论数学与物理的妙遇.ppt

论数学与物理的妙遇 摘要 偶遇数学与物理关系之破裂 揪人心扉 经这般那般分析 始得融合 波澜不惊 然好景不长 所面临者为更棘手之问题 数学与物理何以融合如此之好 此问题以其自身之本质而加之于其自身者 故不能置之不顾 但又因其超越数学物理所有之一切能力 故又不得不外求也 所求者非哲学莫属 据此线索 全文结构必为 破缺篇 融合篇 质问篇 解释篇 以期为人有所借鉴 添一应用篇 引言 自从毕达哥拉斯指出科学探索与数学之间的精妙联系 年来科学与数学始终处于亲密的共生关系中 今天 二者的联系如此之紧密 以至于我们当中的许多人都没有在意科学 以物理学为代表 与数学的差别 实际上 二者之间存在着深刻的差别 总述 破缺篇融合篇质问篇解释篇应用篇 破缺篇 vs 高斯定理与环路定理 在介质界面与等势面重合的情况下 即介质界面与电场线垂直 有右式成立 欲证此式 根据唯一性定理 只需证明与满足同一高斯定理与环路定理即可 这一解析函数论与物理情景的巧妙结合使得问题得到大大简化 然而 在教学过程中下面的问题出现了 当不满足介质界面与等势面重合 则有成立 但依旧成立 于是判定和虽然满足同样的高斯定理 却不是同一回事 由高斯面的任意可选性 和理应相等 在获得新鲜刺激感的同时 这在数学上实在难以接受 不感到惋惜吗 难道数学的权威就此遭到颠覆 罪魁祸首 在 方程中的两个在数学上同一 在物理上则为二物 中的为介质存在时的 若不满足 介质界面与等势面重合 根据 介质界面与电场线重合 这一特殊情况分析 自由电荷分布自动调整 以对极化面电荷密度的差别进行补偿 从而维持总电荷面密度分布形式不变 一句话 自由电荷重新分配 此非彼 这便解释清了和何以满足 同样 高斯定理却不相等 非数学之权威倾覆也 乃尔等使用数理符号之不严密也 这样的解释是自恰的 一旦介质界面与等势面重合 自由电荷不需进行局部调整 此同彼 当然也满足补充 这样的解释需要数学的严密化推导 希求感兴趣者完成之 或可有所新发现也 总述 破缺篇融合篇质问篇解释篇应用篇 融合篇 求解介质问题 磁介质在外磁场中磁化 磁化后的介质又会改变空间的磁场分布 并反过来影响磁介质的磁化状态 这种相互牵制的关系使我们难以自恰地决定介质的磁化强度和磁化电流的分布 类似的情形在电介质中也存在 例 例 在两均匀带等量异号电荷的无限大平面导体板之间 放一均匀的介质球 球的半径为r 极化率为 求球内的场强 假定介质球离两平板都相当远 球处在场中时 带电板上的电荷仍然均匀分布 即自由电荷单独产生的场仍是均匀场 例 解法一 设想介质球的极化是分若干阶段进行的 最终达到静电平衡 在介质刚放在电场中时 极化电荷尚未形成 因而介质球内的电场就是外场 它使介质球极化 极化强度为 均匀极化的介质球在球内产生均匀电场 故p0引起的极化电荷在球内产生的场为 附加电场ep1引起进一步的附加极化 附加极化强度为 这附加极化强度产生的电场为 附加电场进一步引起附加极化 这样的过程一步一步继续下去 在第n个阶段 附加极化强度产生的场强为 于是介质球内的场强等于自由电荷和极化电荷产生的附加场强之和 即 求和级数 解法二 代数方程 点评 解法一反映了数学上的收敛达到物理上的稳定 解法二由物理上必有某状态与数学上方程必有解使然 当然引入辅助矢量与则问题得到系统化的解决 这本只是纯粹的数学技巧 却带来了物理概念上的进步 使我们能够在较高的层面上审视物理图景 不可否认 解法一二属细节性解法 脱离这种解法的成功 再高明的数学技巧也无法使物理问题取得实质性进展 显著的现象 电学 e 极矢量切向第二型面积分左手定则 磁学 b 轴矢量法向第二型线积分右手定则 总述 破缺篇融合篇质问篇解释篇应用篇 质问篇 or 超距作用与近距作用 超距作用与近距作用这两种观点在静电学范围内的等效 在数学上体现为库仑定律与静电场基本规律之间的等效 在物理上体现为不可能通过静电学的实验来区分两种观点孰是孰非 这种解释是优美的 因为它同时获得了数学与物理上的解释 而且数学解释与物理解释是如此融洽 一旦能够在静电学范围能区分两种观点孰是孰非 那么库仑定律与静电场基本规律之间的等效遭到破坏 最大的可能是 在享受这种优美的酣梦中惊醒时 很可能感受到的是某种震慑与不安 一个尖锐的问题 物理作为宇宙万物遵循的客观规律 有什么理由与作为人类纯粹心智产物的数学达到如此同一 简单举一例 是人们观念的产物 为何大自然强迫库仑定律即带电粒子相互作用规律严格遵守平方反比形式 说分毫不差已太粗糙 而是已达到了精度 有人可能提出这样的解释 自然是演化而来的 现在的世界存在着生命 因而现在的自然必具备供生命存在的必要条件 平方反比律 就是其中的一个 例 结论 若平方反比律不成立 则原子分子系统不稳定 生命基元遭到破坏 若平方反比律不成立 光子质量不为零 世界变得面目全非 于是乎 平方反比律变成必然的了 世界已然如此 生命已然存在 然而继续追问下去 仍有疑点 难道宇宙诞生之初有无数个自然可供选择 只有满足平方反比律的那一个才存活至今并繁衍生命 现在的自然以何种动力机制如此精确地维持平方反比律亘古不变 要知道具备这种精度的动力系统在实验室里是很难人工创造的 总述 破缺篇融合篇质问篇解释篇应用篇 解释篇 康德对数学及物理学评价甚高 盛赞其为理性在其中产生理论的知识之两种学问 皆先天的规定其对象者 且前者之规定其对象完全纯粹的 后者则至少其中有一部分应视为由理性以外之其他知识源流而来者也 在探究纯粹理性之概要问题 须先行解答 纯粹数学何以可能 纯粹自然科学何以可能 可见回答数学与物理关系问题之意义重大 从认识论出发 数学的各个分支都是公理系统 公理系统的目标是寻求系统内的绝对真理 数学的基础在于证明 而非计算 物理是寻求能尽可能简洁和谐地解释世界的方法和学说 与数学相反 物理的基础在于经验而非公理 并未阻碍其合作 我们必须承认 物理发现可以是相当间接的 对数学推理的依赖可能更甚于对感觉经验的依赖 如广义相对论之于非欧几何 某些数学系统最初完全是抽象的理论结果 仅仅是理智游戏的产物 但是以后在物理学家那儿获得了实际应用 如非欧几何之于广义相对论 危险的信号 我们把物理宇宙的本质与其数学含义混为一谈的风险在提升 我们的宇宙表现得如此数学化 从宗教意义上令人不安 我们都不想成为高阶物种数学公式的玩偶 我们的数学是物理化的数学 如变分法作为纯数学竟指示着实际的力学规律 不知是幸 还是不幸 从本体论作出的解释 由于数学是人类心灵的创造物 一切数学推理都来源于一种物理实体 人类的大脑 人类经过无数世代的生物进化 大脑结构的演变使得人脑解决问题的方式有利于提高人类物种的生存机会 人脑与宇宙是一致的 构成人脑的原子和分子同样构成了远方的星系 人脑所遵循的自然法则同样控制着彗星的运动和化学属性 从本体论作出的解释 我们的大脑不能从事任何自然法则禁止的活动 也许正是大脑的结构使得人类设计出与物理实在一致的数学系统 那么自然已经为人脑的活动规定了界限 并且限制了人类思考的模式 这正是数学可以应用于物理实在的原因 进一步 我们没有能力设计出一种与物理实在剧烈冲突的数学理论 外星人有助于解决问题 前述理论的样本只有一个 人类 外星人的数学是否与我们的一样 对数学与物理关系的认识起着重要作用 他们是否知道圆和圆周率 他们是否使用类似的代数推理 他们是否也有微分方程和矩阵 概率和统计学 复变函数 他们是否也用数学构建科学理论 格列佛游记 飞岛国的科学家脱离人民与实际 从事不着边际的 科学研究 主要是数学与音乐 他们瞧不起实用几何学 他们是在玩真正的心智游戏 如果比较一下他们的数学和我们的数学一定很有意思 总述 破缺篇融合篇质问篇解释篇应用篇 应用篇 理论应用 在科学家看来 数学本身不能揭示真理 数学只能指出通向真理的可能道路 只有自然界本身才具备真理的最后决定权 数学知识照亮了我们的世界 但是数学并不能要求真实世界符合它的规律 历史借鉴 数学的辉煌曾带动物理概念上的进步 如熵 通量 广义势能 也会诱导人们的思维 如场论的成功使他们采取错误的物理观念 超距作用 具体操作 尽管不同性质的物理现象满足不同的物理规律 但常出现这些规律的数学表述相同或相近的情况 以至可以采用同一种数学方法进行分析处理 哪怕此种数学之应用折射的物理观念是显然错误的 举例 磁荷法磁路定理 举例 稳恒电流和静电场的综合求解问题 总结 且以yy作为代码 指醉心于构建自己的理论 十日辛苦不寻常 敷衍得一段文字 却于数学物理并无实质性进展 只是于文化略有观赏价值 自局外人看尚可倾慕 即便局内人亦有