第六章 二次型与对称阵.ppt

线性代数第六章 第六章二次型与对称阵 本章教学内容 1二次型及其矩阵 2二次型的标准形 3合同变换与二次型的规范形 4实二次型的分类正定二次型 1二次型及其矩阵 本节教学内容1 二次型及其矩阵的概念2 线性变换的概念 1二次型及其矩阵 1 二次型及其矩阵的概念定义1 1含n个变量x1 x2 xn的二次齐次多项式称为二次型 若每个aij 数域P x1 x2 xn 称为数域P上的二次型 若每个aij R x1 x2 xn 称为实二次型 若每个aij C x1 x2 xn 称为复二次型 称为标准形 1二次型及其矩阵 例 称零二次型 1二次型及其矩阵 设二次型 称二项型的和号表示 1二次型及其矩阵 二次型 称二次型的矩阵表示 1二次型及其矩阵 二次型 f x xTAxA称为二次型f x 的矩阵 而f x 称为A的二次型 A的秩称为二次型f x 的秩 记作R f 即R f R A 注 二次型f x 的矩阵A 由f x 唯一地确定 反之 对称矩阵A的二次型f x 由A唯一地确定 即二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 本教材凡说 二次型f x xTAx 矩阵A均指对称矩阵 1二次型及其矩阵 例1 1 1二次型及其矩阵 选例解 B为方阵 xTBx是二次型 1二次型及其矩阵 例1 2注 一般的 标准的二次型的矩阵是n阶对角阵 1二次型及其矩阵 2 线性变换的概念定义1 2把变量x1 x2 xn化为变量y1 y2 yn的一组线性关系称变量x1 x2 xn到变量y1 y2 yn的一个线性变换记则线性变换 1 可表为x Py矩阵P称为该变换的系数矩阵 1二次型及其矩阵 若P可逆 则线性变换x Py称为可逆线性变换 或称满秩线性变换 非退化线性变换 若P不可逆 则线性变换x Py称为不可逆线性变换 或称降秩线性变换 退化线性变换 若x Py称为可逆线性变换 则线性变换y P 1x称为线性变换x Py的逆变换 注 线性变换y P 1x与x Py互为逆变换 1二次型及其矩阵 问题 求可逆线性变换x Py将二次型 x xTAx化为标准形即求可逆矩阵P使PTAP是对角矩阵 定义1 3对于n阶矩阵A B 如果有n阶可逆矩阵P使得PTAP B 则称矩阵A与B合同 或相合 记为A B 性质 A A 若A B 则B A 若A B B C 则A C 证略 1二次型及其矩阵 若A B 则R A R B 若A B A是对称矩阵 则B是对称矩阵 概念 当P可逆时 对方阵A的运算PTAP 称对A的合同变换 称P为合同因子或合同变换矩阵 注 合同变换PTAP 相似变换P 1AP 若Q为正交矩阵 则QTAQ Q 1AQ 即合同变换与相似变换一致 1二次型及其矩阵 本节学习要求1 理解二次型及其矩阵的概念 会写出二次型的矩阵 会写出矩阵的二次型 2 理解矩阵的合同概念 熟悉矩阵合同的性质 理解合同变换概念 作业 习题6 1 A 第1 5 6题 P172 2二次型的标准形 本节教学内容1 化二次型的标准形问题2 用正交变换化实二次型为标准形3 用配方法化二次型为标准形 2二次型的标准形 1 化二次型的标准形问题定义2 1只含平方项的二次型称为标准二次型 简称标准形 特征 一个二次型是标准形的充要条件是它的矩阵是对角矩阵 定理2 1设A是n阶对称矩阵 二次型 x xTAx能用可逆线性变换x Py化为标准形的充要条件是存在可逆矩阵P使 2二次型的标准形 注 由定理2 1可知 用可逆线性变换化二次型为标准形的问题就是用合同变换化二次型为标准形的问题 因合同变换不改变矩阵的秩 因此二次型 x 经可逆线性变换化为标准形则R f 等于b1 b2 bn中非零的个数 2二次型的标准形 2 用正交变换化实二次型为标准形定理2 2对于任何n元实二次型 x xTAx 必存在正交变换x Qy使 x 化为标准形其中 1 2 n恰是A的全部特征值 证 由第五章定理5 3知定理成立 2二次型的标准形 用正交变换化实二次型 x xTAx为标准形的步骤 求A的特征值 1 2 n 求A的对应于 1 2 n的线性无关的特征向量 1 2 n 正交单位化 1 2 n 得单位正交向量组 1 2 n 设Q 1 2 n 则Q