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集合复习课 1 定义 集合中每个对象叫做这个 一般地 指定的某些对象的 全体称为集合 集合的元素 元素 研究的对象 集合 元素组成的总体 一般地 一定范围内某些确定的 不同的对象的全体构成一个集合 确定 集合 每个 元素 集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的 我们就称这两个集合是相等的 我们通常用大写拉丁字母A B C 表示集合 用小写的拉丁字母a b c 表示集合中的元素 如果a是集合A的元素 就说a属于 belongto 集合A记作 如果a不是集合A的元素 就说a不属于 notbelongto 集合A记作 见P72填空 注意 的开口方向 不能把a A颠倒过来写 集合元素的特征 1 确定性 给定一个集合 那么任何一个元素在不在这个集合中是确定的 2 无序性 3 互异性 集合中的元素是不重复出现的 集合中的元素排列是没有顺序的 常用数集 非负整数集 自然数集 全体非负整数的集合 记作N正整数集 非负整数集内排除0的集 记作N 或N 整数集 全体整数的集合 记作Z 有理数集 全体有理数的集合 记作Q实数集 全体实数的集合 记作R奇数集 单数 偶数 双数 集 质数 合数 注意 1 自然数集与非负整数集是相同的 也就是说 自然数集包括数0 2 非负整数集内排除0的集 记作N 或N Q Z R等其它数集内排除0的集 也是这样表示 例如 整数集内排除0的集 表示成Z 自然数集 常用数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 N N 或N Z Q R 集合的表示方法 1 列举法 将集合中的元素一一列举出来 并置于 内 互异 无序 2 描述法 将集合的所有元素都具有的性质 满足的条件 表示出来 写成 x p x 的形式 特征性质 3 Venn图 A 形象直观 用平面上封闭曲线的内部代表集合 这种图称为Venn图 集合的表示方法 1 列举法 将集合中的元素一一列举出来 并置于 内 互异 无序 例用列举法表示下列集合 1 中国的直辖市 2 book中的字母构成的集合 3 小于10的正偶数的集合 4 x2 2x 1 0的实数解的集合 b o k 2 4 6 8 1 北京 天津 上海 重庆 注意 元素间用逗号隔开 元素必须是明确的 不必考虑元素的先后顺序 元素不能重复可以省略如N 1 2 3 集合的表示方法 1 列举法 将集合中的元素一一列举出来 并置于 内 互异 无序 2 描述法 将集合的所有元素都具有的性质 满足的条件 表示出来 写成 x p x 的形式 特征性质 具体方法是 在前个括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 1 2 3 例用描述法表示下列集合 1 奇数的集合 2 不等式3x 4 5的集合 3 方程x2 x 1 0的实数解的集合 x x 2n 1 n Z x x2 x 1 0 x R x x 3 x R 注意 1 在不致混淆的情况下 可以省去竖线及左边部分 如 直角三角形 大于104的实数 2 错误表示法 实数集 全体实数 P7 4 5 文氏图 图示法 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 1 2 3 集合的分类 按元素的个数 有限集 含有限个元素的集合 无限集 含无限个元素的集合空集 不含任何元素的集合 思考 子集 集合之间的关系 下面两个集合有什么关系 集合 足球 蓝球 排球 乒乓球 所有的球类运动组成的集合 显然 集合 A 中的每一个元素都是集合 的元素 像这样 我们就叫集合是集合的子集 于是我们给出 对于两个集合A与 如果集合 中的每一个元素都是集合 的元素 那么A叫做B的子集 记作 或者 读作 包含于 或者 包含A 定义 用符号或者填空 练一练 1 设 则 2 3 设 则 2020 3 17 23 可编辑 即 任何一个集合是它本身的子集 对于任何一个集合 由于它的每一个元素都属于集合 本身 所以 规定 即 对于任何一个集合 都有 2 性质 空集是任何集合的子集 二 真子集 定义 如果集合 是 的子集 并且 中至少有一个元素不属于 那么 叫做 的真子集 记作 或 读作 真包含于 或者 真包含A 也可以直接读作 是 的真子集 2 性质 1 空集是任何非空集合的真子集 容易知道 对于集合A B C 如果 那么 同样可得 2 对于集合A B C 若A是B的真子集 B是C的真子集 则A是C的真子集 即 如果 那么 如右图所示 C B A P5例2练习P85 交集 一般地 由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的交集 记作A B 读作A交B 用Venn图表示为 1 设A x x 2 B x x 3 求A B 例2 2 设A x 1 x 2 B x 1 x 3 求A B 1 A A 2 A A 3 A B B A 反之 亦然 交集的性质 4 若A B A 则AB 一般地 由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集 并集 记作A B 读作A并B 用Venn图表示为 设A x x是锐角三角形 A B 则A B B x x是钝角三角形 x x是斜三角形 例 1 A A 2 A 3 A B B A 反之 亦然 并集的性质 4 若A B B 则AB A A P4例 3 4 5 练习P86 7 8 全集与补集 设U是一个集合 A是U中的一个子集 即A U 则由U中不属于A的所有元素组成的集合 叫做A在U中的补集 U叫做全集 记作 用Venn图表示为 1 设U R A x x 2 B x x 3 求CUA CUB 例 2 设U R A x 1 x 2 B x 1 x 3 求CUA CUB CU A B CU A B 例题 课本P6例4练习P811 13 14 作业 练习册 P1一 1 10 P2二 1 11 充分必要条件 1 一般地 若p则q为真 记作 若p则q为假 记作 1 如果两个三角形全等 那么两三角形面积相等 2 若则 为假命题 例如 两个三角形全等两三角形面积相等 练习一 动动手 用符号 或 填空 1 x 0 xy 0 2 xy 0 x 0 3 两个角相等两个角是对顶角 4 两个角是对顶角两个角相等 5 6 定义 2 充分条件与必要条件 一般地 如果已知那么我们就说 p是q的充分条件 q是p的必要条件 两个三角形全等两三角形面积相等 两个三角形全等 是 两三角形面积相等 的充分条件 两三角形面积相等 是 两个三角形全等 的必要条件 例如 三 举例应用 例1 指出下列各组命题中 哪些命题中的p是q的充分条件 又有哪些命题中的q是p的必要条件 1 2 4 p a b 0q a 0 3 p 两个角是对顶角 q 两个角相等 5 p 两个三角形全等 q 两个三角形