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文档简介

1 平行截面面积为已知的立体体积 二 立体的体积 2 旋转体的体积 A x x a b 1 平行截面面积为已知的立体体积 x dx 解 取坐标系如图 例1 底圆方程为 体积 截面面积 思考 可否选择y作积分变量 此时截面面积是什么 如何用定积分表示体积 提示 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 一平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周 圆柱 圆锥 圆台 2 旋转体的体积 而成的立体称为旋转体 定直线称为旋转轴 则旋转体的体积为 注意 该积分公式的适用条件 体积为 解 直线方程为 例3 x 例4 计算由椭圆 所围图形绕x轴旋转而 转而成的椭球体的体积 解 方法1利用直角坐标方程 则 利用对称性 方法2利用椭圆参数方程 则 特别当b a时 就得半径为a的球体的体积 解 例5 y处的截面面积 注意 该积分公式的适用条件 解 例7 计算由摆线一拱与x轴所围的图形绕y轴旋转而成的立体体积 解 2020 3 17 18 可编辑 柱壳法 利用这个公式 可知上例6中 解 常见错误 截面是环面 例8 旋转轴不是坐标轴的情形 已知平行截面面面积已知的立体体积 旋转体的体积 绕x轴 绕y轴 柱壳法 小结 三 平面曲线的弧长 1 平面曲线的弧长的概念 直角坐标情形 极坐标情形 参数方程情形 2 平面曲线的弧长的计算公式 1 平面曲线的弧长的概念 定理 任意光滑曲线弧都是可求长的 弧长微元 弧长 2 平面曲线的弧长计算公式 1 曲线方程为直角坐标表示 注 上限大于下限 曲线弧为 弧长 2 曲线方程为参数表示 曲线弧为 弧长 3 曲线方程为极坐标表示 注意 解 所求弧长为 例2 解 例3 计算摆线 一拱 的弧长 解 例4 求阿基米德螺线 相应于0 2 一段的弧长 解 例5 求连续曲线段 解 的弧长 解 平面曲线弧长的概念 直角坐标系下 参数方程情形下 极坐标系下 弧微分 弧长的公式 小结 作业P258习题5 2计算体积 A 8 1 3
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