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绝对值及其几何意义 绝对值是初中代数乃至高中代数的重要内容，它伴随着我们学习代数知识的全过程。我们知道：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。 这是绝对值的代数意义。 绝对值的几何意义可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，如a表示数轴上表示数a的点到原点的距离，推而广之：x-a的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离，x-a+x-b的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、b 两点的距离之和。对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。下面通过几个例题谈谈绝对值的几何意义的妙用。例1：已知，x-4=3，求x的值。解：由绝对值的几何意义可知，x-4=3表示x到4的距离为3，结合数轴不难发现到4这个点的距离为3的点共有二个，分别是1和7，故x=1或7.例2：求x-1+x+2的最小值。分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。解：根据绝对值的几何意义可知，x-1表示数轴上点x到1的距离，x+2=x-（-2）表示数轴上点x到-2的距离。实际上此题是要在数轴上找一点x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x应在数轴上1到-2（含-2及1）当中的任一点，且最短距离为3，即x-1+x+2的最小值为3。此题实际上也说明了这么一个结论：x-a+x-b的最小值为a-b。通过分析我们亦不难理解，x-a-x-b的几何意义是数轴上一点x到a、b两点之间距离之差的绝对值，它有一个最大值a-b，即-3x-a-x-b3。我们再看下面的一个问题：例3：对于任意实数，若不等式x+1-x-2k恒成立，则实数k的取值范围是什么？解：由x+1-x-2的几何意义可知，它表示数轴上一点x到-1和2两点距离之差的绝对值，它有一个最大值为3即x+1-x-23，而x+1-x-2恒小于k，所以k3例4：如果x-3+x+1=4，则x的取值范围是什么？ 分析：本题就是在数轴上存在一个点x，它到3和-1的距离之和为4，由数轴可知符合条件的x应在3和-1（包括3和-1）之间，此时该点到3和-1的距离之和为4，即x-3+x+1=4，所以，-1x3。此题若采用“零点分段法”将会有较长的计算过程，比较繁琐。绝对值的几何意义的运用是一个高超的技巧，这种简捷、巧妙的方法应引起我们的重视。绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|0，这是绝对值非常重要的性质；（2）a=a,a00,a=0-a,a0（代数意义）（3）若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即|a|a，且|a|-a；（5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）（6）ab=ab（7）ab=ab(b0)（8）a2=a2=a2（9）a-ba+ba+b左边的等号当且仅当a
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