导数解答练习答案.doc

1已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最小值【答案】（1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由及，求处的切线方程，可由求切线方程的步骤，先求出导数，再求出该点处的导数值即斜率，代入点斜式可得；（2）由题求上的最小值为，可按求函数最值得步骤，先求导，因为值不确定，需对它进行分类讨论来分别解决，（确定单调性，求极值，最后与区间端点值比较），最后综合所有情况可得试题解析：（1）当时，切点为 ,切线的斜率为 切线方程为，即 （2） 当时，在上为增函数, 当时，若，即时，当时，当时，在上为减函数，在上为增函数, 若，即时，在上为减函数 综上： 考点：1运用导数求曲线上某点的切线方程；2导数求函数的最值及分类思想；2已知函数（1）当时，证明:（2）证明不等式【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题为证明函数 可构造函数转而运用导数，求它在定义域上的单调性，通过而得证；（2）由题为证明数列不等式，可结合（1）中的结论，进行累加而得证试题解析：（1）设 当时,当时,在上单调递增,在上单调递减, 当时,即（2）由（1）可知,当时, 分别令,可得将这个不等式相加,得 考点：（1）运用导数证明不等式 （2）运用函数的单调性及累加法证明数列不等式3设函数其中（）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（）讨论函数的单调性；（）设函数如果对于任意的，都有 恒成立，求实数的取值范围【答案】（）2；（）见解析；（）【解析】试题分析：（1）由题已知函数在点处的切线方程为，可得，又过点，可分别建立关于的方程组，求得的值；（2）由题函数（含参数），求单调区间，需先求导数，然后对参数分情况讨论，可分别出函数的单调区间（3）由任意的，都有为恒成立问题，可运用导数化为最值问题解决，即分别在给定的区间上化为的问题来处理试题解析：（）由题，求导因为，得； 又过点；所以，则； （）由，则；当a0时，当x0时，令，为增区间： ，令为减区间； 当 a0时， 令； ，则,则；当时，即恒成立，所以减区间为；当时，得;，令，为增区间： ，令为减区间；综上所述，a0时，增区间： ，减区间； 当时，减区间为；当时，增区间： ，减区间；（）由题意，函数在为减函数，则原题可转化为；，即；在 上恒成立，可化为；，在 上恒成立，令，只需求，在 上恒成立，求导；，因为，所以，函数在区间上为增函数，则，可得，即考点：（1）运用导数的几何意义及方程思想；（2）运用导数求函数的单调性及分类思想（3）导数的运用及恒成立中的最值思想4已知是函数的一个极值点，其中，（1）求与的关系式； （2）求的单调区间；（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围【答案】（1）（2）在递减，递增，递减（3）【解析】试题分析：（1）求出f（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f（1）=0求出m与n的关系式；（2）令f（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（3）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f（x）3m代入得到不等式即3m（x-1）x-（1+）3m，又因为m0，分x=1和x1，当x1时g（t）=t-，求出g（t）的最小值要使恒成立即要g（t）的最小值，解出不等式的解集求出m的范围试题解析：（1）因为是函数的一个极值点,所以,即，所以（2）由（1）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有，当时，在递减，递增，递减（3）由已知得，即又所以即设，其函数开口向上，由题意知式恒成立，所以解之得又所以即的取值范围为考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性5已知函数.（1）求的单调区间； （2）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）当时，函数的递减区间是，当时，函数的递增区间是，递减区间是；（2）.【解析】试题分析：（1）借助导数运用分类整合的思想分类求解;（2）借助题设条件和等价转化的数学思想,运用导数的知识求解.试题解析：（1）.当时，由，得，函数的递减区间是；当时，由得.当时，；当时，.函数的递增区间是，递减区间是；综上，当时，函数的递减区间是；当时，函数的递增区间是，递减区间是.（2）依题意，要满足对任意，均存在，使得，只需满足，由（1）知，当时，函数在区间上单调递减，值域为，不符合题意；（举反例: 取，则，产生矛盾.）当时，符合题意；当时，函数在区间上递增，在区间上递减，令，解得；综上，的取值范围是.考点：导数的有关知识及综合运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求函数的单调区间,解答时先求导再变形分类讨论是本题求解的一大特点；第二问中求参数的取值范围问题.求解时需要先对已知问题进行合理转化为,然后再运用导数的知识将分别求出,建立关于参数的不等式,从而求出其范围是.在这里如何将问题合理转化为是解答本题的关键也是难点.6已知函数.（1）当时，求函数零点的个数；（2）当时，求证：函数有且只有一个极值点；（3）当时，总有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）有且只有1个零点；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）依据题设运用导数的知识求解；（2）借助题设条件运用导数的知识分析推证；（3）借助题设条件构造函数运用导数求解.试题解析：（1）当时，.令得.函数在区间上单调递增，在上单调递减.，函数在区间内有且只有一个零点；又当时，恒成立，函数在区间内没有零点.综上可知，当时，函数有且只有1个零点.（2），.令，函数在区间上单调递减.（），使得，当时，即，在区间上单调递增；当时，即，在区间上单调递减.是函数在区间内的极大值点.即当时，函数有且只有一个极值点.（3）当时，总有成立，即当时，总有成立，也就是函数在区间上单调递增.由可得在区间恒成立，即在区间恒成立.设，则.令，则.当时，即，函数在区间上单调递减；当时，即，函数在区间上单调递增.所求的取值范围是.考点：导数的有关知识及综合运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究零点极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.解答本题的第一问求零点的个数,这时,求解时只要先对已知函数进行求导,再讨论其在定义域内的单调性,最后依据函数的图象变化情况确定零点的个数;第二问中的证明极值点的个数是个,也是先求导后构造函数,通过对求该函数单调性的研究确定了极值点的个数；第三问中的求取值范围问题则是借助导数可直接从不等式中分离出参数,再运用导数求出其最小值从而使得问题获解.7已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若（是自然对数的底数）时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）直接运用导数的几何意义求解；（2）借助题设条件运用等价转化的数学思想先进行转化,再构造运用导数的知识求其值域求解.试题解析：（1）当时，又，所求切线方程为.（2）由题意知，恒成立，即恒成立，则恒成立.令，则，即在上是减函数.当时，.的取值范围是.考点：导数的有关知识和综合运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识的综合运用和分析问题解决问题的能力.解答本题的第一问时,这时,求解时先对已知函数进行求导,再将切点横坐标代入求得切线的斜率为,就可以求出切线的方程为；第二问中的求的取值范围问题则可直接从不等式中分离出参数,再运用导数求其最小值从而使得问题获解.8已知函数（）若是函数的一个极值点，求的值；（）若在上恒成立，求的取值范围；（）证明：（为自然对数的底数）【答案】（）；（）；（）证明见解析.【解析】试题分析：（）利用处的导数值为就可求的的值；（）若在上恒成立，则，分当时和当时两种情况，利用导数法，求出函数的最小值，进而综合讨论结果，可得的取值范围；（）要证明：即，由（）知时，在单调递增又，可得结论试题解析：（）,是函数的一个极值点, 即（） 在上恒成立, 当时，在上恒成立，即在上为增函数， 成立，即当时，令，则，令，则，即在上为减函数，在上为增函数，又，则矛盾. 综上，的取值范围为（）要证，只需证.两边取自然对数得， ，由（）知时，在单调递增.又， 成立考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）函数恒成立问题；（3）利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点晴】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，利用单调性证明不等式，恒成立问题，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题第一问中直接利用函数在某点处取得极值，则导数为零，得结果；第二问把不等式恒成立转化为，然后利用导数研究函数的单调性，求最值，是常见的一种转化思想；第三问首先利用分析法把要证的问题转化为，利用二问中的结论得证，转化难度较大.9已知函数（）若，求函数在上的最小值；（）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；（）根据的不同取值，讨论函数的极值点情况【答案】(1)1 (2) (3)当时，函数无极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有一个极小值点和一个极大值点；【解析】试题分析：（）当时，其定义域为，所以在上是增函数，当时，故函数在上的最小值是1（）由题设条件，得，设，依题意，在区间上存在子区间使不等式成立因为函数的图象是开口向上的抛物线，所以只需或即可由，即，得；由，即，得若在上存在单调递增区间，则的取值范围是（）由（），可知（）当时，在上恒成立，此时，函数无极值点；（）当时，若，即时，在上恒成立，此时，函数无极值点；若，即时，易知当时，此时；当或时，此时所以当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点，综上，当时，函数无极值点；当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点考点：导数与函数的单调性，导数与函数的极值，导数与函数的最值.【方法点睛】连续函数在闭区间上有最大值和最小值，求函数在闭区间上的最值，先求函数的极值与区间两端点的函数值比较，便可求出最值；函数在某区间上存在单调递增区间，就是导函数不小于零在此区间上有解；讨论函数的极值点情况，先求导，根据参数的范围，利用分类讨论思想，研究方程的解的情况及的正负，若函数在某区间上单调，则无极值点？若是极值点，不仅满足，而且还需要左右导数值正、负相反.10已知函数为常数） 的图象在处的切线方程为.（1）判断函数的单调性；（2）已知,且,若对任意,任意与中恰有一个恒成立, 求实数 的取值范围.【答案】（1）递减（2）【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，而所以，又解得（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：，由于 在上单调递减,所以，再利用变量分离转化为对应函数最值，易得，；由于恰有一个恒成立,所以一真一假，解得实数 的取值范围为试题解析：（1）由的定义域为,可得,由条件可得,把代入可得,在上递减.（2）由（1） 可知, 在上单调递减,在上的最小值为,最大值为,只需,即，,对恒成立或对恒成立, 令,则,令可得.而恒成