矩阵的基本运算ppt.ppt

1 运算定义 运算规则 2 矩阵应用举例 2 2矩阵的基本运算 例如 为同型矩阵 同型矩阵与矩阵相等的概念 1 两个矩阵的行数相等 列数相等时 称为同型矩阵 则称矩阵A与矩阵B相等 记作 1 运算定义 运算规则 设有两个m n矩阵A aij 和B bij 矩阵A与B的和记为A B 规定为A B aij bij 即 矩阵的加法 注只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 矩阵加法的运算规律设A B C都是m n矩阵 则 1 A B B A 2 A B C A B C 设矩阵A aij 记 A aij A称为矩阵A的负矩阵 另 把元全为零的矩阵称为零矩阵 记作O 由此 规定矩阵的减法为A B A B 例如 3 A A O O A 矩阵的数乘 矩阵相加与数乘矩阵合起来 统称为矩阵的线性运算 矩阵数乘的运算规律 矩阵乘法 把此乘积记作 是一个s n矩阵 那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m n矩阵 其中 例如 求AB 例若 解 注只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 例如 不存在 乘积AB维的关系 A可左乘B的可相乘条件 练习计算下列矩阵的乘积 并观察结果 注两个矩阵相乘 乘积有可能是一个数 结论两个n阶对角阵之积仍为n阶对角阵 结论两个n阶上 下 三角阵之积仍为n阶上 下 三角阵 注矩阵乘法不满足交换律 即 左乘分配律 右乘分配律 矩阵乘法的运算规律 例如设 则 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 问题矩阵不满足交换律 可能有哪几种情形 1 AB有意义 但BA没意义 2 AB与BA都有意义 但可能不是同阶方阵 3 两者都有意义 且为同阶方阵 但仍有可能不相等 结论在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序 左乘 右乘 但也有例外 比如设 则有 定义满足AB BA的矩阵称为可交换的 结论两个同阶对角矩阵是可交换的 2020 3 16 15 可编辑 EA AE A 结论n阶单位矩阵与任意n阶矩阵是可交换的 即 证明 设为任意n阶矩阵 则有 注矩阵乘法不满足消去律 即 例如设 有 则 但是 注该例也说明 注此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在数的乘法中的地位相当 即 并且 的k次幂 即 定义 方阵的多项式 注显然只有方阵的幂才有意义 解 例 由此归纳出 用数学归纳法证明 假设k n时成立 则k n 1时 例 解 归纳出 所以对于任意的k都有 转置矩阵 transpose 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做A的转置矩阵 记作 例 转置矩阵的运算规律 转置运算对乘积的去括号法则 解1 例已知 解2 定义 对称阵 设A为n阶方阵 如果满足 那么A称为对称阵 即 注对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 由此可知 反对称矩阵的对角元必为零 即aii 0 是3阶反对称矩阵 例如 证 例 证 命题得证 显然C为对称矩阵 B为反对称矩阵 2 矩阵应用举例 例 坐标变换 平面解析几何中 若坐标系Oxy绕原点O经逆时针方向转过角 后成为Ox y 如图 任一向量在这两个坐标系中的坐标分别为和 它们有如下关系 写成矩阵形式 记为 过渡矩阵 例 线性代数方程组 一般形式的线性方程组 即 Ax b 则线性方程组可