基于驱动响应和耦合同步算法的忆阻混沌系统同步分析.doc

基于驱动响应和耦合同步算法的忆阻混沌系统同步分析 第38卷第3期2019年5月大连工业大学学报JournalofDalianPolytechnicUniversityVol.38No.3May2019:2018-01-10.基金项目:辽宁省自然科学基金项目 (xx0540060);辽宁省高等学校基本科研项目(xxJ045);辽宁省教育厅科学研究一般项目(Lxx043);辽宁省博士科研启动基金指导计划项目 (xx01280).作者简介:杨飞飞(1991-),男,硕士研究生;通信作者:牟俊(1981-),男,副教授.?DOI:10.19670/j.ki.dlgydxxb.2019.0316基于驱动-响应和耦合同步算法的忆阻混沌系统同步分析杨飞飞,罗春风,牟俊,曹颖鸿(大连工业大学信息科学与工程学院,辽宁大连116034)摘要:针对忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统和最简并行忆阻器混沌系统采用驱动-响应和耦合同步算法进行同步特性分析,应用李雅谱诺夫指数谱和分岔图分析了忆阻混沌系统的动力学特性,并对驱动-响应和耦合同步算法进行了比较。 实验结果表明,忆阻器混沌系统不但有更加复杂的动力学特性,而且可用驱动-响应和耦合同步算法达到同步,并且耦合同步算法比驱动-响应算法更具有实际应用价值。 因此,此研究为忆阻器混沌系统应用于密码学、信息安全和保密通信等领域提供相关理论依据。 关键词:忆阻器;混沌系统;驱动-响应同步算法;耦合同步算法:O231.2文献标志码:A:1674-1404 (2019)03-0229-06Analysisofmemorychaoticsynchronizationbasedondriver-responsesynchronizationalgorithmandcouplingsynchronizationalgorithmYANG Feifei,LUO Chunfeng,MOU Jun,CAO Yinghong(SchoolofInformationScienceandEngineering,DalianPolytechnicUniversity,Dalian116034,China)Abstract:ThesynchronizationofmemristorfeedbackLorenzhyper-chaoticsystemandthesimplestparallelmemristorchaoticsystemwereanalyzedthroughdriver-responsesynchronizationandcouplingsynchronizationalgorithm.DynamiharacteristicsofmemristorchaoticsystemswereanalyzedbyLyapunovexponentspectrumandbifurcationdiagram.Drivingresponsesynchronizationandcouplingsynchronizationalgorithmswerepared.Theresultsshowedthatmemristorchaoticsystemsdidnotonlyhavemoreplexitydynamiharacteristics,butalsousethedriver-responseandcouplingsynchronization algorithmto achievedsynchronization.Moreover,the coupledsynchronizationalgorithmismorevaluablethanthedriver-responsealgorithminpracticalapplication.Therefore,itprovidesarelevanttheoreticalbasisforthememristorchaoticsystemsapplicationinthefieldsofcryptography,securemunicationandinformationsecurity.Keywords:memristor;chaoticsystem;driver-responsesynchronizationalgorithm;couplingsynchro-nizationalgorithm0引言混沌是确定系统中产生的混乱、无规则、貌似随机的行为,是非线性动力系统所特有的一种运动形式1-2。 混沌具有初值敏感性、有界性、随机性、遍历性、普适性和分维性等特性3。 混沌在生物学、物理学、化学、工程学和信息学等领域得到了广泛的研究4。 混沌系统包括连续混沌系统、离散混沌系统、分数阶混沌系统和忆感混沌系统、忆容与忆阻混沌系统。 忆阻器是Chua(蔡少棠)在1971年提出的一种与电阻、电容、电感相并列具有记忆功能的第4种非线性基本电路元件5。 Itoh和蔡少棠用忆阻器模型代替了线性振荡器中的蔡氏二极管6,得到了一个含有忆阻器的混沌系统,并相应的分析了系统的动力学特性。 忆阻器混沌系统的动力学特性非常复杂7,不仅与参数有关还与忆阻器内部状态变量有关8。 从而激起了忆阻器混沌系统的研究热潮,比如,忆阻器混沌系统的动力学特性分析9、忆阻器混沌系统的电路实现10等。 混沌同步是指两个混沌系统通过外力作用调整它们的运动特征使之趋于一致11。 自从Pecora和Carrol在1990年发现了一种方法实现了恒等系统的同步后12,混沌同步作为一个重要的研究课题在信息科学、电子科学、密码学等领域备受关注13。 许多混沌同步方法被提出,周平等14利用驱动-响应同步算法实现了混沌同步,Suresh等15提出了反馈自适应控制同步,闵富红等16通过耦合同步算法实现了统一混沌系统的同步,Zhang等17提出了激活控制的分数阶混沌同步,Kwon等18提出了一个延迟反馈混沌同步算法。 其中,驱动-响应同步算法的响应系统的行为取决于驱动系统,驱动系统的行为与响应系统的行为无关19。 驱动-响应同步法只需要通过信道传递一路加密的信号,并且是自同步方式,当系统因某种原因失去同步后能重新实现自同步,与现存的通信传送方式兼容,在电路、DSP和FPGA等技术中获得应用20。 耦合同步算法不需要对系统进行分解而且容易实现21,这是其他算法所不具备的优点,在混沌保密通信中也更具应用价值。 因此,基于忆阻器的特性、驱动-响应与耦合同步的优点,本研究利用驱动-响应和耦合同步算法分析了基于忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统和最简并行忆阻器混沌系统的同步特性。 1驱动-响应同步算法设一个n维自治动力系统为u.=f(u) (1)式中:tR,uR2,f:RnR n。 将系统分解为驱动部分v和响应部分w,对应的状态变量表示为u=vw? (2)式中:vRn1,wRn2,n1+n2=n。 从而系统 (1)可分解为两个子系统:v.1=g(v1,w1)w.1=h(v1,w1) (3)式中:u=u1,u2,u3,u nTv1=u1,u2,u3,u mTw1=u m+1,u m+2,u m+3,u nT? (4)f=f1,f2,f3,f nTg=f1,f2,f3,f mTh=f m+1,f m+2,f m+3,f nT? (5)式 (3)称为驱动系统。 用驱动系统中的混沌信号v1去驱动一个响应的子系统:v.2=g(v2,w2)w.2=h(v1,w2) (6)式 (6)中响应系统具有与驱动系统完全相同的形式,只是在w2方程中用驱动信号v1取代了响应系统的原有信号v2。 同理,可以用驱动系统中的混沌信号w1去驱动一个响应子系统:v.2=g(v2,w1)w.2=h(v1,w2) (7)同理,公式 (6)中响应系统与驱动系统具有相同的形式,只是在第一个方程中用驱动w1行取代了原有的信号w2。 2耦合同步算法耦合同步是将驱动系统中的全部变量或者部分变量耦合到响应系统中,使响应系统在耦合后与驱动系统实现同步的一种方法。 设混沌系统为X.=AX+f(X) (8)式中:状态矢量XR2,ARnn是系统线性部分的常数矩阵,f(X)为连续非线性函数,对初始值不同,系统参数相同的系统采取相互耦合实现同步,其驱动-响应同步方程为X.=AX+f(X) (9)X.=AX-f(X)+K(X-X) (10)式中:K为耦合矩阵。 令误差向量为E=X-X (11)f(X)-f(X)=M X,X(X-X) (12)驱动系统和响应系统构成的误差系统为E.=(A+M X,X-2K)E (13)032大连工业大学学报第38卷当系统误差为零时,系统处于平衡状态,也就是选择适当的耦合系数矩阵,就可以使系统平衡点是渐稳定,即两个混沌系统到达同步。 其证明过程如文献22所述。 一般情况下,混沌系统之间同类变量的耦合有单向耦合和双向耦合两种。 有些混沌系统,只需要通过单变量耦合实现同步,有些混沌系统则需要两个甚至多个变量耦合才能实现同步。 其中,耦合的变量数目越多,同步能力越强。 如果是全局变量耦合,只要耦合的数目足够大,就能使混沌系统实现耦合。 3忆阻混沌系统的动力学3.1基于忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统简化模型为10x.=35(y-x)y.=-xz+cy+(95-4c)x+k(-a+b w)xz.=xy-3zw.=x? (14)式中:x、y、z、w为系统的状态变量,a、b、c、k为系统的参数。 当系统参数a= 15、c=- 1、b=0. 02、k=1,初始值取(1,0,1,0)时,系统 (14)所产生的混沌吸引子在x-y平面的相图如图1(a)所示。 计算得到李雅谱诺夫指数L1=1. 5729、L2=0. 0038、L3= 0、L4=-47.9608,李雅谱诺夫维数d L=3.0329,由于有两个大于零的李雅谱诺夫指数,所有的李雅谱诺夫指数之和小于零,并且李雅谱诺夫维数为分数维,因此系统为超混沌系统。 固定参数a、b、k,让参数c变化,计算得到李雅谱诺夫指数谱如图1(b),相应的分岔图如图1(c)所示。 通过李雅谱诺夫指数谱和分岔图可以看出忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统在稳定不动点、周期态、混沌态等动力学状态间变换。 3.2最简并行忆阻器混沌系统最简并行忆阻器混沌系统的数学模型23为d xd t=kayd yd t=kb-x+c(1+z-z2)yd zd t=-kc(y+4z-2yz+2yz2)? (15)当系统的参数a= 2、b= 2、c=0. 5、k=2,仿真步长t=0.01,初始值为(0,1,0)时,系统产生的混沌吸引子在x-y平面的相图如图2(a)所示。 (a)x-y平面相图(b)李雅谱诺夫指数谱(c)分岔图图1忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统仿真Fig.1SimulationofmemristorfeedbackLorenzhyper-chaoticsystem计算得到相应的李雅谱诺夫指数为L1=0. 3033、L2=-0. 4014、L3=-3.7296,李雅谱诺夫维数为d L=2.1890,由于存在一个大于零的李雅谱诺夫指数,所有的李雅谱诺夫指数之和小于零,并且李雅谱诺夫维数为分数维,因此系统为混沌系统,当系统的参数b、c和k不变,a变化时,计算得到系统的李雅谱诺夫指数谱和分岔图分别如图2(b)、(c)所示。 4忆阻混沌系统的驱动-响应同步分析4.1基于忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统同步分析当以忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统状态变量x作为同步系统的驱动信号时,由驱动-响应132第3期杨飞飞等:基于驱动-响应和耦合同步算法的忆阻混沌系统同步分析(a)x-y平面相图(b)李雅谱诺夫指数谱(c)分岔图图2最简并行忆阻器混沌系统仿真结果Fig.2Simulationresultofthesimplestparallelmemristorchaoticsystem同步算法可知,驱动系统的状态方程式亦为式 (14);响应系统的状态方程式为式 (16)。 x.1=35(y1-x1)y.1=-xz1+cy1+(95-4c)x+k(-a+b w)xz.1=xy1-3z1w.1=x? (16)当响应系统与驱动系统取相同的参数c=- 10、b=0. 02、a= 15、k=1,x 1、y 1、z 1、w1为响应系统的状态变量,当驱动系统的初始值为(1,0,1,0),响应系统的初始值为(2,2,2,0)时,通过数值仿真,得到同步误差曲线如图3所示。 由图3可以看出,在2s内x、y、z序列的误差变量e 1、e 2、e3全部趋向于零,w误差变量e4在2s内是趋向于零的直线,系统实现同步。 图3驱动-响应同步误差曲线Fig.3Curveofdriver-responsesynchronizationerror4.2最简并行忆阻器混沌系统的同步分析当以最简并行忆阻器混沌系统中的y变量作为驱动的同步系统,根据驱动-响应同步的算法,驱动系统的状态方程式亦为式 (15),响应系统的状态方程式为式 (17)。 d x1d t=kayd y2d t=kb-x1+c(1+z1-z21)y1d z1d t=-kc(y+4z1-2yz1+2yz21)? (17)驱动系统与响应系统取相同的系统参数c=0. 5、b= 2、a= 2、k=2,驱动系统的初始值为(0,1,0),响应系统的初始值为(1.5,2.5,1),通过数值仿真,得到同步误差曲线如图4所示。 由图4可以看出,在2s后z序列的误差变量(e3)趋向于零,x序列误差变量(e1)没有趋向于零,但它为一个恒定的常数,因为此误差状态变量的微分方程的通解为常数,其大小只与初始值有关。 如果初始值给定,那么微分方程的通解也就确定了。 y序列误差变量e2出现了波动,但在很短的时间内又趋向于零,系统实现同步。 5忆阻混沌系统的耦合同步算法分析5.1基于忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统同步分析令驱动系统的状态方程式为式 (14),由耦合同步算法得到响应系统的状态方程式为x.1=35(y1-x1)+k1(x-x1)y.1=-x1z1+cy1+(95-4c)x1+k(-a+b w1)x1+k2(y-y1)z.1=x1y1-3z1+k3(z-z1)w.1=x1+k4(w-w1)? (18)式中:k 1、k 2、k 3、k4为耦合系数。 232大连工业大学学报第38卷(a)x序列(b)y序列(c)z序列图4驱动-响应同步误差曲线Fig.4Curveofdriver-responsesynchronizationerror当驱动系统与响应系统取相同参数c=- 10、b=0. 02、a= 15、k=1,驱动系统的初始值为(1,0,1,0),响应系统的初始值为(2,2,2,2),耦合系数为5时,进行数值仿真,得到同步误差曲线如图5所示。 由图5可以看出,在2s后x、y、z和w序列的误差变量e 1、e 2、e 3、e4全部趋向于零,这表明在很短的时间内,两个忆阻器混沌系统已经实现了同步。 5.2最简并行忆阻器混沌系统的同步分析令驱动系统的状态方程式为式 (15),由耦合同步原理得到响应系统的状态方程式为式 (19)。 d x1dt=kay1+k1(x1-x)d y2dt=kb-x1+c(1+z1-z21)y1+k2(y1-y)d z1dt=-kc(y1+4z1-2y1z1+2y1z21)+k3(z1-z)? (19)图5忆阻器反馈的Lorenz系统的耦合同步误差曲线Fig.5Coupling synchronizationerrorcurves ofLorenzsystemswithmemristorfeedback在相同的系统参数c=0. 5、b= 2、a= 2、k=2时,选取驱动系统的初始值为(0,1,0),响应系统的初始值为(2,2,1),耦合系数为5,通过数值仿真得到同步误差曲线如图6所示。 通过图6可以看出,在2s后x、y、z序列的误差变量e 1、e 2、e3全部趋向于零,这表明在很短的时间内两个忆阻器混沌系统已经实现了同步。 图6最简并行忆阻混沌系统的耦合同步误差曲线Fig.6Coupling synchronizationerrorcurves ofsimplestparallelmemristorchaoticsystems5.3驱动-响应和耦合同步算法对比基于忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统和最简并行忆阻器混沌系统,分别用驱动-响应和耦合同步算法进行同步研究,其研究结果表明,忆阻混沌系统在合适的耦合系数条件下都能达到耦合同步,并且随着耦合系数的变化,可以控制达到耦合同步的时间。 其中,基于忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统随耦合系数变化,系统达到同步的时间不同,当系统耦合系数增大时,系统达到同步的时间在减少。 忆阻器混沌系统在驱动-响应同步算法中,并不是所有的系统状态变量作为驱动信号时,都能实现同步。 基于忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统取系统状态变量x作为驱动信号时,系332第3期杨飞飞等:基于驱动-响应和耦合同步算法的忆阻混沌系统同步分析统能达到同步,分别以系统状态变量y、z、w作为驱动信号时,系统就不能达到同步。 混沌系统同步在实际应用中必须考虑同步时间,有时候需要短时间达到同步,有时候需要长时间达到同步,耦合同步可以实现,驱动-响应同步则不能。 因此,耦合同步算法比驱动响应同步算法的性能优越。 6结论利用驱动-响应和耦合同步的算法,对基于忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统和最简并行忆阻器混沌系统进行了同步分析,其分析结果表明: (1)耦合同步算法具有普适性,对所有的混沌系统都适用,在一定的耦合系数范围内,系统都能达到同步。 (2)并不是所有的系统状态变量作为驱动信号都能使系统达到同步。 (3)通过两个同步算法的对比可知,耦合同步算法比驱动-响应同步算法在实际应用中更有实用价值,因为耦合同步可以改变耦合系数值来获取所需要的同步时间,在实际应用中有时候需要同步时间长,有时候需要同步时间短,耦合同步就可以达到这一需求,所以耦合同步算法具有更优越的实际应用价值。 参考文献:1叶晓林,牟俊,王智森,等.基于SE和C0算法的连续混沌系统复杂度分析J.大连工业大学学报,2018,37 (1):67-72.2牟俊,王智森,康丽.统一混沌系统的状态观测器同步控制及其在保密通信中的应用J.大连工业大学学报,xx,27 (2):162-166.3刘坚.复动力系统的定性理论与同步D.济南:山东大学,xx.4闵富红.混沌系统同步控制的有关问题研究D.南京:南京理工大学,xx.5LIYX,ZHAOLY,CHIW Q,etal.Anewmem-ristorbasedchaoticsystemJ.Applied MechanicsandMaterials,xx,275/276/277:2481-2486.6LIY,HUANGX,GUO M.Thegeneration,analy-sis,andcircuitimplementationofanew memristorbasedchaoticsystemJ.MathematicalProblemsinEngineering,xx,xx (5):1-8.7YUANF,WANGG,WANGX.Extrememultista-bilityinamemristor-basedmulti-scrollhyper-chaoticsystemJ.Chaos,xx,26 (7):507-519.8BAOBC,SHIGD,XUJP,etal.Dynamicsanaly-sisofchaotiircuitwithtwomemristorsJ.ScienceChinaTechnologicalSciences,xx,54 (8):2180-2187.9YEXL,MOUJ,LUOCF,etal.Dynamicsanaly-sisof Wien-bridge hyperchaoticmemristivecircuitsystemJ.NonlinearDynamics,2018,92 (3):923-933.10阮静雅,孙克辉,牟俊.基于忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统及其电路实现J.物理学报,xx,65 (19):19-29.11FUCHENZ.Thedynamicalanalysisofadiskdyna-mosystemanditsapplicationinchaossynchroniza-tionJ.Acta MathematicaeApplicatae Sinica,xx,36 (2):1360-1366.12高智中.Lu混沌系统的同步与反同步J.井冈山大学学报(自然科学版),xx,32 (4):38-40.13贺明峰,穆云明,赵立中.基于参数自适应控制的混沌同步J.物理学报,2000,49 (5):830-832.14周平,赵鹏.混沌系统的驱动-响应同步J.重庆大学学报,xx,25 (12):77-79.15SURESH R,SUNDARAPANDFIAN V.Hybridsynchronizationofn-scrollchaoticChuacircuitsu-singadaptivebacksteppingcontroldesign withre-cursivefeedbackJ.MalaysianJournalof