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保险精算 南通大学理学院主讲教师 陆志峰 教材 指定教材王晓军等 保险精算原理与实务 第二版 中国人民大学出版社 2010 参考资料Kellison S G TheoryofInterest 2ndEdition SOA 1991 Bowers N L ActuarialMathematics 2ndEdition SOA 1997 课程结构 基础利息理论基础生命表基础核心保费计算责任准备金计算多重损失模型保单的现金价值与红利拓展特殊年金与保险寿险定价与负债评估偿付能力与监管 2020 3 17 4 第一章导论 精算科学 ActuarialScience 精算科学是以概率论与数理统计为基础的 与经济学 金融学及保险理论相结合的应用与交叉性的学科 在保险和社会保障领域 精算科学通过对风险事件及其损失的预先评价 实现科学的风险管理 为保险和社会保障事业的财务稳健发展提供基本保障 保险精算学的基本原理 1 要素未来事件不确定性财务收支预先评估 2 模型和方法模型 各因素相互关系的数学公式方法 借助精算模型实现预先评估 3 精算假设对未来风险发生规律的假设在过去经验的基础上 根据对未来的判断预先做出 基本精算原理 例 按照收支对等原则如果1人投保1年期100 000元寿险 假设1年内死亡概率4 3 在不考虑保险公司的费用 投资收益 利润的情况下 保费 期望损失 100 000 0 0043 430元 忽略利息 精算师 精算师被称为金融 保险 投资和风险管理的工程师通过对风险和损失的预先评价 对风险事件做出预先的财务安排 保证风险经营的财务稳健性 精算师的主要职业领域 保险公司 寿险 非寿险 健康保险 养老金计划社会保障银行 投资 公司财务 金融工程法律法规教育 精算管理控制系统 怎样成为精算师 考试制度 英国精算学会 北美寿险精算学 北美非寿险精算学会 美国养老金精算师学会 加拿大精算学会 教育认可制度 澳大利亚 初级课程认可 高级课程考试 德国 意大利 法国 瑞士 西班牙 荷兰 巴西 墨西哥等国家主要采取学历认可制度 国际精算协会的精算师后续教育制度 精算职业发展 1775年 英国的公平人寿社团最早将精算师引入保险领域 1848年 英国在世界上最早成立了精算学会1889年 美国精算学会1892年 法国精算学会1895年 国际精算协会2006年 中国精算师协会 第二章 利息理论基础 利息理论要点 利息的度量利息问题求解的原则年金收益率分期偿还表与偿债基金 第一节 利息的度量 第一节汉英名词对照 积累值现实值实质利率单利复利名义利率贴现率利息效力 AccumulatedvaluePresentvalueEffectiveannualrateSimpleinterestCompoundinterestNominalinterestDiscountrateForceofinterest 一 利息的定义 定义 利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合 它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金 用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失 影响利息大小的三要素 本金利率时期长度 二 利息的度量 积累函数金额函数贴现函数第N期利息 0 t 1 K 1 累积函数 累积函数是单位本金的累计额 以表示 其中 累积函数 a t 通常为t的连续函数 在坐标平面上表现为通过 0 1 点的曲线 如图2 1和图2 2所示a t 为增函数时才能保证总额函数的递增性和存在正的利息 有时 当利息定期结算时 也表现为不连续的阶梯函数 在定期内 为常数 定期结算后 上一个台阶 如图2 3所示 利息度量一 计息时刻不同 期末计息 利率第N期实质利率期初计息 贴现率第N期实质贴现率 利息率 利息率1年内1单位本金的利息就是实际年利息率以表示第n个基本计息时间单位的实际利率 现值和贴现率 现值和贴现率 在复利下 现值和贴现率 在单利下 现值和贴现率 贴现率 单位货币在单位时间内的贴现额 单位时间以年度衡量时 成为实际贴现率 d表示一年的贴现率 dn表示第n年贴现率 可见 d i 现值和贴现率 现值和贴现率 现值和贴现率 例2 1实质利率 贴现率 某人存1000元进入银行 第1年末存款余额为1020元 第2年存款余额为1050元 求分别等于多少 例2 1答案 利息度量二 积累方式不同 线形积累单利单贴现 指数积累复利复贴现 单利和复利 单利 只在本金上生息设第t年实际利率it 1年末的累积额为 第2年末的累积额为 当各年利率均为i时 有 单利和复利 复利 在本金和利息上生息设第t年实际利率it 1年末的累积额为 第2年末的累积额为 当各年利率均为i时 有 单复利计息之间的相关关系 单利的实质利率逐期递减 复利的实质利率保持恒定 单贴现的实质利率逐期递增 复贴现的实质利率保持恒定 时 相同单复利场合 单利计息比复利计息产生更大的积累值 所以短期业务一般单利计息 时 相同单复利场合 复利计息比单利计息产生更大的积累值 所以长期业务一般复利计息 例2 2 某人存5000元进入银行 若银行分别以2 的单利计息 复利计息 单贴现计息 复贴现计息 问此人第5年末分别能得到多少积累值 例2 2答案 利息的度量三 利息转换频率不同 实质利率 以一年为一个利息转换期 该利率记为实质利率 记为 名义利率 在一年里有m个利息转换期 假如每一期的利率为j 记为这一年的名义利率 利息力 假如连续计息 那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力 记为 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率 名义利率类似 实质利率与实质贴现率 名义利率与名义贴现率 名义利率 一年结算多次的规定的年利率 以表示 m表示结算次数 名义利率 名义利率 1 1 名义贴现率 名义贴现率 1 1 名义利率与名义贴现率 名义贴现率 一年结算多次的规定的年贴现率 以表示 m表示结算次数 例2 3 1 确定500元以季度转换8 年利率投资5年的积累值 2 如以6 年利 按半年为期预付及转换 到第6年末支付1000元 求其现时值 3 确定季度转换的名义利率 使其等于月度转换6 名义贴现率 例2 3答案 1 2 3 利息力 定义 瞬间时刻利率强度 利息力 利息力 衡量确切时点上利率水平的指标 定义利息力 为 故 等价公式 一般公式恒定利息效力场合 例2 4 确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1 2 例2 4答案 三 变利息 什么是变利息 常见的变利息情况连续变化场合 函数利息力离散变化场合 例2 5 1 如果 试确定1在n年末的积累值 2 如果实质利率在头5年为5 随之5年为4 5 最后5年为4 试确定1000元在15年末的积累值 3 假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6 计息 随之2年以季度转换8 的年贴现率计息 若5年后积累值为1000元 问这笔资金初始投资额应该为多少 例2 5答案 第二节 利息问题求解原则 一 利息问题求解四要素 原始投资本金投资时期长度利率及计息方式期初 期末计息 利率 贴现率积累方式 单利计息 复利计息利息转换时期 实质利率 名义利率 利息效力本金在投资期末的积累值 二 利息问题求解原则 本质 任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题工具 现金流图方法 建立现金流分析方程 求值方程 原则 在任意时间参照点 求值方程等号两边现时值相等 0 现金流时间坐标 例2 6 求本金 某人为了能在第7年末得到1万元款项 他愿意在第一年末付出1千元 第3年末付出4千元 第8年末付出X元 如果以6 的年利率复利计息 问X 例2 6答案 以第7年末为时间参照点 有以第8年末为时间参照点 有以其他时刻为时间参照点 同学们自己练习 例2 7 求利率 1 某人现在投资4000元 3年后积累到5700元 问季度计息的名义利率等于多少 2 某人现在投资3000元 2年后再投资6000元 这两笔钱在4年末积累到15000元 问实质利率 例2 7答案 1 2 例2 8 求时间 假定分别为12 6 2 问在这三种不同的利率场合复利计息 本金翻倍分别需要几年 例2 8精确答案 例2 9近似答案 ruleof72 例2 10 求积累值 某人现在投资1000元 第3年末再投资2000元 第5年末再投资2000元 其中前4年以半年度转换名义利率5 复利计息 后三年以恒定利息力3 计息 问到第7年末此人可获得多少积累值 例2 10答案 第三节 年金 第三节汉英名词对照 年金支付期延付年金初付年金永继年金变额年金递增年金递减年金 AnnuityPaymentperiodAnnuity immediateAnnuity dueperpetuityVaryingannuityIncreasingannuityDecreasingannuity 一 年金的定义与分类 定义按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金 原始含义是限于一年支付一次的付款 现已推广到任意间隔长度的系列付款 分类基本年金等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金 年金 年金 每隔一个相等的时间间隔的一系列固定数额的收付款方式 期首付年金期末付年金 二 基本年金 基本年金等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定分类付款时刻不同 初付年金 延付年金付款期限不同 有限年金 永继年金 年金 年金 每隔一个相等的时间间隔的一系列固定数额的收付款方式 期首付年金期末付年金 基本年金图示 0123 nn 1n 2 111 100 111 1000 11 111 111 111 延付永继年金 初付永继年金 延付年金 初付年金 基本年金公式推导 期首付年金现值 期末付年金现值 期首付年金终值 期末付年金终值 等额确定年金的终值和现值 n年定期的每年1单位元期首付年金 期末付年金的现值和终值间关系图 一年多次收付的年金 对于n年定期 每年收付m次 每次1 m元的期首付年金现值 以表示 一年多次收付的年金 对于n年定期 每年收付m次 每次1 m元的期末付年金现值以表示 一年多次收付的年金 对于n年定期 每年收付m次 每次1 m元的期首付年金在n年末的终值为 一年多次收付的年金 对于n年定期 每年收付m次 每次1 m元的期末付年金在n年末的终值为 永续年金 定义 收付时期没有限制 每隔一个间隔永远连续收付的年金 相当于前面定期年金当时期n趋于无穷大时的值 每年一元期末付永续年金现值为 永续年金 其他永续年金现值为 例2 11 一项年金在20年内每半年末付500元 设利率为每半年转换9 求此项年金的现时值 例2 12 某人以月度转换名义利率5 58 从银行贷款30万元 计划在15年里每月末等额偿还 问 1 他每月等额还款额等于多少 2 假如他想在第五年末提前还完贷款 问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱 例2 12答案 1 2 例2 13 假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年 随后再每6个月付款100直到从现在起满10年 若求这些付款的现时值 例2 13答案 方法一 方法二 例2 14 有一企业想在一学校设立一永久奖学金 假如每年发出5万元奖金 问在年实质利率为20 的情况下 该奖学金基金的本金至少为多少 例2 15 永继年金 A留下一笔100000元的遗产 这笔财产头10年的利息付给受益人B 第2个10年的利息付给受益人C 此后的利息都付给慈善机构D 若此项财产的年实质利率为7 试确定B C D在此笔财产中各占多少份额 例2 15答案 基本年金公式总结 未知时间问题 年金问题四要素年金 利率 支付时期 次数 积累值 现时值 关注最后一次付款问题在最后一次正规付款之后 下一个付款期做一次较小付款 droppayment 在最后一次正规付款的同时做一次附加付款 balloonpayment 例2 16 有一笔1000元的投资用于每年年底付100元 时间尽可能长 如果这笔基金的年实质利率为5 试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额 其中假定较小付款是 1 在最后一次正规付款的日期支付 2 在最后一次正规付款以后一年支付 3 按精算公式 在最后一次付款后的一年中间支付 精算时刻 例2 16答案 变利率年金问题 类型一 时期利率 第K个时期利率为 变利率年金问题 类型二 付款利率 第K次付款的年金始终以利率计息 例2 17 某人每年年初存进银行1000元 前4年的年利率为6 后6年由于通货膨胀率 年利率升到10 计算第10年年末时存款的积累值 例2 17答案 例2 18 某人每年年初存进银行1000元 前4次存款的年利率为6 后6次付款的年利率升到10 计算第10年年末时存款的积累值 例2 18答案 三 一般年金 一般年金利率在支付期发生变化付款频率与利息转换频率不一致每次付款金额不恒定分类支付频率不同于计息频率的年金支付频率小于计息频率的年金支付频率大于计息频率的年金变额年金 支付频率不同于计息频率年金 分类支付频率小于利息转换频率支付频率大于利息转换频率方法通过名义利率转换 求出与支付频率相同的实际利率 年金的代数分析 支付频率小于计息频率年金 0 k 2k nk 计息 支付 1 1 1 例2 19 某人每年年初在银行存款2000元 假如每季度计息一次的年名义利率为12 计算5年后该储户的存款积累值 例2 19答案 方法一 利率转换法方法二 年金转换法 例2 20 永继年金 有一永继年金每隔k年末付款1元 问在年实质利率为i的情况下 该永继年金的现时值 支付频率大于利息转换频率 支付频率大于 0 第m次每次支付 第2m次每次支付 第nm次每次支付 计息 支付 1 2 n 年金分析方法 方法一 利率转换法 年金转换法 例2 21 某购房贷款8万元 每月初还款一次 分10年还清 每次等额偿还 贷款年利率为10 98 计算每次还款额 例2 21答案 方法一 方法二 例2 22 永继年金 一笔年金为每6个月付1元 一直不断付下去 且第一笔付款为立即支付 问欲使该年金的现时值为10元 问年度实质利率应为多少 例2 22答案 年金关系 一般年金代数公式 连续年金 定义 付款频率无穷大的年金叫连续年金 公式 恒定利息效力场合 例2 23 确定利息效力使 变额年金 等差年金递增年金递减年金等比年金 变额年金 变额年金是每次收付额不等的年金常见的有 每次收付额等差递增或递减每次收付额等比递增 等差年金 一般形式现时值积累值 0 1 2 n P P Q P n 1 Q 特殊等差年金 变额递增年金 如果在n年定期内 第一年末收付1单位元 第2年末收付2单位元 以后每次比上一次递增1单位元的期末付年金现值以表示 变额递增年金 两者相减后得 代入上式后得 上述年金期首付时 年金现值为 变额递减年金 当第一年收付n元 以后每隔一年收付额减少一单位元的n年定期递减的期末付年金为 上述定期递减年金在期首付时 为 变额年金的终值是相应年金现值与利率累积系数之积 例2 24 从首次付款1开始 以后每次付款递增1 只增加到M 然后保持付款额不变的N年期期末付年金 可以表示成计算 例2 24答案 例2 25 有一项延付年金 其付款额从1开始每年增加1直至n 然后每年减少1直至1 试求其现时值 例2 25答案 等比年金 0 1 2 n 1 1 k 等比递增年金 对等比递增的年金 如果第一年1单位元 以后收付额每年递增j比例 n年定期的年金现值为 例2 26 某期末付永继年金首付款额为5000元 以后每期付款额是前一期的1 05倍 当利率为0 08时 计算该永继年金的现时值 例2 26答案 第四节 收益率 第四节中英文单词对照 贴现资金流收益率再投资率时间加权利率币值加权利率 DiscountedcashflowyieldrateReinvestmentrateTime weightedratesofinterestDollar weightedratesofinterest 贴现资金流分析 例2 27 现金流动表按利率投资返回的净现时值 不同利率水平下的净现时值 收益率的概念 使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率 也称为 内返回率 用线形插值法求得上例中收益率为22 65 收益率投资方希望收益率越高越好 借贷方希望收益率越低越好 收益率的唯一性 例2 28 某人立即付款100元 并在第2年末付132元 以换回第1年末返回230元 求这笔业务的收益率 解答 收益率的唯一性 由于收益率是高次方程的解 所以它的值很可能不是唯一的 Descartes符号定理收益率的最大重数小于等于资金流的符号改变次数 收益率唯一性的判定定理二整个投资期间未动用投资余额始终为正 未动用投资余额 收益率唯一性判别 D氏符号判别 例2 27 例2 28 再投资率 本金的再投资问题例2 29 有两个投资方案可供我们选择A方案 实质利率为10 为期5年B方案 实质利率为8 为期10年我们应该选择哪项投资 例2 29资金积累过程 例2 29答案 如果A五年后的再投资率 6 036 选择A 否则选择B 利息的再投资问题 一 例2 30 某人一次性投资10万元进基金A 该基金每年年末按7 的年实质利率返还利息 假如利息可按5 实质利率再投资 问10年后这10万元的积累金额等于多少 0 1 2 10 例2 30的积累过程 利息再投资帐户 基金帐户 例2 31答案 利息的再投资问题 二 例2 32 例2 31续 假如此人在10年期内每年年初都投资1万元进基金A 本金按7 年实质利率计息 而利息可按5 实质利率再投资 那么第10年末该这10万本金的积累金额又等于多少 0 1 2 10 例2 32的积累过程 基金帐户 利息再投资帐户 基金收益率计算 基本符号A 初始资金B 期末资金I 投资期内利息Ct t时期的净投入 可正可负 C 在b时刻投资1元 经过a时期的积累 产生的利息 币值加权方法 时间加权方法 原理 基本公式 例2 32 某投资基金1月1日 投资100000元5月1日 该笔资金额增加到112000元 并再投资30000元11月1日 该笔资金额降低为125000元 并抽回投资42000元 次年1月1日 该资金总额为100000元 请分别用币值加权的方法和时间加权的方法计算这一年该投资基金的年收益率 例2 32答案 币值加权和时间加权的比较 都是计算单位时期投资收益率的方法币值加权方法重点考察的是整个初始本金经过一个单位时期综合投资之后的实际受益率 时间加权方法得到的是在这种市场条件下能达到的理论收益率 它可以作为考察投资正确与否的某个指标 第五节 分期支付与偿债基金 第五节中英文单词对照 分期偿还方法分期偿还表偿债基金偿债基金表 AmortizationmethodAmortizationscheduleSinkingfundSinkingfundschedule 债务偿还方式 分期偿还 借款人在贷款期内 按一定的时间间隔 分期偿还贷款的本金和利息 偿债基金 借款人每期向贷款人支付贷款利息 并且按期另存一笔款项 建立一个基金 在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金 一次偿付给贷款者 分期偿还 常见分期偿还类型等额分期偿还不等额分期偿还递增分期偿还递减分期偿还 分期偿还五要素时期每次还款额每次偿还利息每次偿还本金未偿还贷款余额 等额分期偿还 等额分期偿还债务的方法是在规定的还款期内每次偿还相等数额的还款方式 每次偿还金额为第k期末的未偿还本金余额贷款本金是B0 是Bk 还款期限为n年 每年末还款 年实际利率为i 等额分期偿还表 变额分期偿还 变额分期偿还指每期偿还的金额不等的还款方式 原始贷款金额为B0 第k期偿还的金额为Rk k 1 2 n 例2 26 一笔金额为nR元的贷款 年利率为i 期限为n年 每年偿还R元本金 其分期偿还表如下 分期偿还表 等额贷款为例 例2 33 某借款人每月末还款一次 每次等额还款3171 52元 共分15年还清贷款 每年计息12次的年名义利率为5 04 计算 1 第12次还款中本金部分和利息部分各为多少 2 若此人在第18次还款后一次性偿还剩余贷款 问他需要一次性偿还多少钱 前18次共偿还了多少利息 例2 33答案 偿债基金 常见偿债基金类型等额偿债基金不等额偿债基金 偿债基金六要素时期每期偿还利息每次存入偿债基金金额每期偿债基金所得利息偿债基金积累额未偿还贷款余额 偿债基金 偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分期偿还贷款的利息 同时为了能够在贷款期末一次性偿还贷款的本金 定期向一个 基金 供款 使该 基金 在贷款期末的积累值正好等于贷款本金 这一基金称为偿债基金 其基金累计的利率与贷款利率可能相等 也可能不等 等额偿债基金 等额偿债基金方法下借款人每期向偿债基金的储蓄金额相等 设为D 如果该偿债基金每期的利率恒为j n为贷款期限 当期支付的利息设为I 则借款人每期支付总金额为 假设偿债基金的利率与贷款利率相等 即j i 则借款人每期支付总金额为 变额偿债基金 设原始贷款本金为B0 贷款利率为i 偿债基金利率为j 借款人在第k期末支付的总金额为Rk k 1 2 n 则 第k期末向偿债基金的储蓄额为 Rk iB0 偿债基金在第n期末的累积值等于原始贷款本金B0 即 当i j时 偿债基金表 贷款利率i 偿债基金利率j 贷款1元 偿债基金利息本金分析 对偿债基金而言 第次付款的实际支付利息为 第次付款的实际偿还本金为 例2 34 A曾借款1万元 实质利率为10 A积累一笔实质利率为8 的偿债基金一偿还这笔贷款 在第10年末偿债基金余额为5000元 在第11年末A支付总额为1500元 问1500中又多少是当前支付给贷款的利息 1500中有多少进入偿债基金 1500中又多少应被认为是利息 1500中有多少应被视为本金 第11年末的偿债基金余额为多少 例2 34答案 例2 35 1 一位借款人向贷款人借L元贷款 在10年内以每年年末付款来偿还这一实质利率为5 的贷款 其付款方式为 第一年付款200元 第二年付190元 如此递减至第10年末付110元 求贷款金额L 2 假如该借款人贷款年限与付款方式与 1 相同 但采用偿债基金形式还清贷款 在还款期内该借款人向贷款人每年支付实质利率为6 的利息 并以实质利率为5 的偿债基金以偿还贷款金额 求贷款金额L 例2 35答案 债券价值 按利息的支付方式 债券可分为零息债券和附息债券两种 零息债券在债券到期前不支付利息 而是在债券到期时随本金一次性支付所累计的利息 附息债券由发行人在到期日前定期支付利息 投资者可定期获得固定的息票收入 债券定价原理 债券的理论价格就是债券未来息票收入的现值和到期偿还值的现值之和 基本符号和概念 P 债券的理论价格 i 投资者要求的收益率或市场利率 F 债券的面值 C 债券的偿还值 r 债券的息票率 rF 每期的息票收入 g 债券的修正息票率 n 息票的偿还次数 K 偿还值按收益率i计算的现值 G 债券的基价 债券价值 基本公式 溢价公式 基价公式 Makeham公式 债券的账面价值 整数息票支付周期的债券价格和账面值第k期末的账面值为 任意时点的账面值 第三章 生命表函数与生命表构造 本章重点 生命表函数生存函数剩余寿命死亡效力生命表的构造有关寿命分布的参数模型生命表的起源生命表的构造选择与终极生命表有关分数年龄的三种假定 本章中英文单词对照 死亡年龄生命表剩余寿命整数剩余寿命死亡效力极限年龄选择与终极生命表 Age at deathLifetableTime until deathCurtate future lifetimeForceofmortalityLimitingateSelect and ultimatetables 第一节 生命表函数 生命表相关定义 生命表 反映在封闭人口的条件下 一批人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表 封闭人口 指所观察的一批人只有死亡变动 没有因出生的新增人口和迁入或迁出人口 生命表基本函数 lx 存活到确切整数年龄x岁的人口数 x 0 1 1 ndx 在x x n岁死亡的人数 当n 1时 简记为dxnqx x岁的人在x x n岁死亡的概率 当n 1时 简记为qx 生存分布 一 新生儿的生存函数二 x岁余寿的生存函数三 死亡力四 整值平均余寿与中值余寿 F x 新生儿未来存活时间 新生儿的死亡年龄 为x的分布函数 s x 生存函数 它是新生儿活到x岁的概率 以概率表示为xp0 新生儿在x z岁间死亡的概率 以概率的方式表示为 新生儿的生存函数 新生儿的生存函数 生命表函数中的存活人数lx正是生命表基数l0与x岁生存函数之积 lx l0s x 而s x 曲线形状如下图所示 x岁余寿的生存函数 以 x 表示年龄是x岁的人 x 的余寿以T x 表示 x岁的人在t时间内存活的概率tpx 当x 0时 T 0 X 正是新生儿未来余寿随机变量 x岁的人在t时间内死亡的概率tqx x岁余寿的生存函数 考虑x岁的人的剩余寿命时 往往知道这个人已经活到了x岁 tqx实际是一个条件概率 x岁的人在x t x t u的死亡概率 以概率的方式表示为 x岁余寿的生存函数 整值剩余寿命 定义 未来存活的完整年数 简记概率函数 生存函数 定义意义 新生儿能活到岁的概率 与分布函数的关系 与密度函数的关系 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率 剩余寿命 定义 已经活到x岁的人 简记 x 还能继续存活的时间 称为剩余寿命 记作T x 分布函数 剩余寿命 剩余寿命的生存函数 特别 剩余寿命 x岁的人至少能活到x 1岁的概率 x岁的人将在1年内去世的概率 X岁的人将在x t岁至x t u岁之间去世的概率 生命表基本函数 表示x岁的人存活n年并在第n 1年死亡的概率 或x岁的人在x n x n 1岁死亡的概率 表示x岁的人在x n x n m岁之间死亡的概率 整值剩余寿命 定义 未来存活的完整年数 简记概率函数 剩余寿命的期望与方差 期望剩余寿命 剩余寿命的期望值 均值 简记剩余寿命的方差 整值剩余寿命的期望与方差 期望整值剩余寿命 整值剩余寿命的期望值 均值 简记整值剩余寿命的方差 生命表基本函数 1 2 3 生命表基本函数 npx x x n岁的存活概率 与nqx相对的一个函数 当n 1 简记为px 生命表基本函数 nLx x岁的人在x x n生存的人年数 人年数是表示人群存活时间的复合单位 1个人存活了1年是1人年 2个人每人存活半年也是1人年 在死亡均匀分布假设下 x x n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n 2年 而活到lx n岁的人存活了n年 故 当n 1时 x岁人群的平均余寿 表明未来平均存活的时间 当x为0时 表示出生时平均余寿 即出生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数 生命表基本函数 Tx x岁的人群未来累积生存人年数 在均匀分布假设下 死亡力 定义 的瞬时死亡率 简记死亡力与生存函数的关系 死亡力 实际上生命表x岁平均余寿 正是T x 随机变量的期望值 死亡力 死亡力 生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx t与死亡力之积在0 1上的积分 生命表x岁生存人年数Lx正是生存人数函数lx t在0 1上的积分 生命表x岁累积生存人年数Tx正是生存人数函数lx t在0 上的积分 死亡力 对于x岁期望剩余寿命 可以证明 死亡效力 定义 的瞬时死亡率 简记死亡效力与生存函数的关系 死亡效力 死亡效力与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命的密度函数 整值平均余寿与中值余寿 x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数 不包括不满1年的零数余寿 它是整值余寿随机变量K x 的期望值 以ex表示 整值平均余寿与中值余寿 由于 所以 整值平均余寿与中值余寿 由于 故 在死亡均匀分布假设下 故 整值平均余寿与中值余寿 中值余寿是 x 的余寿T x 的中值 x 在这一年龄之前死亡和之后死亡的概率均等于50 以m x 表示x岁的中值余寿 则 即 非整数年龄存活函数的估计 死亡均匀分布假设死亡力恒定假设巴尔杜奇 Balducci 假设 有关非整数年龄的假设 使用背景 生命表提供了整数年龄上的寿命分布 但有时我们需要分数年龄上的生存状况 于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据 选择某种分数年龄的生存分布假定 估计分数年龄的生存状况基本原理 插值法常用方法均匀分布假定 线性插值 常数死亡力假定 几何插值 Balducci假定 调和插值 死亡均匀分布假设 假设死亡在整数年龄之间均匀发生 此时存活函数是线性的 死亡均匀分布假设 0 t 0 y 0 t y 当假设死亡力在x x 1上恒定时 x为整数 0 t 1 死亡力恒定假设 由死亡力的定义 死亡力恒定假设 若以 表示 有 此时 巴尔杜奇 Balducci 假设 以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名 这一假设是当x为整数 0 t 1时 生存函数的倒数是t的线性函数 即 巴尔杜奇 Balducci 假设 其中 0 t 1 0 y 1 0 t y 1 此时 三种假定下的生命表函数 第二节 生命表的构造 生命表的编制 一 生命表编制的一般方法二 选择生命表 生命表编制的一般方法 时期生命表 假设同批人生命表 采用假设同批人方法编制 描述某一时期处于不同年龄人群的死亡水平 反映了假定一批人按这一时期各年龄死亡水平度过一生时的生命过程 Dx 某年龄x岁的死亡人数 x岁的平均人数 即年初x岁人数与年末x岁人数的平均数 有时也用年中人数代替 x岁的中心死亡率 分年龄死亡率 为 生命表编制的一般方法 生命表分年龄中心死亡率 生命表分年龄死亡人数在分年龄生存人年数中的比例 生命表编制的一般方法 在死亡均匀分布假设下 有 变换后 通常与非常接近 实际中常用近似 选择生命表 选择生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因 刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员 需要构造终极生命表的原因 选择效力会随时间而逐渐消失选择生命表的使用 选择生命表函数关系 有关寿命分布的参数模型 DeMoivre模型 1729 Gompertze模型 1825 有关寿命分布的参数模型 Makeham模型 1860 Weibull模型 1939 参数模型的问题 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型 这四个常用模型的拟合效果不令人满意 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布 而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布 在非寿险领域 常用参数模型拟合物体寿命的分布 生命表起源 生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表 生命表的发展历史1662年 JoneGraunt 根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单 写过 生命表的自然和政治观察 这是生命表的最早起源 1693年 EdmundHalley 根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计 在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布 人们因而把Halley称为生命表的创始人 生命表的特点构造原理简单 数据准确 大样本场合 不依赖总体分布假定 非参数方法 生命表的构造 原理在大数定理的基础上 用观察数据计算各年龄人群的生存概率 用频数估计频率 常用符号新生生命组个体数 年龄 极限年龄 生命表的构造 个新生生命能生存到年龄X的期望个数 个新生生命中在年龄x与x n之间死亡的期望个数 特别 n 1时 记作 生命表的构造 个新生生命在年龄x至x t区间共存活年数 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数 生命表实例 美国全体人口生命表 例2 1 已知计算下面各值 1 2 20岁的人在50 55岁死亡的概率 3 该人群平均寿命 例2 1答案 选择 终极生命表 选择 终极生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因 刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员 需要构造终极生命表的原因 选择效力会随时间而逐渐消失选择 终极生命表的使用 选择 终极表实例 第三节 有关分数年龄的假设 有关分数年龄的假设 使用背景 生命表提供了整数年龄上的寿命分布 但有时我们需要分数年龄上的生存状况 于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据 选择某种分数年龄的生存分布假定 估计分数年龄的生存状况基本原理 插值法常用方法均匀分布假定 线性插值 常数死亡力假定 几何插值 Balducci假定 调和插值 三种假定 均匀分布假定 线性插值 常数死亡力假定 几何插值 Balducci假定 调和插值 三种假定下的生命表函数 例2 2 已知分别在三种分数年龄假定下 计算下面各值 例2 2答案 例2 2答案 例2 2答案 第三章 人寿保险趸缴纯保费的厘定 本章结构 人寿保险趸缴纯保费厘定原理死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定递归方程计算基数 第三章中英文单词对照一 趸缴纯保费精算现时值死亡即刻赔付保险死亡年末给付保险定额受益保险 NetsinglepremiumActuarialpresentvalueInsurancespayableatthemomentofdeathInsurancespayableattheendoftheyearofdeathLevelbenefitinsurance 第三章中英文单词对照二 定期人寿保险终身人寿保险两全保险生存保险延期保险变额受益保险 TermlifeinsuranceWholelifeinsuranceEndowmentinsurancePureendowmentinsuranceDeferredinsuranceVaryingbenefitinsurance 第一节 人寿保险趸缴纯保费厘定的原理 人寿保险简介 什么是人寿保险狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险 它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险 也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险 人寿保险的分类 受益金额是否恒定定额受益保险变额受益保险保单签约日和保障期期始日是否同时进行非延期保险延期保险 保障标的的不同人寿保险 狭义 生存保险两全保险保障期是否有限定期寿险终身寿险 人寿保险的性质 保障的长期性这使得从投保到赔付期间的投资受益 利息 成为不容忽视的因素 保险赔付金额和赔付时间的不确定性人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况 被保险人的死亡时间是一个随机变量 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量 它依赖于被保险人剩余寿命分布 被保障人群的大数性这就意味着 保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险 趸缴纯保费的厘定 假定条件 假定一 同性别 同年龄 同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的 假定二 被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合 假定三 保险公司可以预测将来的投资受益 即预定利率 纯保费厘定原理 原则保费净均衡原则解释所谓净均衡原则 即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值 它的实质是在统计意义上的收支平衡 是在大数场合下 收费期望现时值等于支出期望现时值 基本符号 投保年龄的人 人的极限年龄 保险金给付函数 贴现函数 保险给付金在保单生效时的现时值 趸缴纯保费的厘定 趸缴纯保费的定义在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值趸缴纯保费的厘定按照净均衡原则 趸缴纯保费就等于 第二节 死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定 死亡即刻赔付 死亡即刻赔付的含义死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 保险公司将在死亡事件发生之后 立刻给予保险赔付 它是在实际应用场合 保险公司通常采用的理赔方式 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻 所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量 它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命 主要险种的趸缴纯保费的厘定 n年期定期寿险终身寿险延期m年的终身寿险n年期生存保险n年期两全保险延期m年的n年期的两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险 1 n年定期寿险 定义保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种 又称为n年死亡保险 假定 岁的人 保额1元n年定期寿险基本函数关系 趸缴纯保费的厘定 符号 厘定 现值随机变量的方差 方差公式记 相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费 所以方差等价为 例3 1 设计算 例3 1答案 2 终身寿险 定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种 假定 岁的人 保额1元终身寿险基本函数关系 趸缴纯保费的厘定 符号 厘定 现值随机变量的方差 方差公式记所以方差等价为 例3 2 设 x 投保终身寿险 保险金额为1元保险金在死亡即刻赔付签单时 x 的剩余寿命的密度函数为计算 例3 2答案 例3 2答案 3 延期终身寿险 定义保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种 假定 岁的人 保额1元 延期m年的终身寿险基本函数关系 死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定 符号 厘定 现值随机变量的方差 方差公式记所以方差等价于 例3 3 假设 x 投保延期10年的终身寿险 保额1元 保险金在死亡即刻赔付 已知求 例3 3答案 4 n年定期生存保险 定义被保险人投保后生存至n年期满时 保险人在第n年末支付保险金的保险 假定 岁的人 保额1元 n年定期生存保险基本函数关系 趸缴纯保费的厘定 符号 趸缴纯保费厘定现值随机变量的方差 5 n年定期两全保险 定义被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡 保险人即刻给付保险金 如果被保险人生存至n年期满 保险人在第n年末支付保险金的保险 它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合 假定 岁的人 保额1元 n年定期两全保险基本函数关系 趸缴纯保费的厘定 符号 厘定记 n年定期寿险现值随机变量为n年定期生存险现值随机变量为n年定期两全险现值随机变量为已知则 现值随机变量方差 因为所以 例3 4 例3 1续 设计算 例3 4答案 6 延期m年n年定期两全保险 定义被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿 从第m 1年开始为期n年的定期两全保险假定 岁的人 保额1元 延期m年的n年定期两全保险基本函数关系 趸缴纯保费的厘定 符号 厘定 现值随机变量的方差 记 m年延期n年定期寿险现值随机变量为m年延期n年定期生存险现值随机变量为m年延期n年定期两全险现值随机变量为已知则 7 递增终身寿险 定义 递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况 假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数特别 一年递增一次一年递增m次一年递增无穷次 连续递增 一年递增一次 现值随机变量趸缴保费厘定 一年递增m次 现值随机变量趸缴保费厘定 一年递增无穷次 连续递增 现值随机变量趸缴保费厘定 8 递减定期寿险 定义 递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况 假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数特别 一年递增一次一年递增m次一年递增无穷次 连续递增 一年递减一次 现值随机变量趸缴保费厘定 一年递减m次 现值随机变量趸缴保费厘定 一年递减无穷次 连续递减 现值随机变量趸缴保费厘定 第三节 死亡年末赔付趸缴纯保费的厘定 死亡年末赔付 死亡年末赔付的含义死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡 保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末 所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量 它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一 这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数 所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方式 基本符号 岁投保的人整值剩余寿命 保险金在死亡年末给付函数 贴现函数 保险赔付金在签单时的现时值 趸缴纯保费 定期寿险死亡年末赔付场合 基本函数关系记k为被保险人整值剩余寿命 则 趸缴纯保费的厘定 符号 厘定 现值随机变量的方差 公式记等价方差为 死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳 例3 5 x 岁的人投保5年期的定期寿险 保险金额为1万元 保险金死亡年末给付 按附录2示例生命表计算 1 20岁的人按实质利率为2 5 计算的趸缴纯保费 2 60岁的人按实质利率为2 5 计算的趸缴纯保费 3 20岁的人按实质利率为6 计算的趸缴纯保费 4 60岁的人按实质利率为6 计算的趸缴纯保费 例3 5答案 死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系 剩余寿命在分数时期均匀分布假定 以终身寿险为例 有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命 则有 死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系 UDD 在满足如下两个条件的情况下 死亡即刻赔付净趸缴纯保费是死亡年末赔付净趸缴纯保费的倍 条件1 条件2 只依赖于剩余寿命的整数部分 即 例3 6 x 岁的人投保5年期的两全保险 保险金额为1万元 保险金死亡即刻给付 按附录2示例生命表计算 1 20岁的人按实质利率为2 5 计算的趸缴纯保费 2 60岁的人按实质利率为2 5 计算的趸缴纯保费 3 20岁的人按实质利率为6 计算的趸缴纯保费 4 60岁的人按实质利率为6 计算的趸缴纯保费 例3 6答案 例3 7 对 50 岁的男性第一年死亡即刻给付5000元 第二年死亡即刻给付4000元 以此按年递减5年期人寿保险 根据附录2生命表 以及死亡均匀分布假定 按年实质利率6 计算趸缴纯保费 例3 7答案 第四节 递归公式 趸缴纯保费递推公式 公式一 理解 x 的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于 x 在第一年死亡的情况下1单位的赔付额 或生存满一年的情况下净趸缴保费 趸缴纯保费递推公式 公式二 解释 个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累 当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费 还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的 趸缴纯保费递推公式 公式三 解释 年龄为x的被保险人在活到x 1岁时的净趸缴保费与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提供一年的保险成本 趸缴纯保费递推公式 公式四 解释 y 的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成本的现时值之和 第五节 计算基数 常用计算基数 计算基数引进的目的 简化计算常用基数 用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费 例3 8 考虑第1年死亡即刻赔付10000 第2年死亡即刻赔付9000元并以此类推递减人寿保险 按附录2生命表及i 0 06计算 30 的人趸缴纯保费 1 保障期至第10年底 2 保障期至第5年底 例3 8答案 第四章 生存年金 本章结构 生存年金简介与生存相联的一次性支付连续生存年金离散生存年金年h次支付生存年金等额年金的计算基数公式 第四章中英文单词对照 生存年金初付年金延付年金确定性年金当期支付技巧综合支付技巧 LifeannuityAnnuities dueAnnuities immediateAnnuities certainCurrentpaymenttechniqueAggregatepaymenttechnique 第一节 生存年金简介 生存年金 生存年金的定义 以被保险人存活为条件 间隔相等的时期 年 半年 季 月 支付一次保险金的保险类型分类初付年金 延付年金连续年金 离散年金定期年金 终身年金非延期年金 延期年金 生存年金与确定性年金的关系 确定性年金支付期数确定的年金 利