第二讲　直线与圆的位置关系.doc

第二讲直线与圆的位置关系1圆周角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_(2)圆心角定理：圆心角的度数等于_推论1：同弧或等弧所对的圆周角_；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也_推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是_2圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆的内接四边形的对角_定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的_(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点_推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_3圆的切线的性质及判定定理(1)性质性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过_(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_4弦切角的性质定理：弦切角等于它所夹的弧所对的_5与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的_相等(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的_相等(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的_(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的_1(课本习题改编)如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB、PD，PAAB，CD3，则PC等于_2如图，四边形ABCD内接于O，BC是直径，MN与O相切，切点为A，MAB30，则D_.2题图3题图3如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD2，BD4，则EA_.4(课本习题改编)如图，PA切O于点A，割线PBC经过圆心O，OBPB1，OA绕点O逆时针旋转60到OD，则PD的长为_4题图5题图5(2012湖南)如图所示，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_.题型一圆的内接四边形的性质与判定例1如图，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点若C50，则IEH_.思维升华证明多点共圆时，若它们在一条线段同侧，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；若两点在一条线段两侧，则证明它们与已知线段两端点连成的凸四边形对角互补当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点，则OAMAPM_.题型二圆的切线的判定与性质例2如图，在RtABC中，C90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB，且AD2，AE6.(1)判断直线AC与BDE的外接圆的位置关系；(2)求EC的长思维升华证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连接圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径(2013广东)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BCCD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB6，ED2，则BC_.题型三与圆有关的比例线段例3(2012辽宁)如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交O于点E.证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2PAPC；(2)若O的半径为2，OAOM，求MN的长几何证明问题典例：(10分)(2012课标全国)如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.思维启迪(1)连接AF，利用平行关系构造平行四边形可得结论；(2)先证BCD和GBD为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可规范解答证明(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.5分因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.6分(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD，所以BGDBDG.8分由BCCD知CBDCDB，又因为DGBEFCDBC，所以BCDGBD.10分处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用圆的有关定理；(2)利用相似三角形；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系等温馨提醒(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决(2)证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角(4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件方法与技巧1圆是轴对称图形，利用这一点可研究垂径定理和圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理关系定理使我们在圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化；垂径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通2直线和圆的相切的位置关系，以及由它引伸出来的一系列知识，如切线长定理、弦切角定理和圆有关的比例线段定理是本节的重点，利用上述定理可很方便地证明角相等、线段相等以及线段的比例问题3处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用相似三角形；(2)利用圆的有关定理；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系等4在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向失误与防范圆中的有关定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面，在与定理相关的图形不完整时，要借助辅助线补齐相应部分在解题时要注意总结一些添加辅助线的技巧在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线就要想到切割线定理.A组专项基础训练1(2013湖南)如图，在半径为的O中，弦AB，CD相交于点P，PAPB2，PD1，则圆心O到弦CD的距离为_1题图2题图2(2013北京)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA3，PDDB916，则PD_，AB_.3(2012广东)如图所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足ABC30，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA_.3题图4题图4(2012陕西)如图所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB_.5(2012天津)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_5题图6题图6如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若ACB120，则APB_.7如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，ADCE于点D，若AD1，ABC30，则圆O的面积是_7题图8题图8如图所示，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB7，C是圆上一点使得BC5，BACAPB，则AB_.9如图所示，已知在ABC中，ABC90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB，DE，OC.若AD2，AE1，则CD_.9题图10题图10如图，半径为2的O中，AOB90，D为OB的中点，AD的延长线交O于点E，则线段DE的长为_B组专项能力提升1如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为_2如图所示，已知AB和AC分别是O的弦和切线，A为切点，AD为BAC的平分线，且交O于D，BD的延长线与AC交于C，AC6，AD5，则CD的长为_2题图3题图3如图，PA是圆O的切线，切点为A，PA2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB1，则圆O的半径R等于_4(2013重庆)如图，在ABC中，C90，A60，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为_4题图5题图5如图，AB，CD是圆O内的两条平行弦，BFAC，BF交CD于点E，交圆O于点F，过A点的切线交DC的延长线于点P，若PCED1，PA2，则AC的长为_6如图，AB是圆O的直径，CDAB于D，且AD2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F.若CD，则AB_，EF_.6题图7题图7(2013天津)如图，ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若ABAC，AE6，BD5，则线段CF的长为_答案基础知识自主学习要点梳理1(1)一半(2)它所对弧的度数相等相等直角直径2(1)互补对角(2)共圆共圆3(1)半径切点圆心(2)切线4圆周角5(1)积(2)积(3)比例中项(4)夹角夯基释疑122.1203.4.5.解析设O的半径为r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延长PO交O于点C，则PCPOr3r.设PO交O于点D，则PD3r.由圆的割线定理知，PAPBPDPC，13(3r)(3r)，9r23，r.题型分类深度剖析例125解析由圆I与边AC相切于点E，得IEAE，结合IHAH，得AEIAHI90 .所以，四点A，I，H，E共圆则IEHHAI.又HIAABIBAIABCBAC(ABCBAC)(180C)90C.结合IHAH，得HAI90HIAC，所以IEHC.由C50得IEH25.跟踪训练190解析连接OP，OM，因为AP与O相切于点P，所以OPAP，因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC，于是OPAOMA180.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆所以OAMOPM，由(1)得OPAP，由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90，所以OAMAPM90.例2解(1)取BD的中点O，连接OE.BE平分ABC，CBEOBE.又OBOE，OBEBEO，CBEBEO，BCOE.C90，OEAC，直线AC是BDE的外接圆的切线，即直线AC与BDE的外接圆相切(2)设BDE的外接圆的半径为r.在AOE中，OA2OE2AE2，即(r2)2r262，解得r2，OA2OE，A30，AOE60.CBEOBE30，ECBEr23.跟踪训练22解析C为BD中点，且ACBC，故ABD为等腰三角形ABAD6，AE4，DE2，又AC2AEAD4624，AC2，在ABC中，BC2.例3证明(1)由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而，即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A，得AEDBAD.又ADEBDA，得EADABD.从而，即AEBDADAB.结合(1)的结论知，ACAE.跟踪训练3(1)证明连接ON，则ONPN，且OBN为等腰三角形，则OBNONB，PMNOMB90OBN，PNM90ONB，PMNPNM，PMPN.根据切割线定理，有PN2PAPC，PM2PAPC.(2)解OM2，在RtBOM中，BM4.延长BO交O于点D，连接DN.由条件易知BOMBND，于是，即，BN6.MNBNBM642.练出高分A组1.解析在O中，PAPBPCPD，22PC1，PC4，CD5.圆心O到CD的距离为 .2.4解析由PDDB916.设PD9a，DB16a，由切割线定理，PA2PDPB，即99a25a，a，所以PD.在RtPAB中，PB25a5，AB4.3.解析连接OA.AP为O的切线，OAAP.又ABC30，AOC60.在RtOAP中，OA1，PAOAtan 60.45解析由题意知，AB6，AE1，BE5.CEDEDE2AEBE5.在RtDEB中，EFDB，由射影定理得DFDBDE25.5.解析因为AFBFEFCF，解得CF2，所以，即BD.设CDx，AD4x，所以4x2，所以x.660解析如图，连接OA，OB，PAOPBO90，ACB120，AOB120.又P，A，O，B四点共圆，故APB60.74解析ACDABC30，AC2，AB4，故圆O的面积为224.8.解析根据圆的性质有PABACB，而BACAPB，故PABACB，故有，将PB7，BC5代入解得AB.93解析由切割线定理得AD2AEAB，所以AB4，EBABAE3.又OCDADE90CDB，AA，ADEACO，即，CD3.故CD的长等于3.10.解析延长BO交圆O于点F，由D为OB的中点，知DF3，DB1，又AOB90，所以AD，由相交弦定理知DFDBADDE，即31DE，解得DE.B组1.解析如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得CEB90，CBE30，AOB60，故AOB为等边三角形，AD，ODBD1，DF，AFADDF.24解析由