11 FPP 31PF 33 Y yy yYyXyX 2 C 二 1 1 2 1 04 4 Y fyyy 0 1 2 FPP PlnFln 1 X Y X y yYyey Xyyy ln 2 0 1 F 11 Fln 1 yYY X y fyy yey yy 2 P 0 3 FPP 0 0 Y Xyyy yYyXy y FF 0 0 0 XX yyy y FF 0 F 0 0 XX YY yyy fyy y 11 0 22 0 0 y XX fyfyey yy y 3 教材习题二 A三第 22 题 2 0 0 FPPP 0 9 1 9 Y y yYyXyXyyy y 0 0 FF 0 9 1 9 XX y yyy y 1 0 9 F 2 0 0 9 XX YY fyfyy fyy y y 1111 0 1 44 24 111 0 1 9 4 28 0 0 9 y yy y yy y 第 19 20 页 第二章综合练习 一 1 C 用分布函数的特征验证 注意第二个答案 若2 1ab 不能保证 12 FFFxaxbx 的非负性 2 B 教材习题二 B一第 4 题 min 2XeYX 显然可见Y的有效值域为 0 2R Y 所以 当 0 2y 时 min 2 YyXyXy 从而 FPF1 y YX yXyye 于是综上有 0 0 F1 0 2 1 2 y Y y yey y 显然可见 F Y y在0y 处连续 在2y 处间断 本题中的随机变量Y是非离散非连续型随机变量 二 1 9 64 因 1 2 0 1 P1 22 4 Xxdx 则 B 3 1 4Y 故 2 2 3 39 P2C1 4 464 Y 2 16 2 3 由归一性得 3 2 3 2 22 5 25 2 00 1225 2 22 xx AA f x dxAxedxxedx 所以 5 2 24 216 2 35 3 42 A 三 1 9 1 10 10199 10 2 10 9C 0 90 111 90 9 10 3 111e 3 6 1 P1 80 9 4 X 设 123 A A A分别表年龄在15岁以下 15到50岁 50岁以上 则 123 A A A构成一完 备事件组且 1 4 1 PF151 X Ae 501515 606046 2 PF50F1511 XX Aeeee 505 606 3 P1F5011 X Aee 再设B为某人得重病 则 1155 3 4466 1 1 PPP10 10 020 2 ii i BAB Aeeee 15 46 0 10 080 180 1159ee 1 4 11 1 10 1 PP 0 02212 2 P0 1908 0 11590 1159P e AB A A B B 15 46 22 2 0 02 PP P0 0444 0 1159P ee AB A A B B 3 P10 19080 04440 7648A B 所以若某人得病 他的年龄最可能的是50岁以上 第 21 22 页 二维随机变量 一 1 B 2 C 二 1 F F b ca c 2 3 3 53 10 0 070 430 350 15 1 5 3 1 p 三 1 教材习题三 A三第 1 题 显然 12 X X都只能取0 1 且 1 12 P0 0P1 2P1F11 Y XXYYYe 12 P0 1P1 2P0 XXYY 12 P1 0P1 2P 12XXYYY 故 12 X X的联合分布律为 1 122 01 010 1 XY e eee 2 教材习题三 A三第 3 题 显然 X可取0 1 2 3 Y可取0 1 2 且 P0 0P0 XY P0 1P0 XY 022 322 4 7 C C C1 P0 2 35C XY P1 0P0 XY 112 322 4 7 C C C6 P1 1 35C XY 121 322 4 7 C C C6 P1 2 35C XY 202 322 4 7 C C C3 P2 0 35C XY 211 322 4 7 C C C12 P2 1 35C XY 220 322 4 7 C C C3 P2 2 35C XY 301 322 4 7 C C C2 P3 0 35C XY 310 322 4 7 C C C2 P3 1 35C XY P3 2P0 XY 则 X Y的联合分布律为 012 0001 35 106 356 35 23 35 12 35 3 35 32 352 350 XY 3 教材习题三 A三第 4 题 1 2 24 00 1 8 8 xy R c f x y dxdydxcedyc 2 2 P2P2 XXYdxf x y dy 26 00 112 21 333 xx edxedx 111 4 1 242 000 P12412 x x xyx XYedxedyeedx 时 F yx x ydtf t s ds 24 24 00 2411 ts yx xy edtedsee 综上得 24 11 0 0 F 0 xy eexy x y others 第 23 24 页 边缘分布 边缘密度及独立性 一 1 D 利用分布函数的性质判断 2 B 利用密度函数的特征判断 3 C 二 1 0 2 F1Fxy 3 1 2 三 1 教材习题三 A三第 6 题 123 1 2 P 1 24 1 8 1 121 4 1 83 8 1 243 4 P1 61 21 31 ii jj XYyyyXxp x x Yyp 2 教材习题三 A三第 8 题 1 22 11 22 0000 cos1 1 cos 11 Ax dxf x y dydxdyAxdxdy yy 2A 2 A 2 1 2 0 21 cos 0 2 1 0 X xdyx fxf x y dy y others cos 02 0 xx others 2 2 0 2 cos 01 1 0 Y xdyy fyf x y dx y others 2 2 01 1 0 y y others 3 33 0 3 Pcos 32 X Xfx dxxdx 1 2 1 21 2 122 P 23 1 Y Yfy dydx y 4 由 3 个密度函数可知 XY f x yfx fyx yR 所以X与Y相互独立 3 教材习题三 A三第 9 题 如图 密度函数不为零的区域即图中阴影部分 2 01 0 x yxyx 其面积为 1 2 0 1 3 mx dx 所以 1 联合密度函数为 2 3 01 0 0 xyx f x y others 2 边缘密度函数为 2 2 0 33 01 0 x X dyxx fxf x y dy others 1 33 1 01 0 yY dxyy fyf x y dx others 3 在公共连续点 1 2 1 8处 XY fx fyf x y 所以X与Y不相互独立 第 25 26 页 条件分布 1 教材习题三 A三第 10 题 o 1 2 yx y x 前面已经得到 012 0001 35 106 356 35 23 35 12 35 3 35 32 352 350 XY 由此易得 1 0123012 1 35 12 35 18 35 4 355 35 20 35 10 35 XY 2 6 35P1 2 3 P12 10 355P2 XY XY Y 12 35P2 1 2 P12 18 353P2 XY YX X P2 1P1P2 1 P12 P21P2 XYYXY YX XX 20 3512 35 8 118 3517 3 0123012 2 1 10 6 10 3 10 01 10 6 10 3 10 X Y 4 由于 P2 3P2 P3XYXY 所以X与Y不独立 2 教材习题三 A三第 11 题 由前面的计算结果知 当01y 时 31 1 13 1 0 XY Y yx f x y yy fx y fy others 当01x 时 2 22 31 0 3 0 Y X X f x yyx fy xxx fx others 显然 3 2 1 21 1 4 3 11 4 1 4 1 4 0 XY Y x f x fx f others 所以 2 32 3 1 2 1 P2 31 41 42 3 XY XYfxdxdx 2 3 1 4 1 4 P2 3 1 4 P2 31 4 P1 4 Y dxf x y dy XY XY Y fy dy 22 3 1 21 4 1 1 4 3 5 5 108 154 3 1 2 x dxdy y dy 3 教材习题三 A三第 14 题 如图 1 2 3 31 01 2 0 X x ydyxx fxf x y dy others 2 0 33 01 0 y Y ydxyy fyf x y dx others 显然可见 XY fx fyf x y 所以X与Y不相互独立 当01x 时 2 2 32 1 13 12 0 Y X X yy xy f x y xx fy x fx others 当01y 时 2 31 0 3 0 XY Y y xyf x y yy fx y fy others 4 教材习题三 A三第 12 题 由题意知 当01x 时 1 0 0 Y X xyx fy x others yx 1 o y x 1 从而有 3 01 0 0 XY X xxyx f x yfx fy x others 故有 1 2 3 31 01 2 0 Y y xdxyy fyf x y dx others 于是有 1 21 2 2 0 311 P1 21 216 Y Yfy dyydy 有 FPP Z x yz zZzX Yzf x y dxdy 00000 1 yzyz xyyxyyz dyedxedyedxeedy 1 00 1 1 1 y z y edyedy z 此时 Z的密度函数为 2 F1 ZZ fzzz 综上得Z的密度函数为 2 1 0 0 0 Z zz fz z 6 教材习题三 A三第 21 题 显然 i T的分布函数为 0 2 1 0 FF 1 2 5 0 0 t i et tti t 1 并联时 系统的寿命 并 15 max i i TX 其分布函数为 并 5 0 2 51 0 FF 0 0 t et tt t x 1 z zx o 2 1 1zx 从而其密度函数为 并 4 0 20 2 1 0 0 0 tt eet ft t 使用寿命大于 1 万小时的概率为 并并 5 0 2 P11F1110 9998 Te 2 串联时 系统的寿命 串 15 min i i TX 其分布函数为 串 5 1 0 F11F 0 0 t et tt t 从而其密度函数为 串 0 0 0 t et ft t 使用寿命大于 1 万小时的概率为 串串 11 P11F1110 3679 Tee 第 29 30 页 第三章综合练习 一 1 教材习题三 B一第 2 题 A 2 教材习题三 B一第 3 题 D 显然 X的分布函数为 1 0 F 0 0 x X ex x x Y的分布函数为 0 0 F1 2 01 11 Y x yx x 从而N的分布函数为 0 0 1 0 2 F11F1F 1 01 2 1 1 zNXY z z zzz e z z 时 P 0Zk Yn 2 教材习题三 B三第 2 题 先计算X与Y的 边缘 密度函数为 1 1 11 1 1 42 0 1 X xy dyx fxf x y dy x 1 1 11 1 1 42 0 1 Y xy dxy fyf x y dx y 易见 在三个密度函数的公共连续点 1 1 2 2 处 51 164 XY f x yfx fy 所以X与Y不独立 令 22 UXVY 显然 0 1R UR V 当01 01uv 时 22 F P P u vUu VvXu Yv P uXuvYv 1 1 4 uv uv xy dy dxuv 从而 U V的联合密度函数为 2 1 01 01 F 4 0 uv u v uv u v u v others 而U与V的 边缘 密度函数为 1 0 1 01 42 0 U dv u uu v dv uvu others 1 0 1 01 42 0 V du v vu v du uvv others 于是动 物的平均寿命为 32 55 E505010Xxf x dxxxdxxdx 3 教材习题四 A三第 5 题 设工厂售出一台设备获利为Y 则 600 1 1000 1 X Yg X X B 4 0 2639Z E40 26391 06X 第 33 34 页 一 1 A 2 C 3 B 二 1 0 9 2 2 2a 3 1 2k k 三 1 教材习题四 A三第 10 题 1 2 1 1 E0 1 Xxf x dxxdx x 1 222 2 1 11 E 2 1 Xx f x dxxdx x 22 22 22 arcsinC 22 x dxxax ax a ax 2 2 1 DEE 2 XXX 2 教材习题四 A三第 13 题 1 21 2 2 222 00 11 E22 E22 620 YxdxYxdx 2 2 111 DEE 203645 YYY 3 教材习题四 A三第 12 题 由于 1 3 2 2 2XUYeZ 所以 1411 E1 E E1 D D D 2342 XYZXYZ 且 X Y Z相互独立 从而有 1 EE 3242UXXYYZ 3E2EE4EE2XXYYZ 11 31214122 22 2 DD232VXYZ 41141 D4D9D49 3426 XYZ 4 22 2 EDEDEDXcXcXcXXcX 5 1 5 设 1 1 2 3 4 5 0 i i Xi i 第 个部件需要调整 第 个部件不需调整 由题意知 12345 X X X X X相 互独立且 5 1 i i XX 10 1 2 3 4 5 10 110 i Xi ii 从而有 2 10 E E D 1 2 3 4 5 1010100 iii ii ii XXXi 所以有 55 11 12345 EEE1 5 10 ii ii XXX 555 111 10 916212425 DDD0 95 100100 ii iii ii XXX 第 35 38 页 协方差与相关系数 一 1 B 2 A 3 C 二 1 41 3 2 3 2 1 4 3 2 2 3 三 1 教材习题四 A三第 15 题 11 00 1 E 2 6 XYdxxyf x y dyxdxyxy dy 边缘密度函数为 1 0 3 2 01 2 0 0 1 X xy dyxx fxf x y dy x 1 0 3 2 01 2 0 0 1 Y xy dxyy fyf x y dx y 从而有 1 0 5 E3 2 12 X Xxfx dxxx dx 1 222 0 1 E3 2 4 X Xx fx dxxx dx 2 2 2 2 1536 DEE 414412 XXX 1 0 5 E3 2 12 Y Yyfy dyyy dy 1 222 0 1 E3 2 4 Y Yy fy dyyy dy 2 2 2 2 1536 DEE 414412 YYY 2 2 151 Cov EEE 614412 X YXYXY 协方差阵为 361 DCov 144144 136Cov D 144144 XX Y V X YY 相关系数为 1 Cov 1 144 36 3636DD 144144 X Y R X Y XY 2 教材习题四 A三第 16 题 如图 联合密度为 1 01 022 0 xyx f x y others 于是平均收益为 4000 2000 43 EE 20002000 y X y xyy Yg Xg x fx dxdxdx 22 1 70002000 1000 yy 显然可见 当组织的货源为3500y 吨时 平均收益 E Y最大 2 教材习题四 B三第 2 题 设X为停车次数 并设 1 1 2 10 0 i i Xi i 第 站有人下车 第 站无人下车 则 10 1 i i XX 由题意有 2020 01 1 2 10 0 910 9 i Xi 则 20 E10 9 1 2 10 i Xi 从而有平均停车次数为 1010 20 11 EEE10 10 9 ii ii XXX 3 教材习题四 B三第 6 题 1 1 1 E0Xxf x dxx x dx 11 2222 10 1 E2 2 Xx f x dxx x dxx xdx 2 2 1 DEE 2 XXX 2 因 1 2 1 E0X Xx x f x dxx x dx E0X 所以 Cov EEE 0X XX XXX 3 Cov 0X X表明 0R X X 从而X与X不相关 但X与X不是相互独立的 这是因为 对任意 0 1 2x 有 P1Xx 从而 P PPPXx XxXxXxXx 所以X与X不相互独立 4 教材习题四 B三第 8 题 证明 由题意知 X Y的联合分布律为 P1 1P P1 1P P1 1P P1 1P XYABXYAB XYABXYAB 从而有 11 PPPP XY ABABABAB 故 E1PP1PPXYABABABAB PPPPABABABAB PPPPPPABABBABAAB 3P1PPPABABBA 4P12P2PABBA 边缘分布律为 1111 PPPP XY AABB 故 E1P1PPP2P1 E1P1PPP2P1 XAAAAA YBBBBB 于是 X与Y不相关 EEEXYYX 4P12P2P2P1 2P1ABBAAB PPPABAB A 与B相互独立 第 41 42 页 正态分布 一 1 A 1 2 P2111 2 pX 2 3 P31P3111 3 pYY 2 C 1122 PPPP XqYq XqYq 11 12 qq 则2 P20 5X 从而 P 02X P 240 3X 所以 P0P2P 020 50 30 2XXX 则 2 P0 05 22 Xa 即 2210 05a 所以 20 525a 查表得20 06a 因而0 12a 3 0 因X的密度函数是偶函数 所以 21 E0E n XX 从而有 Cov X Y 212 EEEEEE0 nn XYXYXXX 故 R 0X Y 三 1 1 0 9525 2 0 3707 3 0 3115 4 0 7714 2 教材习题五 A三第 2 题 每个新生婴儿体重小于2719g的概率为 27193315 P27191 036511 03650 15 575 X FPP Y yYyXy 21y 此时 2 2 2 F2 2 y YY fyyye 于是综上有 2 2 2 0 2 0 0 y Y ey fy y 4 教材习题五 A三第 5 题 1 联合密度函数为 1 2 1 0 1 0 2 0 y exy f x y others 2 2 20aaXY 有实根 2 XY 故所求概率为 2 2 11 11 2 22 000 1 P1 2 x yx XYdxedyedx 2 1 1 2 0 1 121210 2 x edx 10 3413 20 1445 第 43 44 页 二维正态分布及自然指数分布族 一 1 B 由二维正态密度定义 该密度函数可改写为 22 12 exp 3 3 f x yxxyy 22 2 2 11 exp21 2 2 11 2 211 2 xxyy 2 C 由上题显然可见 N 0 0 1 1 1 2X Y 故 N 0 1X Y 但不独立 3 B U V服从二维正态分布 因 U V的意一维线性组合服从一维正态 故 U V独 立 C DD0ov U VXY 22 12 二 1 1 3 7 N 1 3 7 2 2 101 10 m V mppm 因为 D EV mXmX 3 1 2 2a 三 1 教材习题五 A三第 4 题 显然 对任意的 22 2 22 2 2 2 1 2 xy z xy m edxdy 2 22 2 2 cos 2 sin 2 00 1 1 2 z rzm xr m yr derdre 所以 2 1 0 0 0 z m Z ez Fz z 2 2 1 0 0 0 z m Z ez fz m z 2 教材习题五 A三第 6 题 111 i i vi i D X Ci iE X 1 2 3 4i 于是 444 2 111 10 30 iii iii XXNN 从而有 1810210210 21821 303030 PZ 3 教材习题五 A三第 7 题 略 第 45 46 页 极限定理 一 1 C 2 C 3 A 二 1 1 n 2 1 12 三 1 教材习题六 A三第 1 题 0 21 1 mx mm x e E Xxdxm mmm 22 0 32 12 mx mm x e E Xxdxmm mmm 2 2 1D XE XE Xm 2 02111 1 D X PXmP XE Xm m 2 1 1 1 1 mm m m 2 教材习题六 A三第 2 题 444 0 11 1 2 3 25 E Xxdx 3 教材习题六 A三第 4 题 设 i X为第i个灯泡的寿命 则 0 2 0 04 ii E XD X 1 2 200i 由独立同分布中心极限定理 近似地有 200 1 40 8 i i XN 则灯泡的平均寿命 0 2 0 0002XN 于是 所求概率为 0 210 2 0 21110 710 2389 0 0002 P X 4 教材习题六 A三第 6 题 设X为正常工作的元件个数 由题意知 100 0 9XB 1由二项分布以正态分布为极限的中心极限定理 近似地有 90 9XN 从而系统正常工作的概率为 85905 8510 952 33 P X 2 此时 0 9XB n 由二项分布以正态分布为极限的中心极限定理 近似地 有 0 9 0 09XNnn 由题意应有 80 0 95P Xn 即 0 90 8 0 95 0 3 nn n 所以 0 90 8 1 645 0 3 nn n 25n 第 47 48 页 2 t F 分布 一 1 D 2 C 3 D 4 C 二 1 1 2 3 2 0 7 3 9t 4 0 4234 三 1 教材习题七 A三第 1 题 2 2 50 56 4 28 3 80 xsb 2 教材习题七 A三第 3 题 2 2 1 6 46 4 n i ni X Y n 200 2000 010 9 6 46 4 n n Y P YP 22 0 90 9 200 31 2522 6 4 nnn 3 教材习题七 A三第 5 题 2 6 3 52 36 XN 54 85250 852 150 854 8 6 3 66 3 6 PX 2 6711 140 8691 2 2 2520 05520 050 05E XD XE XD X 2 6 3 0 579 3880nn n 4 教材习题七 A三第 6 题 22 324 13040 10 9123 XYNN 12 10 12 10 12 4 34 3 P XY 11 31330 9583 110 975 3030 28 0 97582 3060 33 XX tPCCt SS 222222 2 212121 22 2222 211 11 80 05 4 94 94 9 SSSSSS SC FPCP S 由于仅一个未知参数 故只需总体期望 解之得 用样本均值代替总体均值即得 的矩 估计量为 4 2 X B 2 2 XB 上课已讲 5 教材习题八 A三第 2 题 由于有两个未知参数 所以考虑总体的一 二阶原点矩 1 2 1 1 2 1 112 2 2 22222 22112212 2 1 1 22 x x mE Xxedx mE Xxedx 反解得 22 1121221 mmmmm 用样本的一二阶原点矩替换总体的一二阶原点矩 即得 12 的矩估计量为 12 XB 2 222 AXB 第 51 52 页 一 1 D 2 A 二 1 2 tx b 2 12 min n X XX 3 首先求的极大似然估计 1 3232 111 11 22 n i ii nnnx x n iiin iii Lf xx exe 11 lnln23ln2ln nn ii ii Lnnxx 1 ln 3 00 n i i dL n x d 解之即得 的极大似然估计值为 3 x 所以 的极大似然估计量为 3 X 因 3 5 3331 3 33 00 160 E 3 2 xx mXxxedxxedx 是 的函数 该函数具有单值的反函数 所以其极大似然估计量为 3 33 3 606020 9 3 mX X 因 2 3 V mD X 0 具有单值反函数 所以 V m的极大似然估计量为 2 2 3 3 3 X V m X 三 1 教材习题八 A三第 3 题 1 似然函数为 111 11 nnn n iii iii Lf xxx 1 lnln 1ln n i i Lnx 从而有 1 ln 1 0ln0 22 n i i dL n x d 解之即得 的极大似然估计值为 2 1 1 ln n i i n x 其极大似然估计量为 2 1 1 ln n i i n X 2 似然函数为 1 1 2 2 111 n i i x nnnx n i ii iii x Lf xex e 11 1 ln2lnln nn ii ii Lnxx 从而有 2 1 ln 21 00 n i i dL n x d 解之即得 的极大似然估计值为 1 11 22 n i i xx n 其极大似然估计量为 1 2 X 2 教材习题八 A三第 4 题 由分布函数得密度函数为 1 0 X xx fx x 1 当1 时 似然函数为 1 1 111 nnn n iii iii Lf xxx 1 lnln1ln n i i Lnx 从而有 1 ln 0ln0 n i i dL n x d 解之即得 的极大似然估计值为 1 ln n i i n x 其极大似然估计量为 1 ln n i i n X 2 当2 时 似然函数为 3 232 111 22 nnn nn iii iii Lf xxx 显然可见 似然函数 L 关于 严格单增 与此同时 对任意1 2 in i x 故 12 min n x xx 从而 L 在 12 min n x xx 处 取得最大值 所以 的极大似然估计值为 12 min n x xx 其极大似然 估计量为 12 min n X XX 3 教材习题八 A三第 5 题 似然函数为 2 2 2 2 1 1 2222 22 2 11 1 2 2 n i i i x n n nnx i ii Lf xee 222 2 1 1 lnln 2ln 222 n i i nn Lx 从而有 2 2 224 1 ln 1 00 22 n i i dL n x d 解之即得 2 的极大似然估计值为 22 1 1 n i i x n 4 教材习题八 A三第 6 题 似然函数为 2 2 1 ln 22 2 11 1 2 i nn x i ii i Lf xe x 2 2 1 1 ln 22 2 2 1 1 2 n i i n n nx i i e x 2 22 2 11 1 ln ln 2lnlnln 222 nn ii ii nn Lxx 从而有 2 2 1 2 2 24 2 1 ln 1 ln00 1 ln ln0 0 22 n i i n i i L x n L x 解之即得 2 的极大似然估计值为 1 2 2 11 1 ln 11 lnln n i i