最优消费和投资离散时间分析(PPT 62页).ppt

第8章最优消费和投资 离散时间 基本分析框架 典型消费者个人将生存一段时期 0 T 他会有一个大于0的初始财富或者说资源禀赋W 0 在生存过程中 他会获得一些非资本 non capital 收入 t 例如工资 在生存的每一天中 他必须决定把可供支配的财富 资源 用于当前消费C和投资积累I上 投资将提供下一时刻的资本收入 在最后时刻留下一部分遗产W T 给后人 这时 两个基本选择问题 即消费多少 也就是投资多少 和如何投资 资产组合 必须同时被决定 消费者这种不断的选择行为的目的就是使得他们终身效用最大化 目标函数 其中T是投资者的寿命 C t 是投资者年龄为t时选择的消费数量 W t 是t时刻的财富 或者遗产 Et t是基于t时刻所有已经揭示出的信息的条件期望算子 Ut C t t 是效用函数 在整个定义域内 它被假定是单调递增和凹的 U2 W T T 是基于期末财富或者说遗产的效用函数 bequestvaluationfunction 它也是单调递增和凹的 约束条件 其中 就是非资本收入 广义上I泛指各种投资 但这里实际上仅仅包括对市场上可交易的有价证券的投资 经济体系中的风险 就源自于非资本收入和投资机会集合 investmentopportunityset 也即资本收入 的不确定性 最优消费 投资决策 离散时间 所谓随机最优控制 就是试图在一个由随机因素驱动的成长路径上 通过采用适当的策略来最优化目标函数 这里的消费多少和如何投资 就是由投资者决定的控制变量 controlledvariable 或者说决策 decision 通过一系列遵循某种原则的最优的决策 即最优策略 policy 个人可以得到最大的效用满足 这里的原则 指的就是贝尔曼 BellmanR 最优化原则 principleofoptimality 一个最优策略有这样的特征 无论初始状态和初始决策是什么 余下的决策在考虑到第一个决策导致的状态的影响下 都必须是最优的策略 简单地说 这就意味着任何最优过程的最后一段过程必定是最优的 这一原则将在后面的分析中一再的出现 简化的例子 假定 1 典型个人生存两个时期 他可以在两个时点上 即t 0 1上做决策 t 3时 他就死亡了 他被赋予一定量的初始资源W 0 0 2 理想化的资本市场上存在两种资产 一种是无风险的现金或者债券 它的价格在任何时刻都没有变化 始终为1 另一种是有风险的股票 它的价格过程假定由以下二项树描绘 股票价格运动的二项树模型 简单地说 它表示在每一时点上 股票价格要么以4 9的概率上涨一倍 要么以 1 4 9 的概率下跌一半 用w 0 和w 1 表示该投资者在0 1时刻上 投资于风险资产 股票 上的财富分额 3 投资者的非资本收入为0 效用函数具有以下特定形式 U x 4 为了简化分析 假定投资者也不进行任何消费 这样最优决策的惟一目标就是最大化他来自最终财富的期望效用 目前的任务就是找到最优的投资决策变量 最优控制 w 0 和w 1 使以上最优化问题得以解决 模型求解 向前 推导的方法 即从t 0时刻开始 事先决定一个策略w 0 但它是不是最优还不清楚 根据w 0 我们仅仅能够知道t 1时刻的期望财富水平的函数表达式 但是最大化这个函数得到的 最优的 w 0 并不一定是最优决策过程 w 0 w 1 的必然组成部分 除非可以明确地知道在所有不同情况状态下的w 1 并且它是惟一的 因此向前推导的方法是行不通的 逆向归纳法 从倒数第一期 即T 1期开始 这就是说 我们必须获得t 1时期 股票价格在p 200或者p 50两种情况下的最优投资比例 这是一个单期静态优化问题 一旦获得了t 1时的相应结果w 1 和W 1 就可以按照同样的结构 进一步推测t 0时刻的最优投资比例 从而一层层地逐步解决了问题 第一步 t 1时刻假定此时的财富W 1 为任意一正数 它是由上一期t 0时的最优决策所产生的 投资到股票上的财富比例为w 1 则投向无风险资产上的就是1 w 1 我们来计算最后的t 2时刻 积累的财富的期望效用是多少 先考虑当股票价格p 200时的情形 根据二项树模型 为了找到最优投资比例w 1 只要对f w 1 求导 并令一阶导数等于0就可以了 容易得到 再考察当股票价格p 50时的情形 我们发现仍旧可以使用上式 因为依然表示股票价格上涨一倍的情况下 投资在两种资产上 给投资者带来的期末财富的期望效用 而则是投资机会相对较差时 期末财富的效用水平 所以最优解还是w 1 13 19 因此这个最优投资比例决策独立于1时刻股票价格和财富的绝对水平 第二步 t 0时刻根据上面的推理 我们只要知道1时刻的财富水平W 1 就可以知道最终财富的期望效用水平是多少 而1时期的财富水平W 1 也是由同第一步类似的决策过程所决定的 即 同样对f w 0 求导数 并令一阶导数等于0 得到最优化条件还是 w 0 13 19 因此最优投资决策方案就是 w 0 13 19 w 1 13 19尽管实际的问题要比这个简单的例子复杂得多 但从上述求解过程中 仍然可以归纳出最优个人消费 投资决策的动态规划解法的最显著特征 即它是向后追溯的 而这正是贝尔曼最优化原理的体现 一般情形 现在考察多期离散时间情况下 个人最优消费 投资决策问题的标准建模方法和它的一般解法 假定 1 有限生命 典型个人生存一段时期 0 T 他可以在t 0 1 2 T 1这些离散的时点上做决策 他被赋予一定量的初始资源 W 0 0 2 单一消费品 只有一种用于当期消费的易腐消费品 它不可以储藏 暂时不考虑它是如何生产出来的 3 资产价格运动 理想化的资本市场上存在n 1种资产 第0种资产是无风险的债券 它的单位时间总收益率为Rf 其他n种都是风险资产 它们的总收益率定义为 Ri t 是由外部经济环境外生决定的 外生经济环境用状态变量S t 来表示 目前假定存在m个状态变量 而且基于当前状态S t 的 均具有马尔可夫性质 Markovproperty 基于上面的假定 最优消费和投资问题为 根据动态规划原则 从倒数第一期开始解 这样它就变成了熟悉的单期问题 先引入T 1时刻的价值函数 valuationfunction J W T 1 T 1 即 最优化的一阶条件 根据上式中的第二个一阶条件 第一个一阶条件又可以表示为 如果用T 1期的价值函数 2 6 式对W做微分 使用连锁法则和导数基本运算法则 就有 它的经济学含义就是 在消费者均衡时 当期消费的边际效用就等于财富 未来消费 的边际效用 当期消费与投资比例的选择既影响生活质量U1 C 也影响投资预算基金的数量 当前每增加一单位的消费就减少可投资的财富 因而获得时际最优的标准条件就是消费的边际效用等于财富的边际效用 而且根据上式容易知道 因为UCC 0 所以有JWW 0 因此J是财富的严格凹函数 可以继续对倒数第二期做类似的工作 这时的价值函数为 把这一个重复 recursive 过程递推到T 3 T 4 t时期 根据最优化原理 在t期价值函数的一般形式是 类似地可以获得n 1个一般最优化条件 generaloptimalitycondition 把它们代入价值函数并求解 就可以得出J W t t 如此这般反复 叠代到最后的0时期 问题就彻底解决了 回顾前一章中的静态问题 可以发现在静态模型中 个人以最大化期末财富为惟一目标 效用函数是外生的 且仅仅包含期末财富这一个变量 如最大化二次效用 进而导出均方原则 而在跨期模型中的 期间 财富的效用函数是内生 引至的 不仅如此 它还取决于状态变量S t 特殊形式的效用函数 对数效用函数 效用函数 根据 2 6 式 T 1时期的价值函数就是 注意 上面的T 1是指T 1到T这一个时间段 而且以上W w 和C 均为T 1时期的数值 化简得 结论1 我们看到在对数效用函数这样一个特例中 最优消费水平是独立于资产收益条件 投资机会 的 消费随着财富水平的增加而递增 随着贴现因子的增加而减少 如果消费者时间偏好为0 即 1 这就是说投资者对于同等数量的当前消费和未来消费是无差异的 则他会把财富的一半用于当期消费 而另一半作为投资 或者遗产 如果他有正的时间偏好 即 1 则他会消费得更多一些 结论2 最优资产组合比例 根据 2 7 式提供的第二个一阶最优条件 把函数的具体形式代入 就有 2 17 或者 2 19 式中的问题隐含着的最优资产组合解 它们同单期静态模型中具有对数效用的个人面临的问题是一样的 换句话说 最优资产组合决策是独立于财富水平和消费决策的 为了决定再早一期的最优策略 还必须知道价值函数J W T 1 这可以通过对包络条件 由 2 5 式得 对倒数第二期做分析 会得到同上式形式相似的结果 价值函数 也即引至效用函数 也是对数形式的 实际上这可以推广到任意时刻 证明 假定第t 1期的价值函数采用下面的形式 它表明F t 通过F t 1 而依赖于未来投资机会集 但是它并不影响最优资产组合 因为最优资产组合仅仅取决于JW 而JW却不受F的影响 根据t时期的第二个一阶条件可以得到最优资产组合 可以证明 这同单期中具有对数效用最优化者的资产组合问题的解是一样的 因此我们看到在伯努利对数效用这一 惟一 特例中 最优决策具有双重的分离性质 1 消费水平独立于金融变量而仅仅取决于当前财富水平 2 资产选择是一个严格的静态问题 与未来投资机会无关 这实际上是对数效用函数的常相对风险厌恶特征的一种体现 特殊形式的效用函数 幂效用函数 结论1 容易发现