概率统计期中试卷(2013)-答案.pdf

1 一 一 15 15 分分 甲乙丙甲乙丙三人在同一办公室工作 房间里有三部电话 根据以往经验 打给三人在同一办公室工作 房间里有三部电话 根据以往经验 打给甲乙甲乙 丙丙电话的概率分别为电话的概率分别为 他们三人外出的概率分别为他们三人外出的概率分别为 假设三人行动各自独 假设三人行动各自独 立 计算下列事件的概率 立 计算下列事件的概率 1 1 无人接听电话 无人接听电话 2 2 被呼叫人在办公室 被呼叫人在办公室 3 3 若某时段打入 若某时段打入 3 3 个电话 这个电话 这 3 3 个电话打给不相同的人的概率 个电话打给不相同的人的概率 解 用 A B C 表示电话打给甲乙丙 用A1 B1 C1表示甲乙丙在办公室 1 设 D 无人接听电话 则 P D P A1 B1 C1 P A1 P B1 P C1 1 2 1 4 1 4 1 32 2 设 E 被呼叫人在办公室 则 P E P AA1 BB1 CC1 P AA1 P BB1 P CC1 2 5 1 2 2 5 3 4 1 5 3 4 13 20 3 设 F 3 个电话打给不相同的人 则第一个电话打给甲 第二个电话打给乙 第三个电 话打给丙的概率为P ABC P A P B P C 4 125 这样的事件有 3 6 个 所以 P F 6 4 125 24 125 二 二 10 10 分分 炮战中 若在距目标炮战中 若在距目标 250250 米 米 200200 米 米 150150 米处米处射击射击的概率分别为的概率分别为 0 10 1 0 70 7 0 20 2 而在各该处射击时命中目标的概率分别为而在各该处射击时命中目标的概率分别为 0 050 05 0 10 1 0 20 2 现在已知目标被击毁 求击毁目 现在已知目标被击毁 求击毁目 标的炮弹是由距离目标标的炮弹是由距离目标 250250 米处射出的概率 米处射出的概率 解 用 A B C 分别表示炮弹在在距目标 250 米 200 米 150 米处射击 用 D 表示目标被击 毁 则 P A 0 1 P B 0 7 P C 0 2 P D A 0 05 P D B 0 1 P D C 0 2 根据 Bayes 公式 厦门大学 概率统计厦门大学 概率统计 A 期中试卷 期中试卷 学院 系 年级 专业 学院 系 年级 专业 主考教师 主考教师 试卷类型 试卷类型 A A 卷 卷 2 P A D P D A P A P D A P A P D B P B P D C P C 0 05 0 1 0 05 0 1 0 1 0 7 0 2 0 2 1 23 0 0435 三 三 10 10 分分 甲乙两人各出赌注甲乙两人各出赌注 a a 约定谁先胜三局则赢得全部赌注 现已赌三局 甲两胜一约定谁先胜三局则赢得全部赌注 现已赌三局 甲两胜一 负 这时因故中止赌博 若两人赌技相同 且每局相互独立 问应如何分配赌注才算公平 负 这时因故中止赌博 若两人赌技相同 且每局相互独立 问应如何分配赌注才算公平 解 用 A 表示乙最终获得胜利 用Ai表示第 i 局乙获胜 则 P Ai 1 2 由于甲两胜一负 并且各局相互独立 如果乙最终获胜 则必须连赢两局 所以 P 乙最终获胜 P A4 P A5 1 4 所以 P 甲最终获胜 3 4 甲乙两人应该以 3 1 的方式分配赌注才公平 四四 10 10 分分 假设随机变量假设随机变量 X X 服从参数为服从参数为 的正态分布 计算的正态分布 计算 的密度函数 的密度函数 解 记 X 的分布函数为FX x Y 的分布函数为FY y 当 y 0 P X 1 y X 0 0 P 1 y 0 FX 0 FX 1 y 当 y 0 时 FY 0 P Y 0 P X 1 0 P X 0 时 FY y P Y y P X 1 y P X 1 0 P 0 X 1 y P X 1 y FX 0 1 FX 1 y 所以 FY y FX 0 FX 1 y y 0 3 Y 的密度函数为 fY y FY y 1 y2 fX 1 y 1 2 y2 exp 1 y 2 2 2y2 五五 15 15 分分 甲每天收到的电子邮件数服从泊松分布 参数为甲每天收到的电子邮件数服从泊松分布 参数为 每封电子邮件被过滤的概率 每封电子邮件被过滤的概率 为为 0 20 2 计算 计算 1 1 当有 当有 n n 封电子邮件发给甲的时候 甲见到其中封电子邮件发给甲的时候 甲见到其中 k k 封的概率封的概率 2 2 甲每天见到的电子邮件数的分布 甲每天见到的电子邮件数的分布 3 3 甲甲每天见到的电子邮件数和被过滤掉的电子邮件数是否独立 每天见到的电子邮件数和被过滤掉的电子邮件数是否独立 解 1 pk Cn k0 8k0 2n k 2 用 X 表示甲每天见到的电子邮件数 用 Y 表示甲每天收到的电子邮件数 则 P X k P X k Y n n k P X k Y n n k P Y n n k n k 0 8k0 2n k n n e n k n k n k 0 8k0 2n ke n k 令t n k 则 P X k t0 2t t 0 8 ke k t 0 0 8 ke k 0 2 0 8 k k 0 8 k 0 1 2 3 用 Z 表示被过滤掉的电子邮件数 则 X Z 的联合分布为 P X m Z n P X m Y m n m n n m 0 8m0 2n m n m n e m n n m 0 8m0 2ne m n 0 1 2 故 Z 的边缘分布为 P Z n m n0 8m0 2ne n m m 0 0 2 ne n 0 8 m m m 0 0 2 n n 0 2 n 0 1 2 由于P X m Z n P X m P Z n 所以 X 与 Z 相互独立 即甲每天见到的电子邮件 数和被过滤掉的电子邮件数是相互独立的 4 六六 10 10 分分 设随机变量设随机变量 X X 在区间在区间 0 1 0 1 上服从均匀分布 在上服从均匀分布 在 1 解 1 X 的概率密度为 fX x 1 0 1 0 其他 在在X x 0 1 的条件下 随机变量 Y 的条件密度为 fY X y x 1 x 0 1 0 其他 X Y 的联合概率密度为f x y fY X y x fX x 所以 f x y 1 x 0 1 0 其他 而 Y 的概率密度为fY y f x y dx 因此 fY y 1 x dx 1 y 0 1 0 其他 lny 0 1 f x y dxdy x y 1 dx 1 1 2 1 x x 1 x dy 1 ln2 七七 10 10 分分 假设假设 X X Y Y 的联合概率分布为的联合概率分布为 Y X Y X 1 1 0 0 1 1 1 1 a a 0 0 0 20 2 0 0 0 10 1 b b 0 10 1 1 1 0 0 0 20 2 c c 且且 求 求 的概率分布 的概率分布 解 由于 0 4 P XY 0 a 0 2 c 5 2 3 P Y 0 X 0 a 0 1 b a 0 1 b 0 2 1 a 0 2 0 1 b 0 1 0 2 c 解得a 0 1 b 0 2 c 0 1 X Y 的可能取值为 2 1 0 1 2 相应的概率为 P X Y 2 P X 1 Y 1 0 1 P X Y 1 P X 1 Y 0 P X 0 Y 1 0 1 P X Y 0 P X 0 Y 0 P X 1 Y 1 P X 1 Y 1 0 4 P X Y 1 P X 1 Y 0 P X 0 Y 1 0 3 P X Y 2 P X 1 Y 1 0 1 八八 10 10 分分 设随机变量设随机变量 X X Y Y 的联合密度函数为的联合密度函数为 f x y 3 2x3y2 1 1 x2 0 其他 求求 解一 根据二维随机变量函数数学期望的计算 E Y y f x y dxdy dx y 3 2x3y2 dy x 1 x 1 3 2x3 1 y dy x 1 x dx 1 3 x3 lnx dx 1 3 2 lnx d 1 x2 1 3 2 1 x3 d 1 x 3 4 E XY 1 xy 1 f x y dxdy dx 3 2x4y3 dy x 1 x 1 3 4 1 x4 1 1 x2 x2 dx 3 4 1 5 3 4 3 5 解二 先求 Y 的边缘密度函数 再计算数学期望 6 fY y f x y dx 0 y 0 3 2x3y2 dx 1 y 0 1 0 y 0 3 4 0 1 E Y y fY y dy 3 4 y dy 1 0 3 4y3 dy 1 3 4 九九 10 10 分分 假设随机变量假设随机变量 X X Y Y 均均服从参数为服从参数为 的正态分布 的正态分布 并且并且 X X Y Y 相互独立 相互独立 计计 算算 的相关系数的相关系数 解一 由于 X Y 均服从参数为 2 的正态分布 故E X E Y D X D Y 2 Cov Z1 Z2 DZ1 DZ2 E Z1 Z2 EZ1 EZ2 DZ1 DZ2 由于 EZ1 E X Y EZ2