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概率论与数理统计2006 02 10 第一章随机事件及其概率 2020 3 17 1 1随机事件及其概率的统计定义 一 概率论的诞生及应用1654年 一个名叫梅累的骑士就 两个赌徒约定赌若干局 且谁先赢c局便算赢家 若在一赌徒胜a局 a c 另一赌徒胜b局 b c 时便终止赌博 问应如何分赌本 为题求教于帕斯卡 帕斯卡与费马通信讨论这一问题 于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念 数学期望 概率论是数学的一个分支 它研究随机现象的数量规律 概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域 例如天气预报 地震预报 产品的抽样调查 另外在经济 金融 保险 管理决策 生物医药 农业 试验设计等 等领域都有广泛应用 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象 太阳不会从西边升起 1 确定性现象 可导必连续 水从高处流向低处 实例 自然界所观察到的现象 确定性现象 随机现象 二 随机现象 确定性现象的特征 条件完全决定结果 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币 观察正反两面出现的情况 2 随机现象 结果有可能出现正面也可能出现反面 结果有可能为 1 2 3 4 5 或 6 实例3 抛掷一枚骰子 观察出现的点数 实例2 用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发 观察弹落点的情况 结果 弹落点会各不相同 实例4 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品 其结果可能为 正品 次品 实例5 过马路交叉口时 可能遇上各种颜色的交通指挥灯 实例6 一只灯泡的寿命 可长可短 随机现象的特征 条件不能完全决定结果 2 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性 但在大量重复试验或观察中 这种结果的出现具有一定的统计规律性 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科 随机现象是通过随机试验来研究的 问题什么是随机试验 如何来研究随机现象 说明 1 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 其数量关系无法用函数加以描述 1 可以在相同的条件下重复地进行 2 每次试验的可能结果不止一个 并且能事先明确试验的所有可能结果 3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 定义在概率论中 把具有以下三个特征的试验称为随机试验 三 随机试验 说明 1 随机试验简称为试验 是一个广泛的术语 它包括各种各样的科学实验 也包括对客观事物进行的 调查 观察 或 测量 等 实例 抛掷一枚硬币 观察正面 反面出现的情况 分析 2 随机试验通常用E来表示 1 试验可以在相同的条件下重复地进行 1 抛掷一枚骰子 观察出现的点数 2 从一批产品中 依次任选三件 记录出现正品与次品的件数 同理可知下列试验都为随机试验 2 试验的所有可能结果 正面 反面 3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 故为随机试验 3 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数 4 考察某地区10月份的平均气温 5 从一批灯泡中任取一只 测试其寿命 四 概率的统计定义 随机事件 在试验的结果中 可能发生 也可能不发生的事件 比如 抛硬币试验中 徽花向上 是随机事件 掷一枚骰子中 出现奇数点 是一个随机事件等 频率 设A为实验E中的一个随机事件 将E重复n次 A发生m次 称f A m n为事件A的频率 随着实验次数n的增加 频率将处于稳定状态 比如投硬币实验 频率将稳定在1 2附近 统计概率 将事件A的频率的稳定值p作为事件A出现的可能性的度量 即P A p为事件A的统计概率 统计概率的缺点 需要大量的重复试验 得到的是概率的近似值 1 2样本空间 定义1对于随机试验E 它的每一个可能结果称为样本点 由一个样本点组成的单点集称为基本事件 所有样本点构成的集合称为E的样本空间或必然事件 用 或S表示我们规定不含任何元素的空集为不可能件 用 表示 P 1 P 0 例 设试验为抛一枚硬币 观察是正面还是反面 则样本空间为 正面 反面 或 1 2 例 设试验为从装有三个白球 记为 号 与两个黑球 记为 号 的袋中任取两个球 观察取出的两个球的颜色 则样本空间为 00 11 01 00表示 取出两个白球 11表示 取出两个黑球 01表示 取出一个白球与一个黑球 观察取出的两个球的号码 则样本空间为 12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 ij表示 取出第i号与第j号球 注 试验的样本空间是根据试验的内容确定的 随机事件随机试验E的样本空间 的子集 或某些样本点的子集 称为E的随机事件 简称事件 试验中 骰子 出现1点 出现2点 出现6点 点数不大于4 点数为偶数 等都为随机事件 例3写出掷骰子试验的样本点 样本空间 基本事件 事件A 出现偶数 事件B 出现奇数 小结 随机现象的特征 1 条件不能完全决定结果 2 随机现象是通过随机试验来研究的 1 可以在相同的条件下重复地进行 2 每次试验的可能结果不止一个 并且能事先明确试验的所有可能结果 3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 随机试验 3 随机试验 样本空间与随机事件的关系 随机试验 样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间 样本空间的子集就是随机事件 随机试验 样本空间 随机事件 必然事件不可能事件是两个特殊的随机事件 和事件与积事件的运算性质 二 事件间的运算规律 三完备事件组 逆分配律 概率论与集合论之间的对应关系 四 小结 一 古典概型 1 4概率的古典定义 定义如果一个随机试验E具有以下特征 1 试验的样本空间中仅含有有限个样本点 2 每个样本点出现的可能性相同 则称该随机试验为古典概型 设试验E的样本空间由n个样本点构成 A为E的任意一个事件 且包含m个样本点 则事件A出现的概率记为 2 古典概型中事件概率的计算公式 称此为概率的古典定义 3 古典概型的基本模型 摸球模型 1 无放回地摸球 问题1设袋中有M个白球和N个黑球 现从袋中无放回地依次摸出m n个球 求所取球恰好含m个白球 n个黑球的概率 样本点总数为 A所包含的样本点个数为 解 设A 所取球恰好含m个白球 n个黑球 2 有放回地摸球 问题2设袋中有4只红球和6只黑球 现从袋中有放回地摸球3次 求前2次摸到黑球 第3次摸到红球的概率 解 第1次摸球 6种 第1次摸到黑球 4种 第3次摸到红球 样本点总数为 A所包含样本点的个数为 4 古典概型的基本模型 球放入杯子模型 1 杯子容量不限制 问题1把4个球放到3个杯子中去 求第1 2个杯子中各有两个球的概率 其中假设每个杯子可放任意多个球 4个球放到3个杯子的所有放法 因此第1 2个杯子中各有两个球的概率为 2 每个杯子只能放一个球 问题2把4个球放到10个杯子中去 每个杯子只能放一个球 求第1至第4个杯子各放一个球的概率 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为 解 5 典型例题 在N件产品中抽取n件 其中恰有k件次品的取法共有 于是所求的概率为 解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 例3 分房问题 有n个人 每个人都以同样的概率1 N被分配在间房中的每一间中 试求下列各事件的概率 1 某指定间房中各有一人 2 恰有间房 其中各有一人 3 某指定一间房中恰有人 解先求样本空间中所含样本点的个数 首先 把n个人分到N间房中去共有种分法 其次 求每种情形下事件所含的样本点个数 b 恰有n间房中各有一人 所有可能的分法为 a 某指定n间房中各有一人 所含样本点的个数 即可能的的分法为 c 某指定一间房中恰有m人 可能的分法为 进而我们可以得到三种情形下事件的概率 其分别为 1 把有限个样本点推广到无限个样本点的场合 人们引入了几何概型 由此形成了确定概率的另一方法 几何方法 概率的古典定义具有可计算性的优点 但它也有明显的局限性 要求样本点有限 如果样本空间中的样本点有无限个 概率的古典定义就不适用了 二 几何概型 定义1 定义2当随机试验的样本空间是某个区域 并且任意一点落在度量 长度 面积 体积 相同的子区域是等可能的 则事件A的概率可定义为 说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时 就归结为几何概率 那末 两人会面的充要条件为 例1甲 乙两人相约在0到T这段时间内 在预定地点会面 先到的人等候另一个人 经过时间t t T 后离去 设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的 且两人到达的时刻互不牵连 求甲 乙两人能会面的概率 会面问题 解 故所求的概率为 若以x y表示平面上点的坐标 则有 1 5概率加法定理 1 对于任意事件A 对于前面讨论的古典概型和几何概型 我们容易得到下面两个性质 证明 只要证明P A B P A P B 即可 这里根据古典概型来证明 设试验的样本空间 共有N个等可能的基本事件 事件A包含M1个基本事件 事件B包含M2个基本事件 由于事件A与B是互不相容的 因此A与B的并A B所包含的基本事件共有M1 M2个 于是有P A B M1 M2 N M1 N M2 N P A P B 推论2对立事件的概率和等于一 证明 证明 由图可得 又由定理 得 因此得 推广三个事件和的情况 n个事件和的情况 解 先从 双中取 双 再从每双中任取一只 先从 双中取出 双 在从剩下的 只鞋中取 只 例3在1 2000的整数中随机地取一个数 问取到的整数既不能被6整除 又不能被8整除的概率是多少 设A为事件 取到的数能被6整除 B为事件 取到的数能被8整除 则所求概率为 解 于是所求概率为 例 甲 乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车 又这段时间内有四班公共汽车它们的开车时刻分别为1 15 1 30 1 45 2 00 如果它们约定见车就乘 求甲 乙同乘一车的概率 假定甲 乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的 且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的 见车就乘的概率为 设x y分别为甲 乙两人到达的时刻 则有 解 概率的统计定义和古典定义都存在一定的缺点和局限性 有必要寻找概率的统一定义 经过长期的研究 到1933年 苏联数学家柯尔莫哥洛夫在总结了前人研究成果基础上 提出了概率论的公理化结构 给出了概率的严格定义 使概率论有了迅速的发展 1 6概率的公理化体系 概率的可列可加性 二 概率的公理化定义 2020 3 17 73 可编辑 证明 由概率的可列可加性得 三 概率的性质 证明 由概率的可列可加性得 引例 投掷骰子 观察点数 A表示 出现 点 B表示 出现奇数点 求P A 及已知B发生的条件下A发生的概率P A B 解 P A 1 6 P B 1 2 P AB 1 6 P A B 1 3 从而P A P A B 但P A B P AB P B 1 7条件概率与概率乘法定理 定理 证明 利用古典概型来证明 设样本空间为 包含N个样本点 A包含M1个样本点 B包含M2个样本点 A B的交包含M个样本点 则 条件概率的性质 例1掷两颗均匀骰子 已知第一颗掷出6点 问 掷出点数之和不小于10 的概率是多少 解 解 设A 掷出点数之和不小于10 B 第一颗掷出6点 应用定义 定理2乘法定理 例2一盒子装有4只产品 其中有3只一等品 1只二等品 从中取产品两次 每次任取一只 作不放回抽样 设事件A为 第一次取到的是一等品 事件B为 第二次取到的是一等品 试求条件概P B A 解 由条件概率的公式得 例3某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0 8 活到25岁以上的概率为0 4 如果现在有一个20岁的这种动物 问它能活到25岁以上的概率是多少 设A表示 能活20岁以上 的事件 B表示 能活25岁以上 的事件 则有 解 例4五个阄 其中两个阄内写着 有 字 三个阄内不写字 五人依次抓取 问各人抓到 有 字阄的概率是否相同 解 则有 抓阄是否与次序有关 依此类推 故抓阄与次序无关 1 8全概率公式 1 全概率公式 图示 证明 说明全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题 分解为若干个简单事件的概率计算问题 最后应用概率的可加性求出最终结果 例1有一批同一型号的产品 已知其中由一厂生产的占30 二厂生产的占50 三厂生产的占20 又知这三个厂的产品次品率分别为2 1 1 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少 设事件A为 任取一件为次品 解 由全概率公式得 30 20 50 2 1 1 称此为贝叶斯公式 贝叶斯公式 证明 证毕 例2 解 1 由全概率公式得 2 由贝叶斯公式得 上题中概率0 95是由以往的数据分析得到的 叫做先验概率 而在得到信息之后再重新加以修正的概率0 97叫做后验概率 先验概率与后验概率 解 例3 由贝叶斯公式得所求概率为 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症 1 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 小结 乘法定理 1 9随机事件的独立性 一 两个事件的独立性 由条件概率 知 一般地 这意味着 事件B的发生对事件A发生的概率有影响 然而 在有些情形下又会出现 则有 1 引例 2 定义 注 1 说明 事件A与B相互独立 是指事件A的发生与事件B发生的概率无关 2 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念 两事件相互独立 两事件互斥 例如 由此可见两事件相互独立但两事件不互斥 两事件相互独立 两事件互斥 由此可见两事件互斥但不独立 又如 两事件相互独立 两事件互斥 可以证明 特殊地 A与B独立 A与B相容 不互斥 或 A与B互斥 A与B不独立 证 若A与B独立 则 即A与B不互斥 相容 若A与B互斥 则AB B发生时 A一定不发生 这表明 B的发生会影响A发生的可能性 造成A不发生 即B的发生造成A发生的概率为零 所以A与B不独立 理解 3 性质 1 必然事件 及不可能事件 与任何事件A相互独立 证 A A P 1 P A P A 1 P A P P A 即 与A独立 A P 0 P A P 0 P P A 即 与A独立 2 若事件A与B相互独立 则以下三对事件 也相互独立 证 注称此为二事件的独立性关于逆运算封闭 又 A与B相互独立 甲 乙两人同时向敌人炮击 已知甲击中敌机的概率为0 6 乙击中敌机的概率为0 5 求敌机被击中的概率 解 设A 甲击中敌机 B 乙击中敌机 C 敌机被击中 依题设 A与B不互斥 例1 P A P B 1 1 1 P A B 由于甲 乙同时射击 甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性 所以A与B独立 进而 0 8 1 三事件两两相互独立的概念 二 多个事件的独立性 定义 2 三事件相互独立的概念 定义 设A1 A2 An为n个事件 若对于任意k 1 k n 及1 i1 i2 ik n 3 n个事件的独立性 定义 若事件A1 A2 An中任意两个事件相互独立 即对于一切1 i j n 有 定义 注 两个结论 n个独立事件和的概率公式 设事件相互独立 则 也相互独立 即n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积 结论的应用 则 至少有一个发生 的概率为 P A1 An 1 1 p1 1 pn 类似可以得出 1 p1 pn 事件的独立性在可靠性理论中的应用 一个元件的可靠性 该元件正常工作的概率 一个系统的可靠性 由元件组成的系统正常工作的概率 1 10独立试验序列 1 定义 独立试验序列 设 Ei i 1 2 是一列随机试验 Ei的样本空间为 i 设Ak是Ek中的任一事件 Ak k 若Ak出现的概率都不依赖于其它各次试验Ei i k 的结果 则称 Ei 是相互独立的随机试验序列 简称独立试验序列 则称这n次重复试验为n重贝努里试验 简称为贝努里概型 若n次重复试验具有下列特点 2 n重