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讲 授 内 容备 注第三十二讲四、多元函数的可微性证明二元函数在处可微，方法如下： 若 则在处可微，否则不可微证明在的邻域里有其中，当时，否则不可微例11 设，其中在的附近满足试证：在处可微证同理 （当时）因此，在处可微例12 设及分别在上连续定义试用全微分的定义证明：在处可微，其中为任意的定点证即证明时，(1) (2) (3) (4)将(2)、(3)、(4)合并考虑 在上连续，使得又在处连续，当且时，即当时，上式趋于零类似可证其余两项亦趋于零故(1)式趋于零在处的可微性得证例13 若在点处存在，在点处连续证明：在点处可微证其中（，当）故在点处可微6.3 公式、几何应用、极值一、公式（二元函数在点的阶公式）若函数在点的某邻域内有直到阶的连续偏导数，则对内任意点，存在相应的，使得其中 例1 设为凸的有界闭区域，在上有连续的一阶偏导数其中试证：在上满足条件：即，有证据已知条件知，偏导数在有界闭区域上连续，使得为凸区域，据一阶公式，使得其中，令，则得例2设在中有连续的一阶偏导数，并满足不等式其中为常数试证：当沿着曲线趋向无穷远时，证对曲线上的点，有记，对应的点为：则二、几何应用 平面曲线的切线与法线 平面曲线的方程 的切线斜率为切线方程： 法线方程： 平面曲线的方程 的切向量为，切线方程： 法线方程： 空间曲线的切线与法平面空间曲线的方程 的切向量为，在处的切线方程： 法平面方程：空间曲线的方程 在处的切线方程： 法平面方程： 空间曲面的法线与切平面 空间曲面的方程的法向量为，在处的切平面方程：法线方程： 特别，空间曲面的方程 的法向量为，切平面方程：法线方程： 例3求在点处的切平面与法线（其中为常数）解对应的曲线在点的切向量：对应的曲线在点的切向量：从而曲面在点的法向量：切平面方程：其中 切平面方程：即 法线方程：即例4 证明：若有连续的偏导数，则曲面上任意一点的切平面都平行于直线证曲面上任意一点处的法向量：切平面方程：直线的方向数所以该直线与垂直故直线与曲面上任意一点的切平面平行例5从原点向单叶双曲面的切平面引垂线求垂足的轨迹解 所谓垂足，即切平面与垂线的交点曲面上任意一点处的法向量为，切平面方程即 (1)过原点向此切平面引的垂线为即 (2)当点沿单叶双曲面(3)移动时，求方程式(1)、(2)所决定的垂足的轨迹因此只要在(1)、(2)、(3)中消去，求出满足的方程即可令(2)式等于，则得代入(1)、(3)得则即为所求3学时两个偏导数存在，不能保证二元函数可微，两个偏导数存在且连续，则二元函数可微，线性主部中值定理在点处连续
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