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用差分法和变分法解平面问题 第五章 合肥工业大学本科生教学 弹性力学 主讲教师 袁海平 副教授 博士后 一 差分公式的推导二 弹性体的形变势能和外力势能三 位移变分方程四 位移变分法五 位移变分法例题 第五章用差分法和变分法解平面问题 内容提要 弹性力学简明教程 第三版 徐芝纶院士 1911 1999 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 3 弹性力学的基本解法是 根据静力平衡条件 形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件 建立微分方程和边界条件 因此 弹性力学问题属于微分方程的边值问题 通过求解 得出函数表示的精确解答 对于工程实际问题 由于荷载和边界较复杂 难以求出函数式的解答 为此 人们探讨弹性力学的各种近似解法 主要有差分法 变分法和有限单元法 差分公式的推导 一 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 4 f x o 差分法是微分方程的一种数值解法 它不是去求解函数f x 而是求函数在一些结点上的值 将导数用有限差商来代替 将微分用有限差分来代替 将微分方程用差分方程 代数方程 代替 求解微分方程问题化为求解差分方程问题 差分公式的推导 一 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 5 在弹性体上 用相隔等间距h而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形网格 设f f x y 为弹性体内的某一个连续函数 该函数在平行于x轴的一根网线上 如在3 上 它只随x坐标的改变而变化 在邻近结点 处 函数f可展为泰勒级数如下 差分公式的推导 一 a 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 6 只考虑离开结点 充分近的那些结点 即 x x0 充分小 于是可不计 x x0 的三次及更高次幂的各项 则上式简写为 在结点 x x0 h 在结点1 x x0 h 代入 b 得 联立 c d 解得差分公式 差分公式的推导 一 b c d 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 7 同理 在网线4 0 2上可得到差分公式 以上 是基本差分公式 从而可导出其它的差分公式如下 差分公式的推导 一 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 8 差分公式 及 是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值 可称为中点导数公式 以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值 可称为端点导数公式 应当指出 中点导数公式与端点导数公式相比 精度较高 因为前者反映了结点两边的函数变化 而后者却只反映了结点一边的函数变化 因此 我们总是尽可能应用前者 而只有在无法应用前者时才不得不应用后者 差分公式的推导 一 一 差分公式的推导二 弹性体的形变势能和外力势能三 位移变分方程四 位移变分法五 位移变分法例题 第五章用差分法和变分法解平面问题 内容提要 弹性力学简明教程 第三版 徐芝纶院士 1911 1999 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 10 弹性力学变分法 因其泛函就是弹性体的能量 如形变势能 外力势能 又称为能量法 泛函 是以函数为自变量的一类函数 变分法 是研究泛函及其极值的求解方法 弹性体的形变势能和外力势能 二 弹性力学变分法 是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法 分为 位移变分法 取位移函数为自变量 并以势能极小值条件导出变分方程 应力变分法 取应力函数为自变量 并以余能极小值条件导出变分方程 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 11 2 因应力和应变均从0增长到 故单位体积上 应力所做的功是非线性关系 线性关系 1 作用于微小单元上的应力 是邻近部分物体对它的作用力 可看成是作用于微小单元上的 外力 应力的功和形变势能 内力势能 弹性体的形变势能和外力势能 二 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 12 线性的应力与应变关系 非线性的应力与应变关系 弹性体的形变势能和外力势能 二 应力的功和形变势能 内力势能 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 13 3 对于平面应力问题或平面应变问题单位体积上应力所做的功都是 c 弹性体的形变势能和外力势能 二 应力的功和形变势能 内力势能 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 14 弹性体的形变势能和外力势能 二 应力的功和形变势能 内力势能 4 假设没有转化为非机械能和动能 则应力所做的功全部转化为弹性体的内力势能 又称为形变势能 或应变能 存贮于物体内部 单位体积的形变势能 形变势能密度 5 整个弹性体的形变势能 d 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 15 6 将物理方程代入 平面应力问题的形变势能密度 可用形变表示为 对于平面应变问题 将 再将几何方程代入 可用位移表示为 整个弹性体的形变势能为 弹性体的形变势能和外力势能 二 应力的功和形变势能 内力势能 5 16 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 16 1 U是应变或位移的二次泛函 故不能应用叠加原理 2 应变或位移发生时 U总是正的 即 3 U的大小与受力次序无关 4 对应变的导数 等于对应的应力 5 15 弹性体的形变势能和外力势能 二 2 形变势能 的性质 弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率 等于相应的应力分量 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 17 外力势能 外力做了功 必然消耗了相同值的势能 当取时的外力功和能为零 则 b 外力功 弹性体的形变势能和外力势能 二 3 弹性体上的外力功和外力势能 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 18 弹性体的总势能 是外力势能和内力 形变 势能之和 h 弹性体的形变势能和外力势能 二 4 弹性体的总势能 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 19 弹性体的形变势能和外力势能 二 例题1 试证明 在同样的应变分量下 平面应变情况下单位厚度的形变势能大于平面应力情况下的形变势能 对于平面应变情况 只需将上式中 变换为 解 平面应力情况下 单位厚度的形变势能 a 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 20 代入 得显然 方括号内将式 a 中的 都作为式 b 的变换 整理后得平面应变情况下的形变势能公式 c 弹性体的形变势能和外力势能 二 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 21 从式 c 可见 在平面应变情况下 形变势能中的第1 2 3项均大于平面应力情况下的值 而第4项不变 因此 平面应变的形变势能大于平面应力的形变势能U 弹性体的形变势能和外力势能 二 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 22 C D E F A B 弹性体的形变势能和外力势能 二 例题2 图示一板块 在铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形 并使之两端固定下来 若在其中切开一小口AB时 试说明板的形变势能将发生什么变化 解 当AB线切开时 AB线上的应力趋于0 而形变势能是正定 当应力时 相应的形变势能也失去 因此 板的总的形变势能减少 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 23 弹性体的形变势能和外力势能 二 当AB线切开后 边界CD和EF仍是固定的 我们可以比较两种状态 AB切开后 AB线仍然处于闭合状态 不发生张开 这是不稳定的平衡状态 AB线张开 出现裂纹 这是稳定的平衡状态 由于系统的稳定平衡状态与邻近的状态相比 总势能处于极小值 而 a b 两种状态的外力势能不变 因此 b 的形变势能小于 a 即形变势能将减少 一 差分公式的推导二 弹性体的形变势能和外力势能三 位移变分方程四 位移变分法五 位移变分法例题 第五章用差分法和变分法解平面问题 内容提要 弹性力学简明教程 第三版 徐芝纶院士 1911 1999 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 25 1 实际平衡状态的位移 必须满足 用位移表示的平衡微分方程 在A中 用位移表示的应力边界条件 在上 位移边界条件 在上 a 其中 属于静力平衡条件 属于约束条件 对于实际位移 可将 看成是必要条件 而 是充分条件 位移变分方程 三 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 26 在上 2 虚位移状态 虚位移 数学上称为位移变分 表示在约束条件允许下 平衡状态附近的微小位移增量 虚位移应满足上的约束边界条件 即 b 位移变分方程 三 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 27 虚位移不是实际外力作用下发生的 而是假想由其他干扰产生的 因此 虚位移状态就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态 c 位移变分方程 三 2020 3 16 28 可编辑 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 29 d 变分与微分的比较 位移变分方程 三 微分 是在同一状态下 研究由于位置 坐标 改变而引起函数的改变 其中的自变量为坐标变量x y 而因变量为函数 如位移 有 变分 是在同一点位置上 由于状态改变而引起泛函的改变 其中的自变量为状态函数 如位移 而因变量为泛函 如 有 e 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 30 由于微分和变分都是微量 所以a 它们的运算方式相同 如式 d e b 变分和微分可以交换次序 如 f 位移变分方程 三 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 31 当发生虚位移 位移变分 时 由于虚位移引起虚应变 外力势能的变分 外力的虚功 外力功的变分 3 在虚位移上弹性体的功和能 位移变分方程 三 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 32 形变势能的变分 即实际应力在虚应变上的虚功 由于实际应力在虚应变之前已存在 所以作为常力计算 故无系数 j 位移变分方程 三 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 33 1 在封闭系统中 假设没有非机械能的改变 也没有动能的改变 则按照能量守恒定律 在虚位移过程中形变势能的增加应等于外力势能的减少 即等于外力所做的虚功 所以 4 弹性力学中位移变分方程的导出 位移变分方程 三 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 34 2 位移变分方程 将式 g 的代入上式 得 它表示 在实际平衡状态发生位移的变分时 所引起的形变势能的变分 等于外力功的变分 位移变分方程 三 5 22 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 35 3 虚功方程 将式 j 的代入上式 得 位移变分方程 三 虚功方程表示 如果在虚位移发生之前 弹性体处于平衡状态 则在虚位移过程中 外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功 5 24 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 36 其中 形变势能的变分 如式 j 所示 外力功的变分 如式 g 所示 4 最小势能原理 式 k 可写成 其中U 弹性体的形变势能 如 5 4式 d W 弹性体的外力功 如 5 4式 a 可以证明 式 n 可以写成为 位移变分方程 三 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 37 由于弹性体的总势能为故式 o 可以表示为再将总势能对其变量 位移或应变 作二次变分运算 可得 p q 位移变分方程 三 极小势能原理 在给定的外力作用下 在满足位移边界条件的所有各组位移状态中 实际存在的一组位移对应于总势能为极小值 一 差分公式的推导二 弹性体的形变势能和外力势能三 位移变分方程四 位移变分法五 位移变分法例题 第五章用差分法和变分法解平面问题 内容提要 弹性力学简明教程 第三版 徐芝纶院士 1911 1999 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 39 位移变分法是取位移为基本未知函数的 位移函数应预先满足上的位移边界条件 然后再满足位移变分方程 位移变分法 四 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 40 a 1 因位移函数是未知的 在变分法中采用设定位移试函数的方法 令 位移变分法 四 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 41 其中和均为设定的x y的函数 并在边界上 令 在上 在上 c b 位移变分法 四 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 42 所以已满足了上的位移边界条件 而 用来反映位移状态的变化 故位移的变分为 d 位移变分法 四 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 43 位移的变分通过 的变分来反映 故形变势能的变分为 2 位移 a 还必须满足位移变分方程 d 将式 d f 代入 e 得 位移变分法 四 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 44 因虚位移 位移变分 中的 是完全任意的 独立的 为了满足上式 必须 位移变分法 四 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 45 式 g 是瑞利 里茨变分方程 它是关于 的线性代数方程组 由上式可解出 从而得到位移的解答 位移变分法 四 一 差分公式的推导二 弹性体的形变势能和外力势能三 位移变分方程四 位移变分法五 位移变分法例题 第五章用差分法和变分法解平面问题 内容提要 弹性力学简明教程 第三版 徐芝纶院士 1911 1999 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 47 例1图示矩形板a b 在上边及右边受有均布压力及 而左边和下边受有法向连杆的约束 位移变分法例题 五 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 48 位移边界 a 应用瑞利 里茨法 设定位移 只取和 位移变分法例题 五 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 49 在平面应力状态下 可得 即 位移变分法例题 五 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 50 由 可得 即 解得 位移变分法例题 五 弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 51 e 例2 本题全部为位移边界