《高等数学》(一)(2)补充例题及练习题.doc

第八章 空间解析几何与向量代数（6学时）8.1 向 量 及 其 线 性 运 算一、补充例题例1 已知向量，求。例2 在面上，求与三点、和等距离的点。例3 已知两点和，求与方向相同的单位向量。例4 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角。例5 一向量的终点在点，它在轴、轴和轴上的投影依次为，和。求这向量的起点的坐标。二、练习 习题8-1 4，5，15，178.2 向量的数量积与向量积一、补充例题例1 已知，求，及。例2 已知四点、，求，。例3 记，求。例4 已知的三个顶点为，（1）求垂直于这个三角形所在平面的单位向量；（2）求的面积。解 （1）因为垂直于向量与，所以是一个垂直于三角形所在平面的向量。而，所以。，。所以垂直于三角形所在平面的单位向量为。（2）因为的面积是以，为邻边的平行四边形面积的一半，所以。二、练习 习题8-2 1，3，6，108.3 曲面及其方程一、补充例题例1 将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。二、练习 习题8-3 5，6，78.4 空间曲线及其方程一、补充例题例1 下列方程组各表示怎样的曲线？（1）（2）（3）（4）答案：（1）平行于轴的平面与母线平行于轴的圆柱面的交线（图 8-44）；（2）平面上的抛物线； （3）平面上的圆； （4）平面上的两个圆。例2 求由曲面：与曲面：以及平面所围成的立体在面上的投影。解 曲面是旋转抛物面，曲面是母线平行于轴方向的圆柱面，它们的交线的方程为。曲线在面上的投影曲线是一个圆，其方程为，立体在面上的投影就是曲线在面上的投影曲线所围平面区域，用不等式表示为，即。二、练习 习题8-4 3，48.5 平 面 及 其 方 程一、补充例题例1 一平面过点且与到的连线垂直，求其方程。例2 求过三点，的平面方程。例3 求通过轴和点的平面的方程。分析：平面方程为。例4 求过点和，且与以向量为法向量的平面垂直的平面方程。例5 求平面和的夹角。例6 求过点、且和平面垂直的平面方程。二、练习 习题8-5 1，6，88.6 空间直线及其方程一、补充例题例1 用对称式方程和参数方程表示直线： （1）解 先找出这直线上的一点。例如，可以取，代入方程组（1），得解之得，即是这直线上的一点。下面再找出这直线的方向向量。由于两平面的交线与这两平面的法线向量，都垂直，所以可取 ，因此，所给直线的对称式方程为 ，令上式为，又得已知直线的参数方程为 。例2 一直线过点且与直线平行，求该直线的方程。例3 已知直线过一点，且与平面垂直，求此直线的对称式方程和参数方程。解 所求直线与已知平面垂直，平面的法向量可以取为直线的方向向量，由对称式方程（2），得所求直线的对称式为 。令 ，得所给直线的参数方程为 。补充：平面束的方程。设直线由方程组 所确定，其中系数与不成比例。下面建立三元一次方程：， 其中为任意常数。因为与不成比例，所以对于任何一个值，方程的系数：不全为零，从而方程表示一个平面，若一点在直线上，则点的坐标必同时满足方程和，因而也满足方程，故方程表示通过直线的平面，且对应于不同的值，方程表示通过直线的不同的平面。反之，通过直线的任何平面（除平面外）都包含在方程所表示的一族平面内。通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程就作为通过直线的平面束的方程（实际上，方程表示缺少平面的平面束）。指出：若要使平面束包含已知的两个平面，可以取平面束方程为。例4 求直线：在平面：上的投影直线的方程。分析 写出直线的平面束方程，由这平面与已知平面垂直投影平面为投影直线为。例5 求过直线且与直线平行的平面方程。分析：由过直线的平面束与直线平行，可求出平面束方程中的参数，代入平面束方程，即可得所求平面方程为。二、练习 习题8-6 1，2，4，7，11，15第九章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用（10学时）9.1 多元函数的基本概念一、补充例题例1 求下列函数的定义域：（1）； （2）。答案：（1）；（2）。例2 求下列极限：（1）；（2）；（3）。解 （1）；（2）；（3）。二、练习 习题9-1 5，6（1）（2）（3）（4）（5）9.2 偏 导 数一、补充例题例1 设，求，和。例2 设（，），求，。例3 设，求和。例4 求函数的所有二阶偏导数。例5 设，试求。二、练习 习题9-2 1（1）（2）（3）（5）（6）（7），4，6，89.3 全 微 分一、补充例题例1 设，求。例2 求函数在点的全微分。例3 求函数的全微分。二、练习 习题9-3 1，2，39.4 多元复合函数的求导法则一、补充例题例1 设，求。解 设，则。例2 设，求，。例3 设，而，求。解 。例4 设，求，。二、练习 习题9-4 1，2，3，4，5，89.5 隐函数的求导公式一、补充例题例1 求由方程（）所确定的隐函数的导数。例2 设，求，和。解 先求和。（方法一）公式法。令，则，所以 ，。（方法二）直接法。直接对方程的两端分别对和求导，得，解得 ，。注意对方程两端求导时，要把看作和的函数。（方法三）微分法。对方程的两端求微分，有，整理，得 ，所以 ，。最后，计算二阶混合偏导数。由对求偏导数，得。例3 设，求，。解 令，因为，所以 ，。例4 设函数，由方程组所确定，求和。解 （方法一）直接法。注意到和都是的一元函数，方程组两端对自变量求导，得，即， 这样通过求解关于，的线性方程组，可求得和的表达式。因为系数行列式，由克拉默法则，得，。也可以用消元法求解线性方程组，得出和的表达式。（方法二）微分法。方程两端微分，得，即，解得，。于是，。（方法三）公式法。设，则，。由公式（4），得，。二、练习 习题9-5 1，2，3，4，10（1）（4）9.6 多元函数微分学的几何应用一、补充例题例1 求螺旋线，上对应于的点处的切线与法平面方程。解 当时，因为，所以 ，。于是，可得螺旋线在对应于的点处的切线方程为，即，螺旋线在该点处的法平面方程为 ，即 。例2 求曲线：上对应于的点处的切线与法平面方程。解 因为，所以曲线在对应于的点处的切线方程为 ，曲线在对应于的点处的法平面方程为 ，即 。例3 求曲线在点处的切线及法平面方程。解 （方法一）公式法：直接利用公式（9）及（10）来解。（方法二）直接法：依照推导公式的方法来做。将所给方程的两边对求导并移项，得 由此得 ， ， ，从而，故所求切线方程为 ，即 ，法平面方程为 ，即 。例4 求椭球面在点处的切平面及法线方程。解 设，则，所以在点处椭球面的切平面方程为，即 ，法线方程为，即 。例5 求抛物面在点处的切平面及法线方程。解 设，则，所以在点处的切平面方程为，即 ，法线方程为，即 。二、练习 习题9-6 3，5，6，7，89.7 方 向 导 数 与 梯 度一、补充例题例1 求函数在点处沿从点到点方向的方向导数。（ 1）解 ， 。因为，故 。例2 求函数在点处沿向量的方向导数。解 ，因为，故方向导数为 。例3 求函数在点沿方向的方向导数，其中的方向角分别为、和。解 ，因为，故方向导数为 。练习：函数在点处沿指向点方向的方向导数为。（答案：）例4 求grad。例5 求在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少最快？ 解 grad，方向导数取最大值的方向，即梯度方向，为，方向导数的最大值即，而沿梯度的负方向，即的方向减少最快。二、练习 习题9-7 4，5，6，89.8 多 元 函 数 极 值 及 其 求 法一、补充例题例1 求函数的极值。例2 要制造一容积为4立方米的长方体无盖水箱，这水箱的长、宽、高为多少时，所费材料最省？解 设水箱底面边长为和，高为，于是问题就是求表面积在约束条件 （，）限制下的最小值。作拉格朗日函数 ，求的偏导数，令其为零并与约束条件联立得方程组，解之，得，。根据问题的实际意义，最小值一定存在，而现在只求得唯一的一组可能取极值的解，所以此解就是所要求的。即当水箱的长为2m、宽