2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第03单元第6节+函数模型及其应用.ppt

第三单元基本初等函数 知识体系 2011届高考迎考复习更多资源请点击 高中教学网 第六节函数模型及其应用 基础梳理 1 常见的几种函数模型 1 一次函数型 2 反比例函数型 3 二次函数型 4 指数函数型 增长率问题 5 对数函数型 6 幂函数型 7 分段函数型 y kx b k 0 2 对于指数函数y ax a 1 幂函数y xn n 0 对数函y logax a 1 总会存在一个x0 当x x0时 有logax xn ax 3 解答函数应用题的步骤 题型一一次函数与分段函数模型例1 电信局为了配合客户不同需要 设有A B两种关于长途通话的优惠方案 这两种方案应付话费 元 与通话时间 分钟 之间的关系如图所示 实线部分 注 图中MN CD 试问 1 若通话时间为2小时 按方案A B各付话费多少元 2 方案B从500分钟以后 每分钟收费多少元 3 通话时间在什么范围内 方案B才会比方案A优惠 分析由图可知 两种方案都因时间段的不同导致收费不同 因此需分段列式 解由图可知 两种方案都是由线性函数组成的分段函数 不妨用待定系数法 结合图形 先求出函数解析式 再根据题意解题 由图知M 60 98 N 500 230 C 500 168 MN CD 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA x fB x 则 1 通话2小时 A B两种方案的话费分别为116元 168元 2 当x 500时 元 方案B从500分钟以后 每分钟收费0 3元 3 由图知 当0 x 60时 fA x 500时 显然fB x 293分钟 即通话时间为293分钟以上时 方案B才会比方案A优惠 学后反思 1 现实生活中很多问题都是用分段函数表示的 如出租车费用 个人所得税 话费等 分段函数是刻画现实问题的重要模型 2 分段函数是同一个函数在不同阶段的变化规律不同的函数 要注意各段变量的范围 特别是端点值 尤其要注意 举一反三 1 创新题 南京市有甲 乙两家乒乓球俱乐部 两家设备和服务都很好 但收费方式不同 甲俱乐部每张球台每小时5元 乙俱乐部按月计费 一个月中30小时以内 含30小时 每张球台90元 超过30小时的部分每张球台每小时2元 小张准备下个月从这两家俱乐部中的一家族一张球台开展活动 其活动时间不少于15小时 也不超过40小时 1 设在甲俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费f x 元 15 x 40 在乙俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费g x 元 15 x 40 试求f x 和g x 2 你认为校长选择哪家俱乐部比较合算 请说明理由 解析 1 f x 5x 15 x 40 g x 2 若15 x 30 且当5x 90时 x 18即当15 xg x 若3030 2x恒成立 即f x g x 恒成立 综上所述 当15 x 18时 小张选甲俱乐部比较合算 当x 18时 两家一样合算当18 x 40时 小张选乙俱乐部比较合算 题型二二次函数模型 例2 某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料 根据以前的统计数据 若零售价定为每瓶4元 每月可销售400瓶 若每瓶售价每降低0 05元 则可多销售40瓶 在每月的进货量当月销售完的前提下 请你给该商店设计一个方案 销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时 才可获得最大的利润 分析构建二次函数模型 转化为二次函数的最值问题 解设销售价为x元 瓶 则根据题意 销售量等于进货量 正好销售完的进货量为 即400 9 2x 瓶 此时所得的利润为f x 400 9 2x x 3 400 2x2 15x 27 根据函数的性质 当x 3 75时 f x 取最大值450 这时的进货量为400 9 2x 400 9 2 3 75 600 瓶 所以销售价应定为每瓶3 75元 以及从工厂购进600瓶时 才能获利最大 学后反思二次函数模型的建立可以求出函数的最值 解决实际生活中的最优化问题 但一定要注意自变量的取值范围 举一反三2 某商场销售一种服装 购进价是每件42元 根据试装得知这种服装每天的销售量t 件 与每件的销售价x 元 件 可看成是一次函数关系 t 3x 204 1 写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系 每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价格差 2 商场要想每天获得最大的销售利润 每件的销售价定位多少 最为合适最大销售利润为多少 解析 1 由题意 销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系为y x 42 3x 204 即 2 对配方 得 当每件的销售价为55元 可取的最大利润 每天最大销售利润为507元 题型三指数模型的应用 例3 某城市2008年有人口100万 如果年增长率为1 2 1 写出该城市人口总数y 万人 与年份x 年 的函数关系式 2 10年后 该城市人口达到多少万 3 计算大约到哪一年该市人口达120万 分析本题为人口增长率问题 可以通过计算每年的人口总数与年份的关系来探究出规律 建立指数型函数模型来解决 解 1 1年后该城市人口总数为y 100 100 1 2 100 1 1 2 2年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 100 1 1 2 1 2 100 1 1 2 2 3年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 3 x年后该城市人口总数为 2 10年后 人口数为100 1 1 2 10 112 7 万人 3 设x年后该城市人口将达到120万人 即100 1 1 2 x 120 log1 0121 20 15 28 年 取x 16 年 即大约到2024年 该市人口达到120万人 举一反三 3 一种放射性元素 最初的质量为500g 按每年10 衰减 1 求t年后 这种放射性元素质量w的表达式 2 求这种放射性元素的半衰期 精确到0 1年 解析 1 最初的质量为500g 经过1年 w 500 1 10 500经过2年 经过t年 2 由题意两边取对数 有即这种放射性元素的半衰期为6 6年 题型四函数模型的综合应用 例4 14分 某工厂有一段旧墙长14m 现准备利用这段旧墙为一面 建造平面图形为矩形 面积为126m2的厂房 工程条件是 1 建1m新墙费用为a元 2 修1m旧墙费用是元 3 拆去1m旧墙 用所得材料建1m新墙费用为元 经过讨论有两种方案 利用旧墙的一段xm x 14 为矩形厂房一面的边长 矩形厂房利用旧墙的一边边长x 14 问 如何利用旧墙 即x为多少米时 建墙费用最省 两种方案哪种更好 分析利用旧墙为一面建立平面矩形 设此面边长为xm 则另一面边长为 解 1 利用旧墙的一段xm x 14 则修墙费用元 1 将剩余旧墙拆得材料建新墙费用为元 其余建新墙的费用为元 3 总费用当且仅当 即x 12m时 ymin 35a 6 2 利用旧墙的一面 矩形边长x 14 则修旧墙费用为元 建新墙费用为元 8 总费用综上所述 采用第一种方案 利用旧墙的12m为矩形的一面边长时 建墙费用最省 14 学后反思本题关键在于以建墙费用为目标函数建立函数关系式 而难点在于求函数的最小值 两种方案的函数式结构表面相似 一个可用不等式求最值 另一个则必须改用单调性求最值 举一反三4 某公司欲投资13亿元进行项目开发 现有以下6个项目可供选择 设计一个投资方案 使投资13亿元所获利润大于1 6亿元 则应选的项目是 只需写出项目的代号 解析 当投资为13亿元时 有以下两种投资选择方案 f A B E 0 55 0 4 0 9 1 85 亿元 f B D E F 0 4 0 5 0 9 0 1 1 9 亿元 答案 A B E或B D E F 考点演练 10 某乡企业有一个蔬菜生产基地共有8位工人 过去每人年薪为1万元 从今年起 计划每人每年的工资比上一年增加20 并每年新招3为工人 每位新工人第一年年薪为8千元 第二年开始拿与老工人一样数额的年薪 求第n年付给工人的工资总额y 万元 表示成n的函数表达式 解析n年共有工人3n 8位 其中有3位新工人 3n 8 3 3n 5位老工人 老工人的工资总额为 3位新工人的工资为3 0 8 2 4 故n年付给工人的工资总数为 11 2009湖南 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经计算 一个桥墩的工程费用为256万元 距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 2 当m 640米时 需新建多少桥墩才能使y最小 解析 1 设需新建n个桥墩 则 n 1 x m 即所以y f x 256n n 1 2 由 1 知 令 得 所以x 64当0 x 64时 f x 在区间 0 64 内为减函数 当64 x 640时 f x 在区间 64 640 内为增函数 所以f x 在x 64取得最小值 此时故需新建9个桥墩才能使最小 12 2009济宁模拟 某厂家拟在2010年举行促销活动 经调查测算 该产品的年销售量 即该厂的年产量 x万件与年促销费用m万元 m 0 满足 k为常数 如果不搞促销活动 则该产品的年销售量只能是1万件 已知2010年生产该产品的固定投入为8万元 每生产1万件该产品需要再投入16万元 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1 5倍 产品成本包括固定投