最短路径问题.ppt.ppt

最短路径问题 如图所示 从A地到B地有三条路可供选择 你会选走哪条路最近 你的理由是什么 两点之间 线段最短 两点在一条直线异侧 已知 如图 A B在直线L的两侧 在L上求一点P 使得PA PB最小 P 连接AB 线段AB与直线L的交点P 就是所求 为什么这样做就能得到最短距离呢 如图 要在燃气管道L上修建一个泵站 分别向A B两镇供气 泵站修在管道的什么地方 可使所用的输气管线最短 P 所以泵站建在点P可使输气管线最短 应用 问题1相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 探索新知 这是一个实际问题 你打算首先做什么 将A B两地抽象为两个点 将河l抽象为一条直线 探索新知 你能用自己的语言说明这个问题的意思 并把它抽象为数学问题吗 1 从A地出发 到河边l饮马 然后到B地 2 在河边饮马的地点有无穷多处 把这些地点与A B连接起来的两条线段的长度之和 就是从A地到饮马地点 再回到B地的路程之和 探索新知 现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点 设C为直线上的一个动点 上面的问题就转化为 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 如图 作法 1 作点B关于直线l的对称点B 2 连接AB 与直线l相交于点C 则点C即为所求 探索新知 如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 证明 如图 在直线l上任取一点C 与点C不重合 连接AC BC B C 由轴对称的性质知 BC B C BC B C AC BC AC B C AB AC BC AC B C 在 AB C 中 AB AC B C AC BC AC BC 即AC BC最短 探索新知 问题3你能用所学的知识证明AC BC最短吗 探索新知 回顾前面的探究过程 我们是通过怎样的过程 借助什么解决问题的 问题 如图所示 要在街道旁修建一个奶站 向居民区A B提供牛奶 奶站应建在什么地方 才能使从A B到它的距离之和最短 练习 2020 3 17 12 可编辑 已知 如图A是锐角 MON内部任意一点 在 MON的两边OM ON上各取一点B C 组成三角形 使三角形周长最小 B C D E 分析 当AB BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时 三角形的周长最小 已知 如图A是锐角 MON内部任意一点 在 MON的两边OM ON上各取一点B C 组成三角形 使三角形周长最小 分别作点A关于OM ON的对称点A A 连接A A 分别交OM ON于点B 点C 则点B 点C即为所求 3 某班举行晚会 桌子摆成两直条 如图中的AO BO AO桌面上摆满了桔子 OB桌面上摆满了糖果 坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果 然后回到座位 请你帮助他设计一条行走路线 使其所走的总路程最短 作法 1 作点C关于直线OA的对称点点D 2 作点C关于直线OB的对称点点E 3 连接DE分别交直线OA OB于点M N 则CM MN CN最短 A O B E D M N G H 如图 C为马厩 D为帐篷 牧马人某一天要从马厩牵出马 先到草地边某一处牧马 再到河边饮马 然后回到帐篷 请你帮他确定这一天的最短路线 作法 1 作点C关于直线OA的对称点点F 2 作点D关于直线OB的对称点点E 3 连接EF分别交直线OA OB于点G H 则CG GH DH最短 F A O B D C E G H A B P Q 证明 在直线OA上另外任取一点G 连接 点F 点C关于直线OA对称 点G M在OA上 GF GC FM CM 同理HD HE ND NE CM MN ND FM MN NE FE CG GH HD FG GH HE 在四边形EFGH中 FG GH HE FE 两点之间 线段最短 即CG GH HD CM MN ND即CM MN ND最短 如图 A和B两地在一条河的两岸 现要在河上造一座桥MN 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥M N 距离是怎样的 能证明我们的做法AM MN NB的和是最短距离吗 试一下 证明 取不同于 M N的另外两点M N 由于M N MN AA 由平移的性质可知 AM A N AM A N 又根据 两点之间 线段最短 可知A