新利息理论教案第2章.doc

第 2 章：等额年金第 2.1 节：年金的含义 本节内容：一、年金的含义（annuity）年金是指一系列的付款（或收款）。年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。二、年金的分类1、确定年金和风险年金。2、定期年金和永续年金。3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。4、期初付年金和期末付年金。5、即期年金和延期年金。6、等额年金和变额年金。本节重点： 年金的定义。本节难点： 年金的分类。第 2.2 节：年金的现值 年金现值是一系列款项在期初的价值。 本节内容：2.2.1 期末付定期年金的现值 假设年金支付期限为n个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。其现值一般用符号表示。在不引起混淆的情况下，通常简记为。的计算过程图（略）一、公式 二、理解 三、例题1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？解：应用期末付年金现值公式： 4000 =40003.9927=15971 说明：的具体数值可以通过年金现值表查到2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。如果年实际利率为i，则这两笔年金的现值相等。若另一笔款项n年内以利率i投资可以翻番，求n。解：i=0.1486982.2.2 期初付定期年金的现值假设年金支付期限为n个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。其现值一般用符号表示。在不引起混淆的情况下，通常简记为。的计算过程图（略）一、公式 二、与的关系1、（可用公式展开证明）2、 （可用图形讲述）三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？ 解：设仓库的年租金为A，可以建立 50000=A，A=75962.2.3 期末付永续年金的现值永续年金是指无限期支付下去的年金。因此，其现值等于定期年金的现值当支付期限n趋于无限大时的极限。若用表示期末付永续年金的现值，则有2.2.4 期初付永续年金的现值一、公式若用表示期初付永续年金的现值，则有二、与的关系 三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？ 解：设仓库的年租金为A，可以建立 50000=A，A=75962、一笔10000元的贷款，期限为10年。如果年利率为6%，比较下述三种还款方式，那种支付的利息多。（1）在10年末一次性偿付所有本息；（2）每年末支付利息，在第10年末再偿付本金；（3）10年内每年末偿付相等的金额，在10年末刚好付清。解：（1）这笔款项在第10年末的累计值为因此支付的利息总额为：17909-10000=7909元（2）每年末支付的利息为因此支付的利息总额为：6000元（3）设每年末偿付的金额为A 则A=1359因此支付的利息总额为：3、A留下一笔十万元遗产。这笔财产头10年的利息付给收益人B，第2个10年利息付给收益人C，此后的均给慈善机构D。若此项财产的年实际利率为7%，试确定B、C、D在此项财产中的分额。解：此项财产实际上为1000000.007=7000元其末付永续年金。B：7000=70007.0236=49165C：7000（-）=7000=24993D：7000（-）=7000=25842 本节重点：期末付定期年金的现值的计算公式。本节难点：公式之间的关系。第 2.3 节：年金的终值 定期年金存在终值，而永续年金不存在终值。本节内容：2.3.1 期末付定期年金的终值 期末付定期年金的终值一般用符号表示。一、公式 二、解释2.3.2 期初付定期年金的终值期初付定期年金的终值一般用符号表示。一、公式 二、与的关系1、 （可用公式展开证明）2、 （可用图形讲述）三、例题1、某人预计在10年后需要40000的资金，为此他打算每年初往一种基金存入一笔钱。如果基金的年实际利率为6%，那么他每年初应该存入多少钱才能保证在10年末获得40000元。解：假设每年初存入A元A=28632、投资者A和投资者B在40年间每年末均投资100，从第41年开始，投资者A每年末抽回X并持续15年，投资者B每年末抽回Y也持续15年。两项投资在最后一次抽回后的账面余额均为0.已知投资者A得年利率为8%，投资者B的年利率为10%，求Y-X。解：对于投资者A：得 X=3026.54对于投资者B：得 Y=5818.94Y-X=2792.40本节重点： 期末付定期年金的终值。本节难点：与的关系。第 2.4 节：年金的现值与终值的关系 本节内容：2.4.1 年金的现值与终值之间的换算关系2.4.2 年金的现值与终值之间的倒数关系本节重点： 年金的现值与终值之间的换算关系。本节难点：年金的现值与终值之间的倒数关系。第 2.5 节：年金在任意时点上的值 本节内容： 2.5.1年金在支付期开始前任意时点上的值一、延期m个时期的期末付定期年金的现值。 二、延期m个时期的期末付永续年金的现值三、期初付延期年金的现值的计算（略）四、例题2.5.2 年金在支付期内任意时点上的值 2.5.3年金在支付期结束后任意时点上的值 本节重点：延期m个时期的期末付定期年金的现值。本节难点：延期m个时期的期末付定期年金的现值。第2.6节：可变利率的年金的现值与终值 本节内容：2.6.1 每笔款项都以其支付时的利率计算2.6.2 每笔款项经历哪个时期，就以哪个时期的利率计算本节重点：本节难点：补充：一、非标准时期与利率二、非复利年金补充概念：一、利息结转周期和年金支付周期周期是一个时间的概念。利息结转周期是指结转一次利息所需要的时间长度；年金支付周期是指支付一次年金所需要的时间长度。二、利息结转周期和年金支付周期不相等时的的利息问题。具体计算有两种思路。第2.7节 每个利息接转周期支付m次的年金（每年支付m次年金）本节内容：一、此类问题的直接计算例：一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%，试计算每月末的付款金额。解：月实际利率假设每月末的付款金额为X，则有 X=965二、新公式n表示利息结转次数，m表示每个利息结转周期包含的支付次数，mn表示年金的支付次数，i表示每个利息结转周期的实际利率。2.7.1 期末付年金一、n表示利息结转次数，m表示每个利息结转周期包含的支付次数，i表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期末付款1/m元，每个利息结转周期的付款是1元，那么该年金的现值为：二、相应的，在每个支付周期末付款1/m元，那么该年金的终值为三、例题1、投资者在每月末向某基金存入100元，如果基金的年实际利率为5%，试计算该投资者在第5年末的累计值是多少？解：m=12，i=5%，每年支付的总额为1200元。=6781.372、有一笔3000万元的贷款将在今后的5年内每半年末等额偿还一次，若贷款的年利率为5%，计算每半年末的付款额R应该为多少。解：每年付款总额为2R，R=342.24万元2.7.2 期初付年金一、n表示利息结转次数，m表示每个利息结转周期包含的支付次数，i表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期初付款1/m元，每个利息结转周期的付款是1元，那么该年金的现值为：二、相应的，在每个支付周期初付款1/m元，那么该年金的终值为三、转换关系 四、例题例、一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6019%，试计算每月初的付款金额。解：设每月初的付款金额为X，那么全年付款总额为12X，因此有X=960元2.7.3 永续年金一、m表示每个利息结转周期包含的支付次数，i表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期末付款1/m元的永续年金现值为：二、同理，在每个支付周期初付款1/m元的永续年金现值为：三、转换关系 本节重点：的推导。本节难点： 的推导。第2.8节 连续年金本节内容：2.8.1连续年金的现值一、如果总的利息结转次数为n，每个利息结转周期的实际利率为i，在每个利息结转周期内连续支付、支付总量为1元的年金现值用表示，则有：二、的其他推导三、其他关系 四、例题例1、假设年实际贴现率为5%，在第5年末和第7年末之间，某银行每年连续支付1000元。请计算该项款项在第2年末的现值。解：d=0.05，则，上述款项在第5年末的现值为，则在第2年末的现值为：例2、假设年实际利率为6%，请计算每年连续支付500元的永续年金的现值。解：2.8.2 连续年金的终值一、如果总的利息结转次数为n，每个利息结转周期的实际利率为i，在每个利息结转周期内连续支付、支付总量为1元的年金终值用表示，则有：二、的其他推导三、其他关系 四、例题例1、假设年实际利率为6%，在第2年末和第7年末之间，某银行每年连续支付1000元。请计算该项款项在第10年末的累积值。解： 上述款项在第7年末的累积为则在第10年末的累积为：五、补充 与的关系本节重点： 、计算公式。本节难点： 的其他推导。第 2.9 节：年金问题求解（价值方程）本节内容：2.9.1利率问题求解一、年金问题包含三个变量。1、年金的现值或终值；2、年金的支付次数；3、利率。二、计算未知利率的方法1、解析法；例、已知，求i。解： 2、线性插值法；3、迭代法。牛顿迭代