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华中师范大学 2003 2004 学年第二学期期末考试试卷（B卷）（答）课程名称 数学分析（二） 课程编号 42110400 任课教师 题型判断题叙述题解答题证明题总分分值10107010100得分得分评阅人一、判断题（判断正确、错误。共5题，共52=10分）1、 函数（其中）在点处不仅偏导数存在，且在点 处也连续。 （ ）2、若可微，则。 （ ）3、设上连续，则 （ ）4、设C是任一条围线，且不属于C ，则。 （ ）5、设C为一条有向光滑曲线，在C上连续，n为C的外法线正向，则 （ ）院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： - 密 - 封 - 线 -得分评阅人二、简答题（共2题，共25=10分）简答二元函数在一点处的下列关系：1、 连续与偏导数及可微的之间的关系连续不一定偏导数存在，偏导数存在也不一定连续； 连续不一定可微，可微一定连续。2、 偏导数与可微之间的关系。偏导数存在不一定可微，可微偏导数一定存在。得分评阅人三、解答题（共4题，共70分）1、 计算下列函数的偏导数或全微分： （20分）（1）设 ，求。 解 , . .(5分) 第 1 页(共 3 页) （2）设，求 解 因 所以 . (5分) （3）设可微，求。 解 因 所以 . (5分) （4）设具有二阶连续的偏导数，求。 解 , . .(5分) - 密 - 封 - 线 - 2、已知方程确定可微的隐函数，求。 （10分） 解 在方程的两边分别对x , y求导得 .(6分)解得 , .(10分) 3、求下列重积分 （20分） （1），其中D是由直线围成的平面有界闭区域， 解 因 .(4分) 所以 . .(10分) （2），其中. 解 因区域V 关于xz平面对称, 且y为奇函数, 则 所以 =令 , 则 对应区域 .(6分)= .(10分) 第 2 页(共 3 页) - 密 - 封 - 线 - 4、求下列曲线积分 （20分） （1），其中L是直线从点到点的一段。解 曲线L的参数方程为, , .(4分) 所以 . .(10分) （2），其中L是从到的一段曲线。 解 记 , , 显然它们都在上具有一阶连续的偏导数,且 故, 此积分与路线无关. .(6分) 取有向直线段AB代替L得 = .(10分)得分评阅人四、证明题（共1题，共110=10分） 设在有界闭区域D上具有二阶连续的偏导数，L为其边界，证明： （1）.，其中n为L的法线正向， 证 因 由两类曲线积分的关系及格林公式得 其中. .(4分) （2）.为D内调和函数的充分条件是对D内任一条围线C，总有，其中n为C的法线正向。证(反证法) 假设存在点,使得,不妨设由连续函数的局部保号性得 存在点的闭邻域, 使得在其中 记的边界为C , 由(1)的过程得 , 这与题设矛盾. (8分) （3）. （2）中的条件是否为D内调和函数的必要条件（若是给出证明，若不是给出反例）。 解 (2)中的条件
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