算法复杂度计算.doc

算法复杂度计算算法复杂度是在数据结构这门课程的第一章里出现的，因为它稍微涉及到一些数学问题，所以很多同学感觉很难，加上这个概念也不是那么具体，更让许多同学学起来无从下手，下面我们就这个问题给各位考生进行分析。首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n)简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)Hash表的查找、对数阶O(log2n)二分查找、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)快速排序的平均复杂度、平方阶O(n2)冒泡排序、立方阶O(n3)求最短路径的Floyd算法、k次方阶O(nk)、指数阶O(2n)汉诺塔。下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。1、设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n3+n2+1000 , g(n)=25n3+5000n2 , h(n)=n1.5+5000nlgn 请判断下列关系是否成立：（1） f(n)=O(g(n) （2） g(n)=O(f(n) （3） h(n)=O(n1.5)（4） h(n)=O(nlgn)这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n)，这里的O是数学符号，它的严格定义是若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的 两个函数，则T(n)=O(f(n)表示存在正的常数C和n0 ,使得当nn0时都满足0T(n)C?f(n)。用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常 数。这么一来，就好计算了吧。 （1）成立。题中由于两个函数的最高次项都是n3,因此当n时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。（2）成立。与上同理。（3）成立。与上同理。（4）不成立。由于当n时n1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故不成立。2、设n为正整数，利用大O记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。(1) i=1; k=0 while(i1 while (x=(y+1)*(y+1)y+;解答：T(n)=n1/2 ，T(n)=O(n1/2)， 最坏的情况是y=0，那么循环的次数是n1/2次，这是一个按平方根阶递增的函数。(3) x=91; y=100; while(y0)if(x100)x=x-10;y-;else x+;解答： T(n)=O(1)， 这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1000次，但是我们看到n没有? 没。这段程序的运行是和n无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。规则：有如下复杂度关系c log2N n n * Log2N n2 n3 2n 3n n!其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 n*log2N ,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是 2n , 3n ,n!，那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。我们常需要描述特定算法相对于 n(输入元素的个数 )需要做的工作量。在一组未排序的数据中检索，所需的时间与 n成正比；如果是对排序数据用二分检索，花费的时间正比于logn。排序时间可能正比于n2或者nlogn。 我们希望能够比较算法的运行时间和空间要求，并使这种比较能与程序设计语言、编译系统、机器结构、处理器的速度及系统的负载等复杂因素无关。 为了这个目的，人们提出了一种标准的记法，称为“大O记法”.在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数 。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法O ( f(n) )表示当n增大时，运行时间至多将以正比于f(n)的速度增长。这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。 Temp=i;i=j;j=temp; 以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。 例 2.1. 交换i和j的内容1） sum=0； （一次）2） for(i=1;i=n;i+) （n次 ）3） for(j=1;j=n;j+) （n2次 ）4） sum+； （n2次 ）解：T(n)=2n2+n+1 =O(n2)例 2.2.for (i=1;in;i+). y=y+1; for (j=0;j=(2*n);j+) x+; 解：语句1的频度是n-1, 语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n2-n-1.f(n)=2n2-n-1+(n-1)=2n2-2,该程序的时间复杂度T(n)=O(n2).例 2.3. a=0;b=1; for (i=1;i=n;i+). s=a+b; b=a; a=s;解：语句1的频度：2, 语句2的频度： n, 语句3的频度： n-1, 语句4的频度：n-1, 语句5的频度：n-1, 则：T（n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).例 2.4. i=1; while (i=n)i=i*2; 解：语句1的频度是1, 设语句2的频度是f(n), 则：2f(n)=n;f(n)=log2n 取最大值f(n)= log2n,则该程序的时间复杂度T(n)=O(log2n )例 2.5. for(i=0;in;i+). for(j=0;ji;j+) . for(k=0;kj;k+) x=x+2; 解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,.,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+.+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+.+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n3).我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最坏情况运行时间是O(n2)，但期望时间是O(nlogn)。通过每次都仔细地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n2)情况)的概率减小到几乎等于0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以(O(nlogn)时间运行。下面是一些常用的记法：访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间 。常规的矩阵乘算法是O(n3)，因为算出每个元素都需要将n对元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n2。指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在这个问题中增加一