连续性随机变量详解.ppt

第二节离散型随机变量 第一节随机变量及其分布 第三节连续性随机变量 第四章随机变量及其分布 第1页 一 概率密度的概念与性质 引例 第2页 一 概率密度的概念与性质 1 定义 1 第3页 证明 性质 证明 第4页 同时得以下计算公式 第5页 注意对于任意可能值a 连续型随机变量取a的概率等于零 即 证明 由此可得 连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关 第6页 连续型 密度函数X p x 不唯一 2 4 P X a 0 离散型 分布列 pn P X xn 唯一 2 F x 3 F a 0 F a P a X b F b F a 4 点点计较 5 F x 为阶梯函数 5 F x 为连续函数 F a 0 F a F a 0 F a 第7页 若X是连续型随机变量 X a 是不可能事件 则有 若X为离散型随机变量 注意 连续型 离散型 第8页 解 例1 第9页 第10页 第11页 第12页 二 常见连续型随机变量的分布 1 均匀分布 均匀分布概率密度函数演示 第13页 均匀分布的意义 第14页 分布函数 均匀分布分布函数图形演示 第15页 16 随机变量 解 依题意 X U 0 30 以7 00为起点0 以分为单位 某公共汽车站从上午7时起 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 7 30 7 45等时刻有汽车到达此站 如果乘客到达此站时间X是7 00到7 30之间的均匀 试求他候车时间少于5分钟的概率 从上午7时起 7 30等时刻有汽车到达汽车站 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 例13 第16页 17 到7 15之间 或在7 25到7 30之间到达车站 所求概率为 即乘客候车时间少于5分钟的概率是1 3 为使候车时间X少于5分钟 乘客必须在7 10 第17页 2 指数分布 指数分布密度函数图形演示 第18页 某些元件或设备的寿命服从指数分布 例如无线电元件的寿命 电力设备的寿命 动物的寿命等都服从指数分布 应用与背景 分布函数 指数分布分布函数图形演示 第19页 20 例14 令 B 等待时间为10 20分钟 第20页 例15设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为 2000的指数分布 单位 小时 1 任取一只这种灯管 求能正常使用1000小时以上的概率 2 有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上 求还能使用1000小时以上的概率 X的分布函数为 解 第21页 第22页 指数分布的重要性质 无记忆性 第23页 3 正态分布 或高斯分布 高斯资料 第24页 正态概率密度函数的几何特征 第25页 第26页 正态分布密度函数图形演示 第27页 正态分布的分布函数 正态分布分布函数图形演示 第28页 正态分布是最常见最重要的一种分布 例如测量误差 人的生理特征尺寸如身高 体重等 正常情况下生产的产品尺寸 直径 长度 重量高度等都近似服从正态分布 正态分布的应用与背景 第29页 正态分布下的概率计算 原函数不是初等函数 方法一 利用MATLAB软件包计算 演示 方法二 转化为标准正态分布查表计算 第30页 标准正态分布的概率密度表示为 标准正态分布 标准正态分布的分布函数表示为 第31页 标准正态分布的图形 第32页 正态分布的性质 1 p x 关于 是对称的 p x x 0 在 点p x 取得最大值 2 若 固定 改变 3 若 固定 改变 大 p x 左右移动 形状保持不变 越大曲线越平坦 越小曲线越陡峭 第33页 p x x 0 x x 标准正态分布N 0 1 密度函数记为 x 分布函数记为 x 第34页 x 的计算 1 x 0时 查标准正态分布函数表 2 x 0时 用 若X N 0 1 则 1 P X a a 2 P X a 1 a 3 P a X b b a 4 若a 0 则P X a P a X a a a a 1 a 2 a 1 第35页 例16设X N 0 1 求P X 1 96 P X 1 96 1 1 96 1 1 1 96 0 975 查表得 2 1 96 1 0 95 1 96 解 P X 1 96 P X 1 96 2 0 975 1 第36页 设X N 0 1 P X b 0 9515 P X a 0 04947 求a b 解 b 0 9515 1 2 所以b 0 反查表得 1 66 0 9515 故b 1 66 而 a 0 0495 1 2 所以a 0 a 0 9505 反查表得 1 65 0 9505 故a 1 65 例17 第37页 一般正态分布的标准化 定理设X N 2 则Y N 0 1 推论 若X N 2 则 第38页 设X N 2 P X 5 0 045 P X 3 0 618 求 及 例18 1 76 4 解 第39页 已知X N 3 22 且P X k P X k 则k 3 课堂练习 1 第40页 设X N 42 Y N 52 记p1 P X 4 p2 P Y 5 则 对任意的 都有p1 p2 对任意的 都有p1p2 课堂练习 2 第41页 设X N 2 则随 的增大 概率P X 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定 课堂练习 3 第42页 解 例15 第43页 例8证明 证明 第44页 例17对某地抽样调查 考生的外语成绩 百分制 近似服从正态分布 平均分为72 且96分以上的考生比率为2 3 求考生成绩在60至84分之间的概率 答案 0 682 解 已知 2 0 977 又1 P X 72 96 72 1 2 0 023 12P 60 72 84 72 2 1 1 0 682关键在于必须记住正态分布的 2 3 分位点及所取得概率值 第45页 三 小结 2 常见连续型随机变量的分布 第46页 正态分布有极其广泛的实际背景 例如测量误差 人的生理特征尺寸如身高 体重等 正常情况下生产的产品尺寸 直径 长度 重量高度 炮弹的弹落点的分布等 都服从或近似服从正态分布 可以说 正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布 一个变量如果受到大量微小的 独立的随机因素的影响 那么这个变量一般是一个正态随机变量 3 正态分布是概率论中最重要的分布 第47页 另一方面 有些分布 如二项分布 泊松分布 的极限分布是正态分布 所以 无论在实践中 还是在理论上 正态分布是概率论中最重要的一种分布 二项分布向正态分布