高二数学概率1.ppt

课程目标1 双基目标 1 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性 了解概率的意义以及频率与概率的区别 2 了解互斥事件的概率加法公式 3 理解古典概型及其概率计算公式 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 4 了解随机数的意义 能运用模拟方法估计概率 初步体会几何概型的意义 5 了解人类认识随机现象的过程 2 学习目标 1 通过本章学习结合生活中大量实例 了解随机现象与概率的含义 学会用科学的态度评价身边生活中的一些随机现象 体会通过概率来反映随机事件发生可能性大小的意义 2 通过对数据的收集 分析 加工整理与描述等数学活动 感受数学与现实生活的联系 体验数学的实际应用 促进形成实事求是的科学态度和为改造客观世界而努力学好数学的锲而不舍的求学精神 学法探究1 本章分为随机事件的概率 古典概型 几何概型三大部分 关于随机事件的概率 它介绍了有关概念 如随机事件 必然事件 不可能事件 频数 频率等 还从以下六个方面介绍了概率的意义 一是对概率的正确理解 二是游戏的公平性 三是决策中的概率思想 四是天气预报的概率解释 五是在豌豆杂交试验中的基本规律 六是遗传机理中的统计规律 最后介绍了概率的基本性质和各事件之间的关系 2 关于古典概型 教材从基本试验入手分析得出古典概型所必须具备的两个特点 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 每个基本事件出现的可能性相等 接着又从具体例子出发 介绍了基本事件出现的概率的计算方法 最后为了方便同学们学习 节省大量重复试验的时间 介绍了用计算器产生随机数的方法和步骤 要通过实例理解古典概型的特征 实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性 如抛掷硬币 抛掷骰子等 体会怎样把一些实际问题转化为古典概型 并掌握其计算公式 3 认清几何概型特征 实验结果中基本事件个数是无限的 即无限性 和每一个实验结果 即基本事件 发生的等可能性 尝试使用计算器或计算机模拟随机数的产生来估计概率 深入了解几何概型 进一步体会统计思想与概率的意义 4 于实验过程中 体会体验 观察分析 归纳类比 推断 等在数学活动中的重要性 训练直觉思维 类比推理 逻辑分析能力 5 学习本章还需注意以下几个问题 1 对于易混淆的知识 如概念 公式 随机数的产生方法等 应着眼于搞清它们之间的区别和联系 2 公式的运用 要注意它们的前提条件 它是哪种概率类型 要准确 熟练地应用各个公式解题 3 本章内容概念性强 抽象性强 思维方法独特 因此 要立足于基础知识 基本方法 基本问题的学习 要认真搞清课本中的每个例题和习题 适当拓展思路 这是本章学习应遵循的方法 4 注意计算器的灵活使用 教法点津概率教学的核心问题是使学生了解随机现象与概率的意义 通过生活中大量的随机现象的实例 指导学生正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性 鼓励引导学生动手实验 尝试通过计算机 计算器来处理数据 设计模拟试验 于实践活动中体会统计思想及概率的意义 并尝试澄清日常生活中的一些错误认识 古典概型教学应使学生理解古典概型的特征 实验结果的有限性和每一个实验结果的等可能性 使学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型 切不可把重点放在 计数方法 的学习上 因此设计练习题 例题时涉及的数目要尽可能的小 通过列举 很快能数出所有可能的基本事件 以使学生把主要精力放在理解古典概型的概念上 并适当指导学生准确的表述问题的解决过程 几何概型的教学 一 要和古典概型实验结果的有限性加以有效区分 二 要使学生体会几何概型的特征 准确理解均匀随机数 会设计随机模拟试验 还要准确理解 不可能事件 与 概率为0的事件 的关系 其中二维随机事件 如P137例2 是学生学习的难点 应重点突破 3 1随机事件的概率 3 1 1随机事件的概率 1 事件的基本概念必然事件 我们把在条件S下 发生的事件 叫做相对于条件S的必然事件 简称必然事件 不可能事件 在条件S下 发生的事件 叫做相对于条件S的不可能事件 简称不可能事件 统称为相对于条件S的确定事件 简称确定事件 随机事件 在条件S下的事件 叫做相对于条件S的随机事件 简称随机事件 确定事件和随机事件统称为事件 一般用大写字母A B C 表示 一定会 一定不会 必然事件与不可能事件 可能发生也可能不发生 2 频率与概率 1 在相同的条件S下重复n次试验 观察某一事件A是否出现 称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 称事件A出现的比例fn A 为事件A出现的 2 对于给定的随机事件A 如果随着试验次数的增加 事件A发生的频率fn A 稳定在区间 0 1 中某个常数上 把这个常数记作P A 称为事件A的 简称A的概率 这个定义习惯上称作概率的统计定义 频数 频率 概率 从定义中 可以看出随机事件A的概率P A 满足 这是因为在n次试验中 事件A发生的频数m满足0 m n 所以0 1 当A是必然事件时 P A 当A是不可能事件时 P A 3 概率是可以通过来 测量 的 或者说频率是概率的一个 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小 0 P A 1 1 频率 近似值 0 重点 事件的有关概念和频率与概率的有关概念的理解 体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性 难点 理解随机现象和随机事件 区分事件与基本事件 理解概率的统计定义及概率与频率的关系 1 正确理解概念是学好本节乃至本章的前提 要准确把握概念的内涵及相互间的区别与联系 1 随机现象 对于纷繁的自然现象和社会现象 如果从其结果能否预知的角度出发去划分 可以分为两大类 一类现象的结果总是确定的 即在一定条件下它所出现的结果是可以预知的 这类现象称为确定性现象 它是在一定条件下必然会发生某种结果的现象 故也称为必然现象 例如 把一石块抛向空中 它会掉到地面上来 我们生活的地球 每天都在绕太阳转动 一个人随着岁月的消逝 一定会衰老 死亡 这些现象都是必然现象 另一类现象的结果是无法预知的 即在一定的条件下 出现哪种结果是无法事先确定的 这类现象称为随机现象 例如掷一枚硬币 我们无法事先确定它将出现正面 还是出现反面 又如一个盒子中有十个大小完全相同的小球 但5个是白色的 另外5个是黑色的 搅匀后从中任意摸取一球 在球没有取出之前 我们从试验开始时的条件中 不能确定试验的结果 即取出的球 是白的 还是黑的 也就是说 一次试验的结果 出现白球还是出现黑球 在试验之前是无法确定的 这是一种随机现象 可见随机现象具有这样的特点 在相同条件下多次观察同一现象 每次观察到的结果不一定相同 事先很难预料哪一种结果会出现 2 随机事件 随机现象在客观世界中是极其普遍的 它表现为试验结果的不可预知性 我们研究随机现象 就是研究它的统计规律 一方面对随机现象作出正确的解释 另一方面应用于科学技术 工农业生产等 为了探索随机现象的规律性 需要对随机现象进行观察 我们把观察随机现象或为了达到某种目的而进行的实验统称为试验 把观察结果或实验结果称为试验的结果 本章中我们赋予 试验 一词比较广泛的含义 例如 抛掷硬币 骰子 中学生投篮 观察信号灯颜色 产品抽样检验 战士打靶环数 明天会不会下雨等统视作试验 试验的结果都是随机事件 对于随机事件 知道它发生的可能性大小是非常重要的 要了解随机事件发生的可能性大小 最直接的方法就是试验 一个试验如果满足下述条件 试验可以在相同的条件下重复进行 试验的所有结果是明确可知的 但不止一个 每次试验总是出现这些结果中的一个 但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果 象这样的试验是一个随机试验 如掷硬币这个试验中 试验可以重复进行 每掷一次 就是进行了一次试验 试验结果 正面向上 反面向上 是明确可知的 每次试验之前不能确定出现哪个结果 但一定会出现这两种结果中的一个 试验步骤 以全班同学掷硬币为例 第一步 个人统计试验成功的次数 记 正面朝上 为试验成功 第二步 小组统计 第三步 全班统计 第四步 汇总试验结果 画出条形图 第五步 分析试验结果 寻找 正面朝上 这个事件发生的规律性 探究 如果将试验再重复一次 全班的汇总结果和这次汇总结果一致吗 如果不一致 你能说出原因吗 掷硬币出现正面朝上是随机事件 因此 每次的试验结果可能不一致 但随机中含有规律性 即正面朝上的次数约为试验次数的二分之一 计算机随机模拟试验 用计算机产生的随机数1 0 表示 正面朝上 反面朝上 统计试验次数和试验结果 总结试验规律 3 我们赋予了 试验 一词广泛的含义后 试验的所有可能的结果统称为事件 实际生活中所遇到的事件包括必然事件 不可能事件和随机事件 对随机事件的理解包含下面两个方面 随机事件是指在一定条件下出现的某种结果 随着条件的改变其结果也会不同 因此强调同一事件必须在相同的条件下研究 随机事件可以重复地进行大量实验 每次实验结果不一定相同 且无法预测下一次的结果 但随着实验的重复进行 其结果呈现规律性 我们把随机试验的每一个可能的结果看作一个基本事件 它的全体构成了一个集合 本书中我们为说话方便 沿袭习惯方法 常把全体基本事件构成的集合称作基本事件空间 我们研究随机现象 就是要把握它每一个可能出现的结果 在具体计算中 为防止漏解 常常按一定顺序或表格的形式表示出所有的基本事件 以便正确把握基本事件构成集合中所有基本事件的总数 为了叙述起来文字简洁些 我们有时讲到事件时 其中可能包含不可能事件和必然事件的意思 一般都不另作说明了 随机事件 必然事件 不可能事件三个概念既有区别 又有联系 要在具体的每次试验中 根据实验结果来区分三种事件 要注意事件和基本事件两个概念的区别 基本事件是试验结果中不能再分解的最小元素 而一个事件可以由若干基本事件组成 正确地分析和计算基本事件的个数是古典概型的基础 也是概率比例解法的依据 在一次试验中 正确分析清楚基本事件和基本事件的集合是求解事件概率的关键 当基本事件个数有限时 常用列举法和有序数组来表示 要注意试验中基本事件有无顺序上的差别 要搞清楚随机现象与随机事件之间的关系 随机现象是随机事件产生的原因 随机事件是随机现象的可能结果 是随机现象的反映 如 在城市中 当我们走到装有交通信号灯的十字路口时 可能遇到绿灯 这时可以快速穿过马路 也可能遇到红灯或黄灯 这时就应该停步不前 一般来说 行人在十字路口看到的交通信号灯颜色 可以认为是一种随机现象 行人在十字路口看到红灯是随机事件 要搞清楚什么是随机事件的条件和结果 随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件 应注意事件的结果是相应于 一定条件 而言的 因此 要弄清某一随机事件 必须明确何为事件发生的条件 何为在此条件下产生的结果 如 农业生产实践告诉我们 在一定条件S 适宜的温度 水分 土壤 阳光 空气 下 发芽的种子 如小麦 玉米等 一定会结穗 这是必然事件 而发芽的种子一定不结穗 这是不可能事件 发芽的种子结穗20粒 这是随机事件 但如果条件变化了 发芽的种子丧失了生长的条件 如温度 水分不适合生长的前提下 发芽的种子就不会结穗 因此 发芽的种子结穗20粒就成了不可能事件 必然事件 导体在通电时发热 抛一石块下落 在标准大气压下水加热到100 沸腾 不可能事件 在常温下铁熔化 同性电荷互相吸引 在标准大气压下 温度低于0 时冰融化 随机事件 掷一枚硬币 出现反面 掷一颗骰子 出现3点 江涛射击一次中靶 一次试验所有可能发生的每一个基本的结果称为基本事件 基本事件有如下特点 基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件 一次试验中 只产生一个基本事件 如掷骰子的试验中 一次试验只出现其中的一个点数 如 出现1点 出现2点 出现6点 这都是基本事件 共有6个 如 出现偶数点 可以分为 出现2点 出现4点 出现6点 它就不是基本事件 任何事件都可以用基本事件来描绘 在掷骰子试验中 随机事件 出现的点数大于3 由基本事件 出现4点 出现5点 出现6点 来描绘 如掷硬币试验 这个试验的所有基本事件构成集合 正面向上 反面向上 或简记为 正 反 又如掷骰子试验中 这个试验的所有基本事件构成集合 1 2 3 4 5 6 而不是 1 2 3 4 1 3 5 等由部分基本事件组成的集合 类比集合 随机事件是所有基本事件构成集合的子集 上述掷骰子试验中 事件A 出现偶数点 记为A 2 4 6 它是 的一个子集 即A 掷出的点数小于7 这一事件记为 1 2 3 4 5 6 即为 为必然事件 它也是 的子集 掷出的点数大于7 不包含任何基本事件 记为 则 又如设B 5 6 那么B 事件B表示 掷出的点数大于4 这一随机事件 随机事件中所包含的一个基本事件出现 就说随机事件发生 否则就说没有发生 如在掷2枚硬币的试验中 记事件A为 至少有一次出现正面 那么A 正 正 正 反 反 正 如果掷出了 正 正 就说事件A发生了 如果掷出了 反 反 就说事件A没有发生 4 随机事件在现实世界中是广泛存在的 在一次试验中 事件是否发生虽然带有偶然性 但在大量重复试验下 它的发生呈现出一定的规律性 即事件发生的频率总是接近于某个常数 这个常数具有特殊的意义 它就是本章我们要研究的主要问题 概率 在相同的条件S下重复n次试验 观察某一事件A是否出现 称n次试验中事件A出现的次数m为事件A出现的频数 称事件A出现的比例为事件A出现的频率 概率 一般地 在n次重复进行的试验中 事件A发生的频率为 当n很大时 频率总是在某个常数附近摆动 随着n的增加 摆动幅度越来越小 这时就把这个常数叫做事件A的概率 记作P A 概率的这种定义叫做概率的统计定义 一般来说 随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的 但是在大量重复试验后 随着试验次数的增加 事件A发生的频率会逐渐稳定在区间 0 1 中的某个常数上 这个常数可以用来度量事件A发生的可能性的大小 定义为概率 5 正确理解 频率 与 概率 之间的关系 随机事件的频率 指此事件发生的次数与试验总次数的比值 它具有一定的稳定性 总在某个常数附近摆动 且随着试验次数的不断增多 这种摆动幅度越来越小 这个常数叫做这个随机事件的概率 概率可看做频率在理论上期望值 它在数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率 6 要辩证地看待 必然事件 不可能事件 随机事件 及其 概率 一个随机事件的发生 既有随机性 对单次试验来说 又存在着统计规律性 对大量重复试验来说 这是偶然性和必然性的对立统一 就概率的统计定义而言 必然事件A的概率为1 P A 1 不可能事件B的概率为0 P B 0 而任意事件C的概率满足0 P C 1 从这个意义上讲 必然事件和不可能事件可看做随机事件的两个极端情况 由此看来 它们虽然是两类不同的事件 但在一定的情况下又可以统一起来 这正说明了二者既对立又统一的辩证关系 7 对于概率的统计定义 应注意以下几点 求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验 只有当频率在某个常数附近摆动时 这个常数才叫做事件A的概率 概率是频率的稳定值 而频率是概率的近似值 概率反映了随机事件发生的可能性的大小 必然事件的概率为1 不可能事件的概率为0 因此0 P A 1 概率是由频率来定义的 但它又不同于频率的定义 只是用频率来估算概率 并且在试验次数足够多的情形下 大量重复试验 概率可用频率来近似代替 一般情况下重复试验次数足够多后 试验结果的频率就非常接近理论上的概率 但不能简单地说 甲试验1000次 乙试验1500次 乙的试验结果的频率就一定比甲的更准确 通过学习这一概念 深刻体会一般性与特殊性的关系 实践中常用 大量重复试验的前提下的频率值 来估计事件的概率 例1 有下列现象 早晨太阳从东方升起 连续抛掷一枚硬币两次 两次都出现正面向上 异性电荷相互吸引 在标准大气压下 水在1 结冰 其中是随机现象的有 个 A 0B 1C 2D 3 分析 依据随机现象的特点判断 当在相同条件下多次观察同一现象 每次观察到的结果不一定相同 事先很难预料哪一种结果会出现 解析 不是随机现象 早晨太阳必然从东方升起 是随机现象 连续抛掷一枚硬币两次 正面情况可以是 上 上 上 下 下 上 下 下 事先很难预料哪一种结果会出现 不是随机现象 异性电荷必然相互吸引 不是随机现象 在标准大气压下 水在1 一定不结冰 即 不可能发生 选B 例2 给出下列五个事件 某地3月6日下雨 函数y ax a 0且a 1 在定义域上是增函数 实数的绝对值小于0 a b R 则ab ba 某人射击8次恰有4次中靶 其中必然事件是 不可能事件是 随机事件是 解析 是随机事件 某地3月6日可能下雨 也可能不下雨 是随机事件 函数y ax a 1且a 0 在a 1时为增函数 在0 a 1时为减函数 未给出a值之前很难确定给的a值是大于1还是小于1的 是不可能事件 任意实数a 总有 a 0 故 a 0不可能发生 是必然事件 当a b R时 ab ba恒成立 是随机事件 例3 某射手在同一条件下进行射击 结果如下表所示 1 计算表中击中靶心的各个频率 2 这个射手射击一次 击中靶心的概率约是多少 解析 1 0 8 0 95 0 88 0 92 0 89 0 91 2 频率值大致在0 9附近摆动 因此可估计概率为0 9 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测 数据如下 则该厂生产的电视机优等品的概率约为 A 0 92B 0 94C 0 95D 0 96 答案 C 解析 计算各个频率观察知选C 点评 大量重复试验中 频率值在概率附近摆动 并且试验次数越多 摆动幅度越小 概率是频率在理论上的期望值 大量重复试验中的频率可近似看作概率 例4 掷一对不同颜色的均匀骰子 观察向上的点数 写出这个试验的所有基本事件构成的集合 点数之和不大于7 这一事件 包含哪几个基本事件 点数之和等于3的倍数 这一事件包含哪几个基本事件 解析 这个试验的所有基本事件构成集合 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 点数之和不大于7 这一事件 包含21个基本事件 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 6 1 点数和等于3的倍数 即点数和为3 6 9 12的情形 共有12个基本事件 1 2 1 5 2 1 2 4 3 3 3 6 4 2 4 5 5 1 5 4 6 3 6 6 点评 弄清基本事件构成的集合中含有的基本事件和某事件所包含的基本事件是一项重要的基本功 它是解决事件的概率的前提 教材上未提这方面的内容 但为帮助学生正确理解和掌握概率的计算 这里增加这一例 1 先后掷2分和5分的硬币各一枚 观察正反面出现的情况 写出这个试验的基本事件构成的集合 并说明事件A 至少出现一次反面 与 的关系 2 投掷一颗骰子 观察掷出的点数 记A 1 3 5 B 2 4