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第四章快速傅立叶变换 1 4 1直接计算DFT的问题及改进的途径 复数加法 N N 1 复数乘法 N2 1 将长序列DFT分解为短序列的DFT 2 利用旋转因子的周期性 对称性 1 周期性 2 对称性 2 4 2基2FFT算法 4 2 1时域抽取法 DIT FFT 基2FFT基本原理 设序列的长度为 且满足 为自然数 按的奇偶把分解为两个点的子序列 得 则的DFT为 3 由于 则上式可表示为 所以又可表示为 蝶形运算符号为 4 8点DFT一次时域抽取分解运算流图 经过一次分解后 就使运算量减少近一半 5 同第一次分解相同 将按奇偶数分解成两个长度的子序列 这样 经过第二次分解后 又将点DFT分解为两个点DFT 由四个2点DFT组成8点DFT 6 一个完整的8点DIT FFT运算流图如下图 7 4 2 2DIT FFT算法与直接计算DFT运算量的比较 N 2M的序列 通过M级分解最后成为1点的DFT运算 构成M级运算过程 每一级运算都由N 2个蝶形运算构成 每一级运算含N 2次复乘和N次复加 总运算量 复乘复加 8 显然 越大时 优越性就越明显 9 4 2 3DIT FFT的运算规律及编程思想 1 原位计算观察每个蝶形的两个输入和两个输出蝶形的输出可存入原输入数据所占存储单元利用同一组存储单元存储输入 输出数据的方法 称为原位 址 计算 节约内存节省寻址的时间 10 2 旋转因子的变化规律 旋转因子 旋转因子指数p 11 12 一般情况 第L级的旋转因子为 13 3 序列的倒序 按顺序输出 则不按顺序输出 14 倒序 如蝶形运算的两个输入数据相距B个点 应用原位计算 蝶形运算如下 4 蝶形运算规律 5 程序框图 15 4 2 4频域抽取法 DIF FFT 基2FFT基本原理 设序列长度为 在把输出按的偶 奇来分解之前 首先将前后对半分开 得到两个子序列 其DFT可表示为如下形式 16 DIF FFT运算流图 N 8 17 4 2 5IDFT的高效算法 DFTIDFT差别 旋转因子和系数把DFT中的每一个系数改为 再乘以常数1 N 18 用FFT子程序计算IDFT IFFT计算分三步 将
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